Теорія ймовірності - high_math

P{X < Me(X )} = F(Me(X )) = 1− e− λMe( X ) = 12 ,

звідки

Приклад 2.23. Час обслуговування пасажира в авіакасі — випадкова величина T , розподілена за показниковим законом із середнім

значенням, що дорівнює 5 хв. Знайти ймовірність того, що пасажир, який звернувся до каси, буде обслуговуватись:

а) від 2,5 до 5 хв; б) більше 10 хв.

Розв’язання. а) За умовою математичне сподівання (середнє значення) M (T ) = 5 , тому за формулою (2.49) параметр розподілу

λ = 0,2 . Імовірність того, що час обслуговування пасажира міститиметься в межах від 2,5 до 5 хв, обчислюється за формулою (2.50):

P{2,5 < T < 5} = e−0,2 2,5 − e−0,2 5 = e−0,5 − e−1 ≈ 0,2386 .

б) Імовірність того, що час обслуговування буде більший за 10 хв, також обчислюється за формулою (2.50):

P{T > 10} = P{10 < T < ∞} = e−0,2 10 = e−2 ≈ 0,1353 .

Якщо випадкова величина T з показниковим розподілом — тривалість безвідказної роботи деякого елемента, а λ — інтенсивність

відказів цього елемента, то функція розподілу F(t) = 1− e− λt (λ > 0) визначає ймовірність відказу елемента за час t . При цьому функція R(t) = e− λt визначає ймовірність безвідказної роботи елемента за час t і називається функцією надійності.

Приклад 2.24. Тривалість безвідказної роботи елемента системи — випадкова величина T , розподілена за показниковим законом із функ-

цією розподілу F(t) = 1− e−0,01t . Знайти ймовірність того, що протягом доби елемент: а) відкаже; б) не відкаже.

Розв’язання. а) Імовірність відказу PB елемента протягом доби дорівнює значенню функції розподілу F(t) при t = 24 год:

PB = F(24) = 1− e−0,24 ≈ 1− 0,7866 = 0,2134;

131

б) імовірність невідказу PH елемента протягом доби дорівнює значенню функції надійності R(t) при t = 24 год:

PH = R(t) = e−0,24 ≈ 0,7866 .

3.2. Закон великих чисел

Випадкова величина за означенням набуває тих чи інших можливих значень залежно від впливу різних факторів випадкового характеру. Природно сподіватись, що при великій кількості випадкових величин вплив цих факторів посилюється. Проте за певних умов їхній вплив втрачає випадковий характер і в ньому проявляються досить чіткі закономірності, а саме: середнє арифметичне великої кількості (n → ∞) випадкових величин з імовірністю, близькою до оди-

ниці, набуває конкретного невипадкового значення.

У цьому полягає стислий зміст закону великих чисел, а умови, за яких цей закон має місце, сформульовано в ряді фундаментальних теорем, об’єднаних загальною назвою — закон великих чисел і пов’язаних з іменами видатних математиків Я. Бернуллі, П. Л. Чебишова, О. М. Ляпунова, А. А. Маркова та ін.

3.2.1. Нерівності та теорема П.Л.Чебишова

Перша та друга нерівності Чебишова мають велике прикладне значення для оцінювання ймовірностей.

Перша нерівність Чебишова: якщо випадкова величина X ≥ 0

має скінченне математичне сподівання M (X ), то для будь-якого числа ε > 0 виконується нерівність:

Оскільки сума ймовірностей протилежних подій дорівнює оди-

ниці:

P{X ≥ ε} + P{X < ε} = 1,

то крім оцінки (2.51) застосовується також оцінка

P{X < ε} ≥ 1− M (X ) .

ε

132

Друга нерівність Чебишова: якщо випадкова величина X має скінченну дисперсію D( X ), то для будь-якого числа ε > 0 виконується

Для ймовірності протилежної події відповідна оцінка має вигляд:

Приклад 2.25. Річна виручка авіакомпанії від перевезень пасажирів — випадкова величина з середнім значенням 250 млн грн і стандартним (середнім квадратичним) відхиленням 30 млн грн. Знайти:

а) оцінку ймовірності того, що в наступному році авіакомпанія матиме виручку, не меншу за 280 млн грн; б) оцінку ймовірності того, що виручка міститиметься в межах від 200 до 300 млн грн; в) в яких межах з імовірністю, не меншою за 0,9, можна очікувати виручку в наступному році.

Розв’язання. а) За умовою M (X ) = 250, ε = 280 , тому за нерівні-

аза умовою ця ймовірність не менша від 0,9, тому можна взяти

1− 900 = 0,9,

ε2

звідки ε = 94,868, àáî ε ≈ 95.

133

Отже, з імовірністю, не меншою від 0,9, настає подія

{| X − 250 |< 95} або {155 < X < 345}.

Приклад 2.26. При вимірюванні курсу літака систематична похибка приладу відсутня, а випадкова похибка має середнє квадратичне відхилення 0,5°. Оцінити ймовірність того, що при вимірюванні

курсу похибка буде: а) не менша від 2° ; б) менша від 1°.

Розв’язання. Позначимо через X випадкову величину — похибку визначення курсу. За умовою M (X ) = 0 (систематична похибка

відсутня), D( X ) = 0,25 .

а) За нерівністю (2.52)

P{| X | ≥ 2} ≤ 0,25 = 0,0625. 4

б) За нерівністю (2.53)

P{| X | < 1} ≥ 1− 0,251 = 0,75.

Теорема Чебишова. Якщо X1 , X2 , ..., Xn , ... — послідовність по-

парно незалежних випадкових величин зі скінченними математичними сподіваннями і дисперсіями, обмеженими однією і тією самою сталою C :

то для довільного як завгодно малого числа ε > 0 виконується нерівність

оскільки ймовірність не може бути більшою за 1.

Тобто при виконанні умов теореми з імовірністю, що практично дорівнює одиниці, середнє арифметичне великої кількості випадкових величин як завгодно мало відрізняється від невипадкової (детермінованої) величини — середнього арифметичного їхніх математичних сподівань.

134

Частинним випадком теореми Чебишова, який виникає за умови, що всі випадкові величини задовольняють умови теореми і мають

З теореми Чебишова випливає, що при досить великих n з будьяким заданим ступенем точності ε > 0 практично достовірною є наближена рівність

тю, тому теорему Чебишова можна ще сформулювати так: якщо дисперсії попарно незалежних випадкових величин обмежені, то з будь-якими достатньо високими точністю і надійністю виконується рівність (2.55) для всіх доволі великих n .

Приклад 2.27. Проводяться вимірювання деякої фізичної величини. Результати вимірювань — випадкові величини, дисперсії яких не перевищують 0,2. Скільки потрібно зробити вимірювань, щоб їхнє середнє арифметичне дало вимірювану величину з точністю до 0,05 і надійністю 90 %?

Розв’язання. Оскільки вимірювання виконуються незалежно одне від одного, то результати вимірювань — незалежні випадкові величини, дисперсії яких обмежені величиною C = 0,2. Отже, до них

застосовна теорема Чебишова. Щоб дістати задану точність ε = 0,05 із надійністю 0,9, кількість вимірювань n має задовольняти умову:

звідки n ≥ 800.

Отже, потрібно провести не менш як 800 вимірювань.

Приклад 2.28. Кожний із літаків даного типу витрачає за годину польоту в середньому 7 т пального. Середнє квадратичне відхилення щогодинної витрати становить 2 %. Оцінити ймовірність того, що на 20 рейсах за одну годину буде витрачено від 138 до 142 т пального.

135

Розв’язання. Витрата пального кожним літаком — випадкова величина, тобто розглядається 20 величин X1, X2 , ..., X20 , для кожної з

яких M ( Xi ) = 7, σ ( Xi ) = 0,14, отже, D(X i )= 0,0196. Це значення

дисперсії можна взяти за сталу С, яка обмежує дисперсії всіх величин X i . За умовою задачі потрібно оцінити ймовірність події

{ 20 }

138 < Xi < 142 . Поділивши всі частини цих нерівностей на 20 і

∑

i=1

віднявши математичне сподівання М(Х) = 7, дістанемо нерівності

тинним випадком теореми Чебишова та оцінкою (2.54) маємо:

ε > 0 . У цьому полягає суть теореми Бернуллі, яка є однією з форм закону великих чисел.

Теорема Бернуллі. Якщо m — кількість появ події A в n незалежних випробуваннях, а p — імовірність появи події A в кожно-

му з цих випробувань, то для будь-якого як завгодно малого числа ε > 0 виконується нерівність

136

яка при n → ∞ переходить у граничну рівність

Із нерівності (2.56) випливає, що при необмеженому зростанні кількості випробувань наближена рівність mn ≈ p виконується з як

завгодно високими точністю ε та надійністю 1− npqε2 .

Ця обставина є обґрунтуванням визначення статистичної ймовірності як границі (в розумінні збіжності за ймовірністю) відносної частоти при необмеженому збільшенні кількості випробувань.

Приклад 2.29. За даними служби перевезень аеропорту кількість затриманих за метеоумовами рейсів становить 7 % від їх загальної щорічної кількості. Наступного року планується виконати 1400 рейсів. Застосовуючи теорему Бернуллі,

а) оцінити ймовірність того, що в наступному році відносна частота затримки рейсів відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною менше, ніж на 0,02;

б) визначити, в яких межах з імовірністю, не меншою від 0,96, міститиметься відносна частота затримки рейсів;

в) знайти, скільки потрібно зробити рейсів, щоб з імовірністю, не меншою за 0,9, можна було б сподіватись, що абсолютна величина відхилення відносної частоти затримки рейсів від її ймовірності буде меншою за 0,01.

Розв’язання. За умовою n = 1400, p = 0,07, q = 0,93.

а) За нерівністю (2.56)

б) щоб імовірність була не меншою за 0,96, достатньо в нерівності (2.56) узяти

1− pq = 0,96 , звідки ε = 0,034 . nε2

Отже, з імовірністю, не меншою за 0,96, настає подія

137

в) за нерівністю (2.56) маємо:

звідки n ≥ 6510.

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Неперервна випадкова величина Х розподілена рівномірно на відрізку [– 4; 3]. Знайти функцію розподілу F (x) і щільність імовір-

ності f (x). Обчислити M ( X ), D( X ), σ ( X ), Me(X ) та ймовірність потрапляння Х в інтервал (–2; 1).

2.Ціна поділки шкали вольтметра рівна 0,2 В. Покази приладу округлюються до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні напруги буде зроблено похибку: а) меншу за 0,02 В; б) більшу за 0,04 В.

3.Поїзди метрополітену рухаються з інтервалом 5 хв. Час очікування поїзда — випадкова величина Х, рівномірно розподілена на цьому інтервалі. Знайти середній час очікування поїзда, дисперсію часу очікування та ймовірність того, що час очікування перевищить 3 хв.

4.Випадкова величина Х розподілена нормально з параметрами

а= 2,5, σ = 0,5. Записати аналітичний вираз щільності розподілу і

знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох випробувань ця випадкова величина принаймні один раз набуде можливого значення з інтервалу (0; 2).

5. Деталь, виготовлена автоматом, вважається стандартною, якщо відхилення її розміру Х від номіналу (математичного сподівання) не перевищує 10 мм. Точність виготовлення визначається стандартним відхиленням σ. Для прийнятої технології σ = 5 і Х нормально розподілена. Знайти: а) який відсоток стандартних деталей виготовляє автомат; б) якою має бути точність виготовлення, щоб цей відсоток збільшився до 98.

6. Відсоток зайнятості крісел на рейсах авіакомпанії — нормально розподілена випадкова величина Х із середнім значенням 75 % і стандартним відхиленням 5 %. Знайти ймовірність того, що на літаку місткістю 250 крісел відправлено не менш як 200 пасажирів.

138

7.Щоденна витрата електроенергії в аеропорту — нормально розподілена випадкова величина із середнім значенням 1000 кВт год

істандартним відхиленням 100 кВт год. Знайти симетричний відносно середнього значення інтервал, в якому з імовірністю 0,95 можна прогнозувати витрату електроенергії наступного дня.

8.Неперервна випадкова величина Х має показниковий розподіл

з параметром λ = 0,5. Знайти ймовірність того, що в результаті ви-

пробування Х набуде значення з інтервалу (1; 2).

9. Час безвідказної роботи елемента системи є випадкова величина Т, розподілена за показниковим законом зі щільністю ймовір-

ності f (t ) = 0,02e−0,02t (t > 0). Знайти ймовірність того, що елемент

не вийде з ладу протягом 50 год.

10. Три елементи системи працюють незалежно один від одного.

F3 (t) = 1 − e−0,3t . Знайти ймовірність того, що протягом 10 год не відкаже принаймні один елемент.

11.За нерівністю Чебишова оцінити ймовірність того, що довільна випадкова величина Х відхилиться від свого математичного сподівання менш ніж на 3 середні квадратичні відхилення.

12.Довжина виробів, які виготовляє верстат-автомат, є випадкова величина Х із середнім значенням 20 см і середнім квадратичним відхиленням 0,1 см. За нерівністю Чебишова оцінити ймовірність того, що довжина навмання взятого виробу: а) відхилиться від середнього значення за абсолютною величиною менш ніж на 0,15 см; б) міститиметься в межах від 19,7 до 20,3 см.

13.Середня кількість літаків авіакомпанії, які проходять планове технічне обслуговування після одного року експлуатації, дорівнює 2. Оцінити: а) імовірність того, що після року експлуатації на технічне обслуговування буде відправлено менш ніж п’ять літаків; б) ту саму ймовірність, коли відомо, що дисперсія кількості літаків дорівнює 1.

14.Середня кількість пасажирів на рейсах авіакомпанії, які виконуються літаками одного типу, дорівнює 200. Середнє квадратичне відхилення кількості пасажирів становить 5 %. За теоремою Чебишова оцінити ймовірність того, що на 100 рейсах буде перевезено від 19 500 до 20 500 пасажирів.

15.Імовірність відказу кожного з 1000 елементів системи протягом часу t дорівнює 0,1 і не залежить від стану інших елементів. Оцінити, в яких межах з імовірністю, не меншою за 0,97, можна очікувати кількість відказів елементів за час t, застосувавши а) теорему Бернуллі; б) нерівність Чебишова.

139

Відповіді

15. а) (45; 155); б) (45; 155).

Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

3.1. Розв’яжіть задачі, що стосуються розподілів неперервних випадкових величин.

3.1.1.Нормально розподілена випадкова величина у 15 % випад-

ків набуває значення, менше за 12, і в 40 % випадків значення, більше за 16,2. Знайдіть параметри a і σ цього розподілу.

3.1.2.Ціна поділки приладу для вимірювання повітряної швидкості літака становить 5 км/год. При визначенні швидкості покази округлюються до найближчої цілої поділки. Похибка округлення — рівномірно розподілена випадкова величина X. Знайдіть імовір-

ність того, що при визначенні швидкості буде зроблено похибку, більшу за 1 км/год.

3.1.3. Коробки з цукерками пакуються автоматично, їхня маса розподілена за нормальним законом із середнім значенням 1,06 кг. Знайдіть стандартне відхилення σ, якщо 5 % коробок мають масу,

меншу за 1 кг.

3.1.4. Річна виручка авіакомпанії — нормально розподілена випадкова величина X із середнім значенням 2,5 млрд грн і стандартним відхиленням 0,45 млрд. Знайдіть симетричний відносно середнього значення інтервал, в якому з імовірністю 0,9 можна очікувати виручку в наступному році.

140