Теорія ймовірності - high_math

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет биоресурсов и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

−4 < x ≤ 4,

+ 16arcsin

.pdf

Скачиваний:

1289

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

11. Неперервну випадкову величину Х задано функцією розподілу:

F(x)= A x1,

x > 4.

Знайти параметр А, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та ймовірність того, що величина Х набуде

можливого значення з інтервалу (0; 2).
12. Неперервну випадкову величину	f(x)
задано щільністю ймовірностей f (x),	2/5
графік якої наведено на рис. 2.11. Запи-
сати аналітичний вираз f (x) і знайти
M(X), D(X), σ(X) цієї випадкової вели-
чини.
13. Для дискретної випадкової вели-	–1 0 1 2 3 4 x
чини Х із задачі 2 знайти початкові і		Рис. 2.11
центральні моменти до 3-го порядку.		Рис. 2.11
центральні моменти до 3-го порядку.

14. Для неперервної випадкової величини Х із задачі 10 знайти початкові і центральні моменти до 3-го порядку.

Відповіді

1. 1) p2 = 0, 2; p4

= 0,5. 3). а) 0,5 ; б) 0,2.

– 3

2,5

0,6

0,2

0,1

а) 0,2; б) 0,9; в) 0,4. 3.

M (X) =1,1; D( X ) = 1,09;

σ(X) ≈1,044;

Mo( X ) = 2.

4. M ( X ) = −1,15; D ( X ) = 5,3025; σ ( X ) ≈ 2,303;

Mo( X ) = −3.

p1 = 0,3;

p2 = 0, 2; p3 = 0,5;

P{0 ≤ X ≤ 0, 2} = 0, 2. 6. x2 = −1; x3 = 0;

p1 = 0, 4;

P{−2 ≤ X ≤ 0} = 0,9 . 7.

M ( X ) = 0,15;

D ( X ) = 0,1375;

σ ( X ) ≈ 0,371;

Mo ( X ) = 0. 8.

M ( X ) = 1,5; D ( X ) = 0, 73;

σ ( X ) ≈ 0,854;

Mo ( X ) = 1 і 2.

9. А = 2; M ( X )

= 16; D(

X ) =

; σ ( X ) =

2 11

; Mo( X )

2 3

;

Me( X ) =

225

= 4− 2

2 ≈ 1,08. 10.

A =

; M (X ) = 3;

D( X) = 0,2;

σ( X ) ≈ 0,447; Mo(X ) = 3;

16 − x

−4; 4 ,

Me( X ) = 3. 11. À = 1 16π ;

f (x) =

[

]

M(X) =0; D(X) = 4;

8π

x [−4; 4].

x ≤ −1,

+ 1

−1 < x ≤ 1,

= 3

3 + 2π

σ X

= 2;

P 0 < X < 2

≈ 0,304. 12.

)

(

)

(

{

}

12π

(4 − x)

, 1 < x ≤ 4,

x > 4.

M ( X ) = 4 ;

19 ;

D ( X ) =

σ ( X ) ≈ 1, 027. 13.

ν1 (X ) = −1,15; ν2 ( X ) = 6, 625;

ν3 ( X ) = −13,6375; μ1

= 0;

μ2

= 5,3025;

μ3 = 6,177. 14. ν1(X) = 3;

ν2 ( X ) = 9,2;

ν3 ( X ) = 28,8;

μ1 = 0;

μ2 = 0,2;

μ3

= 0.

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Знайдіть невідомі значення у рядах розподілу дискретних випадкових величин.

1.1.1. Дискретну випадковувеличину заданорядомрозподілу

X	0	x2	2	3
P	0,15	p2	0,45	p4

Знайдіть x2, p2, р4, якщо відомі математичне сподівання М(Х) = 1,6 і дисперсія D(X) = 0,84. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величини в інтервал (0,5; 2).

1.1.2. Дискретну випадковувеличину заданорядомрозподілу

X	–3	x2	0	x4
P	p1	0,1	0,1	0,3

Знайдіть x2, x4 і р1, якщо x2 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х)= – 0,5 і дисперсія D(X) = 9,45. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величини в інтервал (–3; 1).

1.1.3. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	Х	x1	x2	– 1	1
	Р	0,1	0,3	p3	0,2

Знайдіть x1 , x2 і		p3 , якщо	x1 < x2	і відомі математичне споді-
вання M ( X ) = −1, 2		і середнє квадратичне відхилення σ ( X ) = 1, 4.

Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірністьпотраплянняданоївипадковоївеличинивінтервал(– 0,5; 1).

1.1.4. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	X	1		x2		4	5

	P	0,2		p2		p3	0,2

Знайдіть x2 , p2 і		p3	, якщо відомі математичне сподівання
M (X )= 3,4 і дисперсія		D ( X ) = 2,04.			Побудуйте функцію розподі-

лу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величини у проміжок (0,5; 4].

1.1.5. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу


	X		– 0,2		– 0,1		0,1		x4

	P		0,5		0,3		p3		p4
Знайдіть x4 ,		p3 і p4 ,			якщо	відомі		математичне сподівання
M ( X ) = −0,09 і дисперсія				D ( X ) = 0,0249.				Побудуйте функцію роз-

поділу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даноївипадковоївеличиниу проміжок(– 0,15; 0,1].

1.1.6. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	X	x1	– 0,1	0,2	x4
	P	0,3	p2	0,4	0,2
Знайдіть x1 , x4		і p2 , якщо	x1 < x4	і відомі математичне споді-
вання M (X )= 0,09		і дисперсія D(X ) = 0,0529. Побудуйте функцію

розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потраплянняданоївипадковоївеличиниу проміжок(– 0,1; 0,4].

1.1.7. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	X		– 1	– 0,5	0,5	2
	P		0,2	p2	p3	p4

Знайдіть	p2 , p3	і p4 , якщовідоміматематичнесподівання M(X )= 0,7
і дисперсія	D(X )	= 1,41. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадко-

вої величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величиниупроміжок[– 0,5; 0,4].

1.1.8. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	X	– 0,5	x2		1		x4

	P	p1	0,2		0,1	0,1

Знайдіть x2 , x4 і		p1 , якщо x2 < x4		і відомі математичне сподіван-

ня M (X )= 0,1 і дисперсія D(X )= 0,69. Побудуйте функцію розподі-

лу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величини у проміжок [– 0,2; 0,4].

1.1.9. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу


	X		– 6			x2	– 2	– 1

	P		0,1			p2	p3	0,3
Знайдіть x2 ,		p2 і		p3 ,	якщо відомі математичне сподівання
M ( X ) = −2,6 і дисперсія				D ( X ) = 2, 45.			Побудуйте функцію розподілу

F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величиниу проміжок[–5,5; –2].

1.1.10. Дискретну випадкову величину задано рядом розподілу

	X		x1	0	x3		3
	P		ð1	0,2	0,1	0,2

Знайдіть x1, x3		і p1, якщо відомі математичне сподівання M(X) =−0,3

і дисперсія D( X )= 3,81. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадко-

вої величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадкової величиниупроміжок[1,5; 3].

1.1.11. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	0,5	1	1,7	x4
P	0,1	0,2	p3	p4

Знайдіть x4, p3, р4, якщо відомі математичне сподівання М(Х) = 1,56 і дисперсія D(X) = 0,2584. Побудуйте функцію розподілу F(х) величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини у промі-

жок (1,2; 1,7].

1.1.12. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	0	x2	2	3
P	0,15	p2	0,45	p4

1.1.13. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	–3	x2	0	x4
P	p1	0,1	0,1	0,3

Знайдіть x2, x4 і р1, якщо x2 < x4 і відомі математичне сподівання M ( X ) = − 0,5 і дисперсія D(X) = 9,45. Побудуйте функцію розподілу

F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння даної випадковоївеличиниу проміжок[–3; 1).

1.1.14. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	x2	0,5	2
P	0,2	0,3	p3	0,1

Знайдіть x1, x2 і р3, якщо x1 < x2 і відомі математичне сподівання М(Х) = 0,05 і дисперсія D(X) = 0,7725. Побудуйте функцію розподілу F(х) величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї випадкової величини в інтервал (1,5; 2).

1.1.15. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	1	2	x3	x4
P	p1	0,2	0,3	0,1

Знайдіть x3, x4 і р1, якщо x3 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 2,6 і дисперсія D(X) = 2,84. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величиниу проміжок[1; 2,5).

1.1.16. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	– 1	x3	2
P	0,1	p2	0,4	0,3

Знайдіть x1, x3 і р2, якщо x1 < x3 і відомі математичне сподівання М(Х) = 0,2 і дисперсія D(X) = 1,76. Побудуйте функцію розподілу F(х) величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини у промі-

жок(1; 2].

1.1.17. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	1	3	x4
P	0,2	0,4	p3	0,3

Знайдіть x1, x4 і р3, якщо x1 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 2 і дисперсія D(X) = 5. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини у проміжок(0,5; 3].

1.1.18. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	1	x2	1,5	x4
P	p1	0,1	0,4	0,2

Знайдіть x2, x4 і р1, якщо x2 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 1,27 і дисперсія D(X) = 0,3961. Побудуйте функцію розподілу F(х) величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини у проміжок[1; 1,7).

1.1.19. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	0	x2	2	x4
P	0,15	0,25	p3	0,15

Знайдіть x2, x4 і р3, якщо x2 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 1,6 і дисперсія D(X) = 0,84. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величиниу проміжок(0,2; 2].

1.1.20. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	x2	1	2
P	0,2	0,4	0,3	p4

Знайдіть x1, x2 і р4, якщо x1 < x2 і відомі математичне сподівання М(Х) = – 0,3 та дисперсія D(X) = 1,81. Побудуйте функцію розподілу F(х) та знайдіть імовірність потрапляння величини Х у проміжок

[– 0,5; 1].

1.1.21. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	0	1	x3	x4
P	0,1	p2	0,4	0,2

Знайдіть x3, x4 і р2, якщо x3 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 0,96 та дисперсія D(X) = 0,15. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величиниу проміжок[0; 1,5).

1.1.22. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	– 1	x3	5
P	0,3	p2	0,1	0,4

Знайдіть x1, x3 і р2, якщо x1 < x3 і відомі математичне сподівання М(Х)=1,1 та дисперсія D(X) = 12,09. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величиниу проміжок[–1; 3].

1.1.23. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	– 1	x2	x3	0
P	0,4	0,3	p3	0,1

Знайдіть x2, x3 і р3, якщо x2 < x3 і відомі математичне сподівання М(Х) = – 0,57 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 0,39. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потраплянняцієївеличиниу проміжок[– 1; – 0,5].

1.1.24. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	0	x2	2	3
P	0,729	p2	0,027	p4

Знайдіть x2, p2, р4, якщо відомі математичне сподівання М(Х) = 0,3 і дисперсія D(X) = 0,27. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини у промі-

жок(0,5; 2].

1.1.25. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	– 0,5	– 0,1	0
P	p1	0,3	0,2	p4

Знайдіть x1, р1, p2, якщо відомі математичне сподівання М(Х) = –0,57 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 0,39. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієївеличиниу проміжок[–0,6; –0,1].

1.1.26. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	–5	x2	3	4
P	p1	0,3	p3	0,2

Знайдіть x2, p1, р3, якщо відомі математичне сподівання М(Х) = – 0,3 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 3,9. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієївеличиниу проміжок(0; 3].

1.1.27. Дискретну випадкову величину заданорядомрозподілу

X	1,5	x2	x3	4,5
P	0,4	0,3	p3	0,1

Знайдіть x2, x3 і p3, якщо x2 < x3 і відомі математичне сподівання М(Х) = 2,5 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 1. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потраплянняцієївеличиниупроміжок[3; 4,5].

1.1.28. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	–3,2	x2	0,4	4,9
P	p1	0,25	p3	0,3

Знайдіть x2, p1 і р3, якщо відомі математичне сподівання М(Х)=

= 0,53 і дисперсія D(X) = 9,6501. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини упроміжок[–1; 0,4].

1.1.29. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	4	6	x4
P	0,2	p2	0,4	0,2

Знайдіть x1, x4, і p2, якщо x1 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = 7,6 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 4,8. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть iмовірність потраплянняцієївеличиниупроміжок(3; 6].

1.1.30. Дискретну випадкову величинузаданорядомрозподілу

X	x1	–1	0	x4
P	0,5	0,2	0,1	p4

Знайдіть x1, x4 і p4, якщо x1 < x4 і відомі математичне сподівання М(Х) = –1 і дисперсія D(X) = 1,4. Побудуйте функцію розподілу F(х) випадкової величини Х та знайдіть імовірність потрапляння цієї величини упроміжок[–1; 0,5].

1.2. Неперервну випадкову величину Х задано функцією розподілу F (x) (щільністю ймовірності f (x) ). 1) Визначте параметр А; 2) знай-

діть щільність імовірності f (x) (функцію розподілу F (x) ); 3) побудуйте графіки функцій F (x) і f (x); 4) знайдіть числові характеристики M(X), D(X), σ(X) ; 5) обчисліть імовірність того, що випадкова величина Х у результаті випробування набуде можливого значення із заданого інтервалу (α; β).

0,			x ≤ 1,
1.2.1. F (x)=	Aln x,		1 < x ≤ e,
	1,		x > e.

0,			x ≤ 1,
1.2.2. F (x)=	A	(1− 1 x2 ), 1 < x ≤ 2,
	1,		x > 2.

0,			x ≤ 0,
1.2.3. F (x)=	Asin x,		0 < x ≤ π 2,
	1,		x > π 2.

(e / 3; e / 2).

(1,2; 1,7).

(π4; π3).

0,		(x2 + x − 2),		x ≤ 1,
1.2.4. F (x)=	A			1 < x ≤ 2,
	1,			x > 2.

0,			x ≤ 0,
1.2.5. F (x)=	Asin2 x,		0 < x ≤ π 3,
	1,		x > π 3.

0,				x ≤ 0,
1.2.6. F (x)=	A(x − sin x),			0 < x ≤ 2π,
	1,			x > 2π.

1.2.7. F (x)= Ax x,

1.2.8. F (x)= Acos x,

1.2.9. F (x)= A3 x,

1.2.10. F (x)= A 5 x2 ,

x ≤ 0,

0 < x ≤ 4, x > 4.

x ≤ − π 2,

− π 2 < x ≤ 0, x > 0.

x ≤ 0,

0 < x ≤ 8,

x> 8.

x≤ 0,

0 < x ≤ 1, x > 1.

	0,							x ≤ −3,
			π			x
1.2.11.	F (x)=	A		+ arcsin			,	−3 < x ≤ 3,
1.2.11.	F (x)=	A		+ arcsin		3	,	−3 < x ≤ 3,
			2			3		x > 3.
	1,							x > 3.

	0,				x ≤ 0,
1.2.12.	f (x) =		A	,	0 < x ≤ e − 1,
1.2.12.	f (x) =	1+ x		,	0 < x ≤ e − 1,
		1+ x			x > e − 1.
		1,			x > e − 1.