Задачі до практичних занять Тема: Оцінка вартості грошей з урахуванням фактору часу
Задача 1. Підприємству надані в кредит 60000 грн. на 4 міс. З 01.05.п.р. за ставкою 14% річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення.
Розв’язок. Якщо простий відсоток нараховується протягом періоду, який складає менше року, використовується формула:
Pt = P (1+ r (t/T))
де t – кількість днів нарахування відсотку протягом року;
T – кількість днів у році;
P – теперішня вартість грошей;
Pt – сума, яка одержується при нарахуванні відсотку за t днів;
r – відсоток, що нараховується.
Тоді сума кредиту дорівнюватиме:
Pt = 60000 (1 = 0,14 х 123/365) = 62830 грн.
Задача 2. На внесок до банку в розмірі 9000 грн. терміном на 5 років банк нараховує 18% річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків щоквартально?
Розв’язок. Якщо складний відсоток нараховується частіше, ніж один раз на рік, нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:
Pn = P (1 + r/m)nm ,
де m - періодичність нарахування відсотку протягом року.
P5 = 9000 (10+ 0,18/4)5×4 = 21705,43 грн.
Задача 3. Підприємство збирається придбати через три роки новий станок вартістю 8000 грн. Яку суму грошей необхідно вкласти зараз, щоб через 3 роки мати можливість здійснити покупку, якщо відсоткова ставка прибутковості вкладення по складних відсотках становить 14%.
Розв’язок. Використовуємо формулу дисконтування:
Pn 8000
P = ───── = ─────── = 8000 : 1,481544 = 5399,8 грн.
(1+r)n (1+0,14)3
Тема: визначення вартості ануїтетних платежів
Задача 1. В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2000 грн. на умовах 9% річних при щорічному нарахуванні відсотків. Яка сума буде на рахунку через 12 років?
Розв’язок. Майбутню вартість простого ануїтету визначають як суму всіх платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожний платіж за період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Для розрахунку використовують формулу:
F = C/r [(1 + r) n -1]. Тоді:
F = 2000/0,09 [(1 + 0,09 ) 12 - 1] = 40281,44 грн.
Задача 2. Вклади в однаковій сумі 100 грн. здійснюються на депозитний рахунок на початку кожного року під 15% річних протягом п’яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п’ятого року?
Розв’язок. Розрахуємо майбутню вартість авансованого ануїтету за допомогою формули.
(1 + r)n+1 - 1
Fpre = С [──────── - 1] = 100х((1 + 0,15) 6- 1)/0,15 – 1) = 775,38 грн.
r
Тема: Формування реальної відсоткової ставки й оцінювання грошових активів з урахуванням фактору інфляції
Задача 1. Визначити річний темп інфляції, якщо прогнозований очікуваний середньомісячний темп інфляції визначений у розмірі 3%.
Розв’язок. При прогнозуванні річного темпу інфляції використовується наступна формула:
iр = (1 + iм) 12 – 1,
де iр – прогнозований річний темп інфляції, виражений у десятковому дробу,
iм – очікуваний середньомісячний темп інфляції у наступному періоді, виражений десятковим дробом.
Тоді:
iр = (1 + 0,03) 12 = 1,4258 – 1 = 0,4258 або 42,58%
Задача 2. Номінальна ставка відсотку - 12% річних, темп інфляції – 6%. Визначити реальну ставку відсотку.
Розв’язок.
Використовуючи рівняння Фішера: 1 + r = (1 + y)(1 + i),
де r – номінальна ставка відсотку;
y – реальна ставка відсотку;
i – темп інфляції,
можна одержати реальну відсоткову ставку:
1 + r
y = ─── - 1,
1 + i
r – i
або y = ─── , тоді згідно умови задачі:
1+ i
0,12 – 0,06
y = ─────── = 0,0566, або 5,66%
1 + 0,06
Задача 3.Визначити очікувану номінальну вартість грошових коштів, якщо реальна ставка відсотку складає 15% на рік, реальна вартість вкладених грошових активів становить 2000 грн., прогнозований річний темп інфляції – 8%, період дисконтування – 5 років, а його інтервал – 1 рік.
Розв’язок. Для обчислення використаємо формулу:
Sн
Рр = ──────────── , звідси
[(1 + y) х (1 + i)]n
Sн = Рр х [(1 + y) х (1 + i)]n = 2000 х [(1 + 0,15) х (1 + 0,08)]5 = 5910,69 грн.
Тема: Оцінювання грошових активів при використанні облікових ставок у вексельних розрахунках
Задача 1. Позика видається на півроку за простою обліковою ставкою 15%. Розрахувати суму, одержувану позичальником, і розмір дисконту, якщо треба повернути 25000 грн.
Розв’язок. Застосовуємо формулу для визначення нарощеної суми при застосуванні простої облікової ставки:
P
S = ────, звідси P = S(1 – d×n) = 25000х(1 – 0,5×0,15) = 23125 (грн.).
1 – d×n
Дисконт визначається як різниця між нарощеною і теперішньою сумами: D = S – P = 25000 – 23125 = 1875 грн.
Задача 2. Вексель на 500 тис. грн. обліковується банком по обліковій ставці 15% при нарахуванні відсотків 12 разів на рік. Вексель обліковується за 8 місяців до погашення. Необхідно визначити величину дисконту.
Розв’язок. Визначимо вартість векселя в момент обліку:
P = S(1 – d/m) n×m = 500000 (1 – 0,15/12) 12×8/12 = 452130 грн.
Дисконт складає: 500000 – 452130 = 47870 грн.
Тема: Математичний інструментарій оцінювання облігацій
Задача 1.Випущена купонна облігація з фіксованою відсотковою ставкою терміном на 5 років та номіналом $ 1000. Відсоткові виплати здійснюються 2 рази на рік в розмірі $ 120. Ринкова відсоткова ставка по аналогічних фінансових позиках складає 16%. Необхідно визначити поточну вартість облігації.
Розв’язок.
mхN INT/m M 5х2 120 : 2 1000
Vв = ∑ ────── + ───── = ∑ ─────── + ─────── =
k=1 (1 + iв/m)k (1 + iв/m) mх N k=1 (1 + 0,16/2)k (1 + 0,16/2)10
= 60х6,7101+1000х0,4632 = $ 865,81.
Задача 2.Обчислити поточну вартість облігації з нульовим купоном, вартістю $ 500 і терміном погашення 20 років, якщо прийнята норма прибутку становить 6,5%.
Розв’язок.
M 500
Vв = ──── = ───── = $ 440,83.
(1 + iв) N (1+0,065) 2
Задача 3.Облігація з терміном погашення 1 рік та сумою до погашення $1000 була повністю реалізована фінансовим інститутом за ціною $782 за штуку. Підприємство А купило 10000 цих облігацій. Пройшло 120 днів та підприємство вирішило продати облігації на вторинному ринку. Поточна відсоткова ставка по боргових інструментах тривалістю 1 рік на момент продажу становила 36%. За якою ціною підприємство може продати ці облігації і який дохід воно може отримати?
Розв’язок. Використовуємо формулу для безкупонних облігацій
M 1000
P2 = ──────── = ──────────── = $805,2 .
t (1 + 0,36 х 245:365)
(1 + iв х ── )
365
Таким чином, очікуваний дохід становитиме
D1 = (805,2 – 782) х 10 000 = $232 000.
Тема: Математичний інструментарій оцінювання простих і привілейованих акцій
Задача 1. Підприємство за останній рік виплатило по дивідендах на одну акцію 0,50 грн. Протягом найближчих двох років темп росту дивідендів складе 6%. В послідуючому дивіденди зростатимуть з темпом 4%. Необхідно оцінити ринкову вартість цієї акції, якщо її прибутковість знаходиться на рівні 12%.
Розв’язок. Розрахуємо дивіденди, які виплачувались найближчі два роки:
D1 = 0,50 х 1,06 = 0,53 грн.
D2 = 0,53 х 1,06 = 0,562 грн.
Величина дивіденду, запланованого в кінці третього року, складе:
D3 = 0,562 х 1,04 = 0,584 грн.
Знайдемо термінальне значення за формулою Гордона:
D'1 0,584
T = ─── = ───── = 7,3 грн.
r - g 0,12 – 0,04
Знайдемо оцінку звичайної акції підприємства за формулою:
D1 D2 DN T
Vs = ─── + ──── + L + ──── + ────
(1 + r) (1 + r)2 (1 + r)N (1 + r)N
0,53 0,562 7,3
Vs = ──── + ───── + ───── = 6,74 грн.
1 +0,12 (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)2
Задача 2. На час емісії привілейованих акцій кожний інвестор заплатив 200 грн. за акцію, отримавши на заміну зобов’язання емітента виплачувати йому щорічно 25 грн.
Знайти поточну прибутковість акції та вартість акції після двох дивідендних виплат, якщо інвестор вирішив продати акції, а прибутковість акції через два роки збільшиться на 0,5%.
Розв’язок. У даному випадку ми маємо нескінченний ануїтет 25 грн. Поточна прибутковість акції становить
Dр 25
r = ─── = ─── = 0,125 = 12,5% .
Vp 200
Термінальне значення дорівнює
Dp 25
T = ─── = ─── = 200 грн.
r 0,125
Оцінимо вартість термінального значення Т, тобто вартість акції через два роки
Dp Dp Т 25 25 200
T = ──── + ──── + ──── = ────── + ────── + ───── = 200 грн.
(1 + r)1 (1 + r)2 (1 + r)2 (1 + 0,125) (1 + 0,125)2 (1 + 0,125)2
Оцінимо вартість привілейованої акції, припускаючи, що через два роки відсоткова ставка збільшиться на 0,5% та буде дорівнювати 13%. Тоді термінальне значення складе
25
T = ─── = 192,31 грн.
13%
Оцінимо ринковий курс акції за умови, що інвестор збирається продавати акції через два роки
25 25 192,31
Vp = ────── + ────── + ────── = 193,92 грн.
(1 + 0,125) 1 (1 + 0,125)2 (1 + 0,125)2
Тема: Управління операційним прибутком підприємства
Задача. Визначити запас фінансової стійкості підприємства в фізичних і вартісних одиницях вимірювання продукції за наступних даних:
|
Чистий дохід (виручка) від реалізації продукції |
тис. грн. |
720 |
|
Постійні витрати |
тис. грн. |
150 |
|
Ціна реалізації одиниці продукції |
грн. |
90 |
|
Змінні витрати в ціні одиниці продукції |
грн. |
60 |
Розв’язок
1) Визначимо запас фінансової стійкості підприємства у фізичних одиницях вимірювання продукції. Для цього спочатку знайдемо поріг рентабельності у фізичних одиницях:
Обсяги
реалізації продукції у фізичних одиницях
вимірювання
Запас фінансової стійкості = 8 тис. од. – 5 тис. од. = 3 тис. од.
Коефіцієнт
запасу фінансової стійкості
,
або 37,5%.
2) Визначимо запас фінансової стійкості підприємства у вартісних одиницях вимірювання продукції. Для формування показників операційної діяльності підприємства знайдемо суму змінних витрат:
Змінні витрати = 60 грн./од. × 8 тис.од. = 480 тис.грн.
Таблиця показників операційної діяльності підприємства
|
№ з/п |
Показники |
Значення, т. грн. |
|
1 |
Чистий дохід від реалізації продукції |
720 |
|
2 |
Змінні витрати |
480 |
|
3 |
Валова маржа (1-2) |
240 |
|
4 |
Постійні витрати |
150 |
|
5 |
Операційний прибуток (3-4) |
90 |
Коефіцієнт
валової маржі
Поріг
рентабельності
Запас фінансової стійкості = 720 тис. грн. – 450 тис. грн. = 270 тис. грн.
Коефіцієнт
запасу фінансової стійкості
,
або 37,5%
Операційний прибуток = 270 тис .грн. × 0,3333 = 90 тис . грн.
Отже, фінансовий стан підприємства є достатньо високим, оскільки запас фінансової стійкості дорівнює 37,5%. Це значить, що підприємство може знизити обсяги виробництва і реалізації на 270 тис. грн. (або 37,5%) без загрози отримання збитку.