- •ПЕРЕДМОВА
- •1. ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ
- •Змістовий модуль № 1. Методи оптимізації на основі задачі лінійного програмування
- •2. ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ
- •Тема 2. Лінійні моделі множинної регресії
- •Тема 3. Нелінійні моделі та перетворення змінних
- •Тема 4. Фіктивні змінні в економетричних моделях
- •Тема 5. Узагальнені економетричні моделі
- •Тема 6. Економетричні моделі динаміки
- •4. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
- •Практичне заняття №1
- •Практичне заняття №2
- •6. ПІДСУМКОВИЙ КОНТРОЛЬ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Модуль 2. Економетрика Змістовий модуль 2. Різні аспекти економетричного моделювання
Тема 6. Економетричні моделі динаміки
Мета : ознайомити студентів з природою і наслідками автокореляції,
особливостями побудови економетричних моделей динаміки, методами оцінки параметрів автокореляційних моделей.
План вивчення теми
1.Природа і наслідки автокореляції.
2.Методи визначення автокореляції.
3.Перетворення вихідної інформації.
4.Узагальнений метод найменших квадратів (Ейткена).
5.Виявлення автокореляції: тест Дарбіна-Уотсона.
6.Метод Кочрена-Оркатта.
7.Поняття лагу і лагових змінних.
8.Методи оцінювання параметрів в моделях розподіленого лагу.
|
Методичні рекомендації до самостійної роботи |
|
|
|
|||
При аналізі часових рядів часто приходиться враховувати залежність |
|
||||||
спостережень у різні моменти часу. При цьому не виконується третя умова |
|
||||||
Гауса-Маркова, тобто гіпотеза про некорельованість випадкових відхилень. |
|
||||||
Якщо не |
виконується |
умова: cov(ei ,e j ) = 0, |
i ¹ j , то рівні |
ряду |
залишків |
|
|
стають взаємозв’язаними і говорять, що в моделі присутня автокореляція. |
|
||||||
В |
регресійному |
аналізі |
при |
використанні |
даних |
часових |
ря |
автокореляція зустрічається часто. Це пов’язано з тим, що випадкова величина |
|
||||||
e піддається впливу тих змінних, |
які не включені в рівняння регресії, але |
|
|||||
впливають на залежну змінну y . Однак не виключено, що значення |
|
||||||
неврахованої змінної в якомусь спостереженні корелює з її |
значенням |
у |
|||||
попередніх спостереженнях. Тоді природно очікувати, що значення випадкових |
|
||||||
величин будуть корелювати між собою. |
|
|
|
|
47
Наслідки автокореляції подібні наслідкам гетероскедастичності. МНК-
оцінки залишаються незсуненими, але стають неефективними. Неправильно |
|
оцінюються також стандартні |
помилки параметрів регресії ї значень регресії |
базисних даних. Це робить |
некоректними побудови надійних інтервалів |
параметрів регресії та прогнозу значення показника. |
|
|
|
|
|||||||
|
Найбільш відомим і поширеним тестом |
для |
перевірки |
моделі н |
|||||||
автокореляцію є тест Дарбіна-Уотсона. Перевірка включає декілька етапів. |
|
||||||||||
|
1. Розраховуємо значення d - статистики за формулою: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å(et - et -1 )2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d = |
t =2 |
|
. |
|
|
(44) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ået2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =1 |
|
|
|
|
|
|
|
Теоретично доведено, що значення d - статистики знаходяться в межах |
||||||||||
від 0 до 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Задаємо рівень значимості a та підраховуємо кількість факторів p у |
||||||||||
досліджуваній моделі. За таблицею Дарбіна-Уотсона , з урахуванням кількості |
|||||||||||
спостережень n , та при a і p , знаходимо два значення dL , dU . |
|
|
|
||||||||
|
Якщо |
розраховане |
значенняd - статистики |
належить |
інтервалу |
||||||
0 < d < dL , то це свідчить про наявність позитивної автокореляції. |
|
|
|||||||||
|
Якщо |
dL < d < dU |
або 4 - dU < d < 4 - dL , тобто |
попадає |
в |
зону |
|||||
невизначеності, то не можна зробити висновку ні про наявність, про |
|||||||||||
відсутність автокореляції. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Якщо 4 - dL < d < 4 , то маємо негативну автокореляцію. |
|
|
|
|||||||
|
Якщо dU < d < 4 - dU , то автокореляції немає. |
|
|
|
|
||||||
|
Приклад. Припустимо, для певної простої регресії, |
яка має один фактор |
|||||||||
( p =1), кількість спостережень, розраховане значення d - статистики дорівнює |
|||||||||||
0,34. |
Приймемо , що рівень |
значимості. За |
|
таблицею |
Дарбіна-Уотсона |
при |
|||||
k =1, |
n = 20 |
та a = 0,05 |
знаходимо dL =1,20, |
dU =1,41. Відповідно відкидаємо |
48
нульову гіпотезу про відсутність автокореляції та приймаємо гіпотезу про наявність позитивної автокореляції.
Кореляція |
між |
сусідніми |
членами |
часового |
ряду |
називає |
|
автокореляцією першого порядку. Її можна записати у вигляді: |
|
|
|
||||
|
|
et = ret -1 + lt , t = 1,.., n... . |
|
|
(45) |
|
|
Якщо коефіцієнт автокореляції r > 0 , |
то автокореляція додатна, |
при |
|
||||
r < 0 - від’ємна. При r = 0 автокореляція відсутня. |
|
|
|
|
|||
Доведено, |
що |
-1 < r < 1, і r є |
коефіцієнт кореляції |
між |
двома |
|
|
сусідніми відхиленнями, причому r = const . |
|
|
|
|
|
||
Коваріаційна матриця випадкового вектора e : |
S 2 = se2W, |
|
|
|
é |
1 |
|
r |
r |
2 ... |
||
ê |
r |
|
1 |
|
r ... |
||
ê |
|
|
|||||
де W = ê r 2 |
|
r |
|
1 ... |
|||
ê |
|
|
. |
|
. |
|
. |
ê . |
|
|
|
||||
ê |
n -1 |
r |
n -2 |
r |
n |
-3 |
... |
ër |
|
|
|
|
r n -1 ù
r n -2 ú
ú
r n -3 ú . (46)
ú
. ú 1 úû
Зазначимо, що при r = 0 можна одержати класичну регресійну модель.
Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) |
|
||||
Основна ідея УМНК при оцінюванні |
моделі з автокорельованими |
||||
залишками (в матричному вигляді) : |
|
|
|
|
|
Y = XA + E |
|
(47) |
|||
полягає в перетворенні даних спостереженьY , X |
в нові змінні Y* , X * , |
які б |
|||
задовольняли вимогам класичної моделі регресії і які можна виразити оцінки |
|||||
через вихідні змінні. Наведемо кінцеві формули для оцінювання параметрів |
|||||
змінених даних: |
|
|
|
|
|
A = ( X T W-1 X )-1 X T W-1Y , |
|
(48) |
|||
* |
|
|
|
|
|
var- cov(A ) |
= s 2 ( X T W-1 X )-1 , |
(49) |
|||
* |
|
e * |
|
|
|
se2* = |
e T W-1e |
, |
|
(50) |
|
|
|
||||
|
n - p -1 |
|
|
49
де W визначена вище.
Треба зазначити, що на практиці параметр r невідомий. Тому його треба
оцінити якимось чином. Наприклад, оцінку |
параметра r можна знайти |
за |
|||||||
допомогою звичайного МНК: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åetet -1 |
|
|
|
|
|
|
r |
* |
= |
t =2 |
. |
|
(51) |
|
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ået2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =1 |
|
|
|
|
Таким |
чином |
оцінки |
|
параметрів |
є |
незсувними, ефективними |
і |
||
обґрунтованим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моделі з лаговими змінними
Досить часто на поточне значення показникаY впливають попередні
значення як пояснюючих змінних, так і самого показника.
Наприклад, при моделюванні попиту на товар ми можемо вважати, що
поточне значення попиту визначається поточним доходом z і поточною ціною товару p . Тоді лінійна регресія має вигляд:
|
y = a0 + a1zt + a2 pt + et . |
(52) |
Можна вважати, що поточні витрати пов’язані з попередніми витратами: |
||
|
yt = b0 + b1 yt -1 + et , |
(53) |
або з поточним і попереднім доходами: |
|
|
|
y = d0 + d1zt + d2 zt -1 + et |
(54) |
або |
yt = c0 + c1 yt -1 + c2 zt + c3 zt -1 + et . |
(55) |
Якщо попит залежить також від попередньої ціни, то |
|
|
yt |
= d0 + d1 yt -1 + d2 zt + d3 pt + d4 zt -1 + d5 pt -1 + et . |
(56) |
Наведені вище моделі називаються лаговими структурами.
У загальному випадку, якщо якась змінна з’являється в моделі з запізнюванням на s періодів, то вона називається лаговою довжини s .
Лагові змінні бувають трьох типів:
· лагова незалежна змінна;
50
·лагова залежна змінна;
·лагова залишкова змінна.
Відповідно існують методи оцінювання параметрів за схемою Койка,
адаптивних сподівань, часткового коригування для моделей з лаговими
незалежними змінними, а також методи перетворення моделей з лаговими залежними змінними та автокореляійних моделей.
Більш докладну інформацію по застосуванню моделей можна знайти в
рекомендованій літературі. |
|
|
|
|
Завдання для самостійної роботи |
|
|
Значення помилок регресійної моделі дано |
в .таблиціРозрахуйте |
||
значення статистики Дарбіна-Уотсона. Чи має тут місце автокореляція? |
|||
|
|
|
|
Період |
Значення e |
Період |
Значення e |
|
|
|
|
1 |
21,2 |
9 |
-9,6 |
|
|
|
|
2 |
-15,3 |
10 |
10,6 |
|
|
|
|
3 |
12,4 |
11 |
-13,3 |
|
|
|
|
4 |
-21,0 |
12 |
7,4 |
|
|
|
|
5 |
9,4 |
13 |
-15,1 |
|
|
|
|
6 |
-25,5 |
14 |
12,0 |
|
|
|
|
7 |
-8,4 |
15 |
-6,0 |
|
|
|
|
8 |
12,3 |
16 |
8,0 |
|
|
|
|
Питання для самоконтролю
1.Яка природа автокореляції?
2.Якими методами можна визначити автокореляцію?
3.Які методи існують для отримання якісних оцінок автокореляційних моделей?
4.В чому полягає методи Ейткена, Кочрена-Оркатта, Дарбіна?
5.Дайте поняття лагу та лагових змінних.
51
6.Як оцінюються параметри моделей з лаговими незалежними змінними7
7.Які методи існують для оцінки параметрів моделей з лаговими залежними змінними?
8.Як перетворюються дані в автокореляційних моделях?
Література
[1–9]
52