Модуль 2. Економетрика

Змістовий модуль 2. Різні аспекти економетричного моделювання

Тема 4. Фіктивні змінні в економетричних моделях

Мета : ознайомити студентів з особливостями використання фіктивних

змінних при моделюванні процесів з сезонною складовою, визначення

параметрів, точкової та інтервальної оцінок прогнозу.

План вивчення теми

1.Випадки використання фіктивних змінних в моделюванні.

2.Моделювання динамічного ряду з сезонними коливаннями.

3.Використання фіктивних змінних для регресій з однаковим нахилом та різним перетином.

4.Побудова моделей з фіктивними змінними у випадку різних нахилів.

5.Урахування в моделях різних нахилів та перетинів.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

змінними. Кількість фіктивних змінних в такій моделі має бути на одиницю менше кількості періодів часу в середині одного циклу коливань. Наприклад,

при моделюванні поквартальних даних модель повинна включати чотири незалежні змінні: фактор часу і три фіктивні змінні. Кожна фіктивна змінна відображає сезонну (циклічну) компоненту динамічного ряду для будь-якого одного періоду. Вона дорівнює одиниці для даного періоду і нулю для всіх інших періодів.

Розглянемо динамічний ряд з циклічними коливаннями періодичностіk .

39

де x j = 1 для кожного j в середині кожного циклу, x j = 0 в інших

випадках.

Наприклад, при моделюванні сезонних коливань на основі поквартальних даних за декілька років кількість кварталів в серединіодного року k=4, і

відповідно загальний вигляд моделі наступний:

уt = a + bt + c1x1 + c2 x2 + c3 x3 + et ,

де , x1 = 1 для 1-го кварталу та 0 для всіх інших, x2 = 1 для 2-го кварталу та 0 для всіх інших, x3 = 1 для 3-го кварталу та 0 для всіх інших.

Рівняння тренду для кожного кварталу має вигляд:

для 1-го кварталу: уt = a + bt + c1 + et ;

для 2-го кварталу: уt = a + bt + c2 + et ;

для 3-го кварталу: уt = a +bt + c2 +et ;

для 4-го кварталу: уt = a + bt + et .

Таким чином, фіктивні змінні дозволяють диференціювати величину вільного члена рівняння регресії для кожного кварталу. Вона складає:

для 1-го кварталу: a + c1 ;

для 2-го кварталу: a + c2 ;

для 3-го кварталу:

для 4-го кварталу:

Параметр b у цій моделі характеризує середню абсолютну зміну рівнів ряду під впливом тенденції. По суті, ця модель є аналогом адитивної моделі часового ряду : фактичний рівень часового ряду– це сума трендової, сезонної та випадкової компонент.

Для такої моделі з n факторами ( один фактор часу таn-1 фіктивна змінна) застосовують такий саме спосіб побудови, як для будь-якої багатофакторної регресійної моделі.

40

У розглянутому випадку сезонності можна виділити , регресіїякі розрізняються перетином і не відрізняються нахилом. Аналогічно можна ввести фіктивні змінні для виокремлення регресій, які відрізняються нахилом.

Якщо в практичній задачі не чітко зрозуміло, чи регресії, побудовані на одних і тих самих даних, відрізняються нахилом або перетином, то можна вводити фіктивні змінні для взаємодії факторів, що відповідає їх добутку.

Завдання для самостійного виконання

Фактичні удої молока(кг) від однієї корови на сільськогосподарських

підприємствах за 2005-2010 р. наведені в таблиці:

залежності удоїв від фактору часу без урахування сезонності (однофакторну) та

з урахуванням сезонності (багатофакторну з фіктивними змінними).

Оцінити параметри та їх значимість, якість регресії. Знайти прогноз для У за обома моделями для 3-го кварталу 2011 року.

Питання для самоконтролю

1.Наведіть приклади використання фіктивних змінних в моделюванні.

2.Як моделюється динамічний ряд з сезонними коливаннями?

3.Використання фіктивних змінних для регресій з урахуванням однакового нахилу та різних перетинів.

4.Побудова моделей з фіктивними змінними у випадку різних нахилів.

Література

[1-9]

41

Модуль 2. Економетрика Змістовий модуль 2. Різні аспекти економетричного моделювання

План вивчення теми

1.Поняття гомо- і гетероскедастичності.

2.Вплив гетероскедастичності на властивості оцінок.

3.Узагальнений метод найменших квадратів для оцінки параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

4.Прогноз з урахуванням гетероскедастичності.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Класична регресійна модель задовольняє всім умовам Гауса-Маркова.

Зокрема, друга умова s 2 = const означає, що дисперсія випадкового члена

повинна бути постійною для всіх спостережень. Перші дві умови вказують, що випадкові збурення ei , i = 1...n , з’являються на основі імовірних розподілів, що мають нульове математичне сподівання і ту саму дисперсію. Тобто імовірність

того, що випадкове збурення прийме визначене значення, буде однакова для всіх спостережень. Ця умова відома якгетероскедастичність, що означає

"однаковий розкид". Якщо дисперсія імовірного розподілу випадкового члена різна для різних спостережень, то буде мати місцегетероскедастичність, що означає "неоднаковий розкид". При стандартному методі оцінки параметрів регресії стають неефективними і зсуненими. При цьому перевірка значущості параметрів регресії і довірчі інтервали для значень теоретичної регресії на базисних даних стають некоректними.

42

кореляції Спірмена.

Припускається, що дисперсія випадкового члену буде або збільшуватися,

або зменшуватися при збільшенні , Хі тому в регресії, яка оцінюється за допомогою МНК. абсолютні значення залишківе та значенняХ будуть корельовані. Дані по Х та абсолютні значення залишківе упорядковуються, і

коефіцієнти рангової кореляції визначаються так:

n

відхилена при рівні значимості 5%, якщо її абсолютна величина буде більшою за 1,96, та при рівні значимості 1%, якщо її абсолютна величина буде більшою за 2,58.

43

Узагальнений метод найменших квадратів для моделі з

гетероскедастичними залишками

(метод зважених найменших квадратів)

давати різний внесок у значення цієї ,сумищо в остаточному підсумку

Теоретична дисперсія випадкового члена i в-му спостереженні стає рівною одиниці. Отже, модель

стає гомоскедастичною, і проблема гетероскедастичності усунута.

На практиці числаsi , як правило, невідомі, і , оскільки число цих параметрів дорівнює n , то без додаткових обмежень немає надії одержати прийнятні оцінки дисперсії. Існує декілька способів для постановки додаткових обмежень, які накладаються із аналізу даних. В залежності від обмежень,

використовують різні тести на гетероскедастичність: Тостера-Стюарта,

Голфреда-Кванта, Глейзера. З цими підходами можна ознайомитися у рекомендованій літературі.

44

Завдання для самостійної роботи

Дані наведено в таблиці:

Питання для самоконтролю

1.Що означають поняття "гомоскедастичність" та "гетероскедастичність"?

2.Чим характеризується вплив "гетероскедастичності" на оцінки параметрів регресії?

3.Якими способами можна позбутися гетероскедастичності?

4.В чому полягає метод зважених найменших квадратів?

45

5.Які властивості оцінок параметрів методу зважених найменших квадратів у порівнянні зі звичайним МНК?

Література

[1–9]

46