Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
учеба / Ekonomiko-matematichn__metodi_ta_model__Ekono.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
720.07 Кб
Скачать

Модуль 2. Економетрика

Змістовий модуль 1. Класичні лінійні регресійні моделі

Тема 2. Лінійні моделі множинної регресії

Мета: ознайомити студентів з побудовою множинної регресії, оцінкою її

параметрів та якості, , деякими статистичними функціями EXCEL.

План вивчення теми

1.Оцінювання параметрів множинної регресії.

2.Коефіцієнти множинної кореляції та детермінації. Оцінений коефіцієнт детермінації.

3.Класична лінійна модель множинної регресії. Теорема Гауса-маркова.

4.Матриця коефіцієнтів парної кореляції та її застосування для визначення кореляції.

5.Перевірка моделі на адекватність. Критерій Фішера.

6.Визначення статистичної значимості параметрів регресії, Критерій Стьюдента.

7.Надійні інтервали для параметрів регресії.

8.Точкова та інтервальна оцінка прогнозного значення показника.

9.Методи визначення мультиколінеарності та способи її усунення.

Методичні рекомендації

Якщо виникає потреба розглядати залежність показника від декількох факторів, треба будувати множинну регресію:

y = a0 + a1x1 + a2 x2 + ... + ap x p + e ,

(14)

де y- показник , x1, x2 ,..., xp - фактори, e

- випадкова величина,

 

або для i - го спостереження, i = 1,..., n :

 

 

yi = a0 + a1x1i + a2 x2i

+ ... + a p x pi + ei .

(15)

24

В моделі мають бути присутніми тільки незалежні фактори. Одним із методів визначення наявності чи відсутності мультиколінеарності(залежності факторів) є побудова матриці парних коефіцієнтів кореляції:

æ

 

 

Y

X

1

X

2

...

X

p

ö

 

ç

Y

 

ryy

 

 

...

 

÷

 

ç

 

ryx1

ryx2

ryxp

÷

 

ç

X

 

r

r

 

r

 

...

r

 

÷

(16)

R = ç

X

1

x1y

x1x1

x1x 2

...

x1xp

÷.

ç

2

r

r

 

r

 

r

 

÷

 

ç

 

x 2 y

x 2x1

x 2 x 2

 

x 2xp

÷

 

 

 

...

...

...

...

...

 

ç ...

÷

 

ç

X

p

r

r

 

r

 

...

r

 

÷

 

è

 

xpy

xpx1

xpx2

 

xpxp

ø

 

Матриця має властивості: діагональні елементи дорівнюють одиниці;

матриця симетрична відносно головної діагоналі. Для розрахунку коефіцієнтів парної кореляції r можна користуватися функцією КОРРЕЛ.

Для кожної пари факторів визначають коефіцієнт парної кореляції. Якщо

значення коефіцієнта кореляції близько за модулем до одиниці, то між цими факторами існує тісний зв'язок, тобто фактори залежні. Треба виключити один з цих факторів. Виключають той, що має менший вплив на показник, про що

свідчать коефіцієнти кореляції між факторами та

показником( у першому

рядку матриці).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметри

регресії

визначаються у

матричному

вигляді наступним

чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = (X T X )-1 X T Y ,

 

 

(17)

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ1

x

x

 

...

x

p1

ö

 

 

 

ç

 

11

 

21

...

 

÷

 

 

 

ç1

x12

x22

x p2 ÷

спостережень

за незалежними

X = ç

. .

 

.

.

 

.

÷ - матриця

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

x2n

...

 

 

÷

 

 

 

è1 x1n

xpn ø

 

 

 

змінними;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X T - матриця, транспонована до матриці X ;

 

 

( X T X )-1 - матриця, обернена до матриці ( X T X )

;

 

25

 

æ y

 

ö

 

 

ç 1

÷

 

Y =

ç y2

÷

- матриця спостережень за показником Y ;

ç

 

÷

 

ç ...

÷

 

 

ç

 

÷

 

 

è yn

ø

 

 

æ a

0

ö

 

 

ç

÷

 

 

ç a1 ÷

 

A =

ç a

 

÷

- матриця параметрів регресії;

 

ç

2 ÷

 

ç ... ÷

çèa p ÷ø

n - кількість спостережень, p - кількість факторів.

Для зменшення степені залежності коефіцієнту детермінації від кількості факторів використовують оцінений коефіцієнт детермінації:

n

å( yi - y роз )2 /(n - p -1)

 

 

2 = 1 -

i=1

 

.

R

 

n

 

 

 

 

å( yi

-

y

)2 / p

 

 

 

s=1

 

 

 

 

Для перевірки адекватності моделі використовується критерій для визначення значимості параметрів регресії – критерій Стьюдента.

Розрахункові значення можна отримати за формулами:

(18)

Фішера,

n

 

 

å( yi

роз -

y

)2 / p

 

 

ai

 

 

F =

 

i =1

 

 

 

 

 

 

;

ti

=

.

(19)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å( yi - yi

роз

)

2

/(n - p -1)

 

 

Sa

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s =1

Для визначення меж довірчих інтервалів показника існує формула:

( yпрроз. - Dyпр ; yпрроз. + Dyпр ),

y роз = a

0

+ a x

+ a

2

x

2

пр

+ ... + a

p

x

pnp

,

(20)

пр

 

1 1пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åei2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

 

 

i =1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(21)

 

 

 

 

 

n - p -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dyпр = tкрит S

1 + X пр ( X T X )-1 X прТ

,

 

(22)

26

де X1пр = (1

x1пр

...

x рпр ) .

 

 

 

 

 

 

 

Статистику

лінійної

множинної

регресії

 

можна

визначит

допомогою

функції

ЛИНЕЙН,

для визначення критичних

значень критеріїв

можна

користуватися

функціямиFРАСПОБР

(0,05;

 

p;

n-p-1) та

СТЬЮДРАСПОБР

(0,05;

n-p-1).

Для

визначення

добутку

матриць

можна

користуватися функцією

МУМНОЖ, для обчислення оберненої матриці -

функцією МОБР, для транспонування матриць – функцією ТРАНСП.

 

 

 

 

Мультиколінеарність та її вилучення

 

 

 

 

Наявність

мультиколінеарності

означає,

що

в

 

багатофакторній

регресійній моделі дві або більше незалежних змінних(факторів) пов’язані між собою лінійною залежністю, тобто мають високий ступінь кореляції ( близький до одиниці). Мультиколінеарність може виникати за різних умов:

a)є глобальна тенденція одночасної зміни економічних показників, коли на них впливають однакові фактори;

b)використання в моделях лагових значень однієї змінної (тобто присутня в

моделі змінна у попередній та теперішній період).

Практичними наслідками мультиколінеарності можуть бути:

1)велика дисперсія і коваріація оцінок параметрів, обчислених за МНК;

2)збільшення інтервалів довіри;

3)незначимість t-статистики.

Єдекілька методів визначення мультиколінеарності. Жоден з них не є кращим за інші. Можна визначити такі:

1.Високе значення R2 і незначимість t -статистики.

2.Високе значення парних коефіцієнтів кореляції.

3.Тест Фаррара-Глобера.

Якщо мультиколінеарність виявлено, її треба усунути. Немає єдиних

правил, за якими можна вилучити залежні змінні. Можна визначити кілька

способів.

27

1.

Аналіз первинної інформації, внаслідок чого не включаються

фактори,

 

які можуть бути залежними за економічними міркуваннями.

 

 

2.

Вилучення змінної і помилки специфікації.

 

 

 

3.

Перетворення

змінних, наприклад, замість

змінних

в

рівняння

включаються різниці послідовних значень змінних.

4.Збільшення кількості спостережень.

5.Інші методи: факторний аналіз, метод головних компонент та ін.

 

Завдання для самостійної роботи

 

 

В таблиці наведені дані про

темпи зростання показників десят

розвинутих країн світу за1992 р., де Y - валовий національний продукт, X1 -

обсяг промислового виробництва,

X 2 - індекс цін, X 3 - рівень безробіття.

Статистичні дані наведені в таблиці:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Країна

У

 

Х1

 

Х2

Х3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Японія

3,5

 

4,3

 

2,1

2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

США

3,1

 

4,6

 

3,9

6,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Німеччина

2,2

 

2,0

 

3,4

5,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Франція

2,7

 

3,1

 

2,9

9,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Італія

2,7

 

3,0

 

5,6

11,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Великобританія

1,6

 

1,4

 

4,0

9,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Канада

3,1

 

3,4

 

3,0

10,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Австралія

1,8

 

2,6

 

4,0

2,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бельгія

2,3

 

2,6

 

3,4

8,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нідерланди

2,3

 

2,4

 

3,5

6,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислити кореляційну матрицю (парні коефіцієнти кореляції) та дослідити модель на мультиколінеарність.

28

Оцінити лінійну множинну регресію.

За допомогою критерію Фішера з надійністю0,95 оцінити адекватність

кожної математичної моделі статистичним даним та

оцінити значимість

параметрів регресії з надійністю р=0.95 за допомогою t- статистики .

Надати прогноз валового національного продуктуY деякої країни, якщо

значення факторів: X1 = 3.5, X 2 = 4.8, X 3 =10.5 ; побудувати

з

надійністю

р=0.95 довірчий інтервал прогнозу.

 

 

Обчислити частинні

коефіцієнти еластичності прогнозу.

Побудувати

графіки частинних коефіцієнтів еластичності.

 

 

Дати економічну

інтерпретацію отриманим

результатам. Зробити

висновки.

 

 

 

Питання для самоконтролю

1.Чим відрізняється множинна лінійна регресія від парної?

2.Як визначаються параметри множинної регресії?

3.Які властивості має класична багатофакторна модель?

4.Як перевірити якість моделі та статистичну значимість параметрів?

5.Визначте поняття мультиколінеарності та сформулюйте наслідки, які вона має.

6.Назвіть методи усунення мультиколінеарності.

Література

[1-9]

29

Соседние файлы в папке учеба