Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
учеба / Ekonomiko-matematichn__metodi_ta_model__Ekono.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
720.07 Кб
Скачать

2. ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

«ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ»

Модуль І. Оптимізаційні методи та моделі

Змістовий модуль № 1. Методи оптимізації на основі задачі лінійного

програмування

Тема 1. Концептуальні

аспекти

математичного

моделювання

економіки

Об’єкт, предмет, цілі, завдання та структура курсу.

Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.

Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання.

Поняття моделі. Основні етапи процесу моделювання.

Класифікація економіко-математичних моделей.

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі

Економічна та математична постановка оптимізаційних задач. Вибір критерію оптимізації, функціональних та не функціональних обмежень задачі.

Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування.

Приклади економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосуючи методи та моделі математичного програмування. Історія розвитку та сучасний стан дослідження операцій.

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв'язування

Економічна та математична постановка задач лінійного програмування

(ЛП). Використовувана система гіпотез. Цільова функція задачі . ЛП Визначення множини допустимих планів задачі ЛП. Оптимальний план задачі ЛП. Канонічна форма лінійної оптимізаційної моделі.

7

Геометрична інтерпретація множини

допустимих розв'язків

задачі

лінійного програмування. Графічне розв'язання задач лінійного програмування.

з двома змінними.

 

 

Симплексний метод розв’язування задач ЛП.

 

Симплекс-таблиця та правила її заповнення. Алгоритм симплекс-методу.

Збіжність симплекс-методу. М-метод, інші

методи розв’язування

задач

лінійного програмування.

 

 

Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних

задач

Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряжених задач ЛП.

Правила побудови двоїстих задач. Економічна інтерпретація пари двоїстих задач. Основні теореми двоїстості задач та їх економічний зміст.

Післяоптимізаційний аналіз задач . ЛПАналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей.

Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.

Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів. Аналіз коефіцієнтів цільової функції. Аналіз коефіцієнтів технологічної матриці для базисних і вільних змінних.

Приклади практичного використання двоїстих оцінок у ана економічних задач.

Двоїстий симплексний метод.

Тема 5. Транспортна задача

Постановка

транспортної

задачі, особливості

її

структури

та

її

властивості. Знаходження опорних планів транспортної задачі.

 

 

 

Метод

потенціалів

знаходження

розв’язків

транспортної.

задач

Економічний аналіз транспортних задач.

 

 

 

 

 

Застосування

транспортних

моделей

для

розв’язування

деяк

економічних задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Змістовий модуль № 2. Спеціальні методи математичного програмування

в оптимізації процесів й прийняття рішень

Тема 6. Цілочислове програмування

Область застосування цілочислових задач ЛП у плануванні й управлінні виробництвом. Математична постановка цілочислових задач лінійного програмування.

Геометрична інтерпретація розв’язків на площині.

Методи розв’язування цілочислових задач ЛП. Метод Гоморі. Метод віток і меж.

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Економічна сутність і постановка та моделі окремих

типів

задач

нелінійного програмування (НЛП).

 

 

 

 

 

 

Задачі

дробово-лінійного

програмування(ДЛП).

Основні

методи

 

розв’язування задач ДЛП.

 

 

 

 

 

 

Метод оптимізації задач НЛП на базі використання множників Лагранжа

 

та їх економічна інтерпретація.

 

 

 

 

 

 

Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової

 

точки. Теорема Куна-Таккера.

 

 

 

 

 

 

Деякі з основних методів розв’язування задач НЛП.

 

 

 

Методи аналізу оптимального плану задачі НЛП.

 

 

 

Економічна

постановка

та

математичні

моделі

окремих

за

квадратичного програмування (КП). Основні методи розв’язування задач КП.

 

Тема 8. Динамічне програмування

 

 

 

 

 

Загальна постановка задачі динамічного програмування та її геометрична

 

інтерпретація. Принцип оптимальності.

 

 

 

 

 

Знаходження

розв'язку

економічних

задач

методом

динамічного

програмування.

 

 

 

 

 

 

 

 

Деякі економічні задачі, які розв’язуються методами динамічного програмування

9

Тема 9. Теорія ігор і прийняття рішень

Основні поняття теорії ігор. Приклади ігор. Прийняття рішень в умовах ризику. Ігри з нульовою сумою. Мішані стратегії в матричних іграх.

Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.

Зведення задачі лінійного програмування до матричної гри.

Модуль ІІ.

Індивідуальне науково - дослідницьке завдання (ІНДЗ).

Модуль ІІІ. Економетрика

Змістовий модуль № 1. Класичні лінійні регресійні моделі

Тема 1. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна

регресія

 

 

 

 

 

 

Сучасні

методологічні

основи

економетричного

моделюванн.

Статистична база економетричних моделей. Основні типи економетричних

моделей, їх

зв’язок

з

іншими

типами

математичних

. моделейЕтапи

економетричного аналізу економічних процесів та явищ.

Класична лінійна модель парної регресії. Оцінка параметрів лінійної

регресії

за

допомогою

методу

найменших

квадратів(МНК).

Основні

 

припущення у парній лінійній моделі. Аналіз

варіації залежної

змінної

у

простій

регресії. Коефіцієнти

кореляції та

детермінації. Теорема

Гауса-

Маркова. Оцінка дисперсії випадкової величини помилкиe. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність. Статистичні властивості МНК-оцінок параметрів парної регресії. Перевірка статистичної значимості параметрів регресії. Коефіцієнт еластичності. Надійні інтервали для параметрів регресії.

Прогнозування за моделями простої лінійної регресії: точкова та інтервальна оцінки прогнозу значень показника.

10

Тема 2. Лінійні моделі множинної регресії

 

 

 

 

Загальний

вигляд

багатофакторної лінійної економетричної

.моделі

Основні припущення у багатофакторному регресійному аналізі. Оцінювання

параметрів

множинної лінійної регресії за методом

найменших

квадратів.

Аналіз варіації залежної змінної у множинній регресії. Коефіцієнт множинної

кореляції

та

детермінації. Часткова кореляція. Теорема

Гауса-Маркова.

Властивості

методу найменших квадратів. Оцінка дисперсії

випадкової

величини помилки e. Перевірка множинної регресійної моделі на адекватність.

Статистичні

 

властивості

МНК-оцінок

параметрів

множинної . регресі

Перевірка статистичної значимості параметрів

регресії. Частинні

коефіцієнти

еластичності. Надійні інтервали для параметрів регресії та прогнозних значень показника. Приклади практичного застосування багатофакторної регресії.

Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів регресії. Методи визначення мультиколінеарності та способи її усунення.

Змістовий модуль № 2. Різні аспекти економетричного моделювання

Тема 3. Нелінійні моделі та перетворення змінних

Специфікація моделі. Криві зростання. Найпростіші перетворення нелінійних парних моделей у лінійні: експоненціальна, степенева, квадратична функції; модифікована експонента, крива Гомперця, логістична крива.

Коефіцієнти еластичності в нелінійних моделях. Приклади застосування нелінійних моделей на практиці.

Нелінійні багатофакторні моделі та їх перетворення в лінійні. Приклади практичного застосування багатофакторної регресії. Мультиплікативна виробнича функція.

Тема 4. Фіктивні змінні в економетричних моделях

Урахування якісних ознак показника за допомогою фіктивних змінних.

Порівняння регресійних моделей за допомогою тесту . ЧоуНезалежність і взаємодія якісних ознак. Фіктивні змінні для вільного члену та коефіцієнту нахилу регресії. Стандартні помилки і перевірка гіпотез.

Використання фіктивних змінних у сезонному аналізі. 11

Тема 5. Узагальнені економетричні моделі

Поняття гомоскедасичності та гетероскедастичності. Вплив гетероскедастичності на властивості оцінок параметрів. Тестування наявності гетероскедастичності: графічний метод, тест Спірмена.

Узагальнений метод найменших квадратів(метод Ейткена) для оцінки параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастичними залишками.

Формування матриці S. Визначення оператора оцінок та відповідної коваріаційної матриці. Приклад застосування методу Ейткена. Прогноз.

Тема 6. Економетричні моделі динаміки

Природа й наслідки автокореляції. Методи визначення автокореляції.

Моделі з автокорельованими залишками. Методи оцінювання параметрів:

Ейткена, перетворення вихідної інформації, Кочрена-Оркатта, Дарбіна.

Багатофакторні лінійні економетричні моделі динаміки та особливості їх побудови.

Поняття лагу й лагових змінних. Моделі розподіленого лагу. Взаємна кореляційна функція. Лаги залежної і незалежних змінних. Методи оцінювання параметрів за схемою Койка, адаптивних сподівань, часткового коригування.

Приклади автокореляційних моделей. Прогноз.

Модуль ІV.

Індивідуальне науково - дослідницьке завдання (ІНДЗ).

12

3. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Модуль 3. Економетрика Змістовий модуль 1. Класичні лінійні регресійні моделі

Тема 1. Принципи побудови економетричних моделей. Парна

лінійна регресія

Мета : Ознайомити студентів з основами побудови, оцінкою якості

парної лінійної регресії та прогнозуванням на її основі, деякими статистичними

функціями EXCEL

План вивчення теми

1.Методологічні основи економетричного моделювання.

2.Статистична база економетричних моделей.

3.Етапи економетричного аналізу даних.

4.Оцінка параметрів лінійної регресії за допомогою методу найменших квадратів.

5.Коефіцієнти кореляції та детермінації.

6.Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера.

7.Оцінка статистичної значимості параметрів регресії за критерієм Стьюдента.

8.Надійні інтервали для параметрів регресії.

9.Прогнозування за моделлю простої лінійної регресії.

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

 

 

Економетрика – це

наука, що

вивчає

кількісні

закономірності

та

взаємозв’язки

економічних

об’єктів

і

процесів

за

допомогою

метод

математичної статистики.

 

 

 

 

 

 

Етапи проведення економетричного аналізу:

 

 

 

 

1.Формулювання теорії и гіпотези.

2.Розробка економетричної моделі для перевірки цієї теорії.

3.Оцінка параметрів обраної моделі.

13

4.Перевірка моделі на адекватність, статистичні висновки.

5.Прогнозування на основі отриманої моделі.

Інформаційною базою економетричних моделей є динамічні(часові) і

варіаційні (просторові) статистичні ряди даних. Кожний ряд даних має свої числові характеристики.

Динамічним рядом називається послідовність спостережень за процесом

або явищем у рівновіддалені проміжки часу. Динамічний ряд характеризується

середньою

хронологічною, середнім абсолютним

приростом,

коефіцієнтами

росту та

приросту, дисперсією (варіацією) або

середнім

квадратичним

відхиленням , коефіцієнтом варіації.

Варіаційним рядом називається ряд даних, який показує кількісну міру

певної ознаки у всіх об’єктів

однієї сукупності. Варіаційний ряд має такі

числові

характеристики:

середня

арифметична,

медіана,

мода,

дисперсія

(варіація) або середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

 

 

Зазначені числові характеристики визначалися при вивченні дисципліни

«Теорія ймовірностей та математична статистика».

 

 

 

 

 

Найпростіша економетрична

модель аналізує вплив одного параметру

(надалі

будемо

називати

його

фактором) на

деякий

економічний

показник

(надалі будемо називати його показником) на основі лінійного відношення.

Функція залежності однієї змінної від іншої називається парною регресією.

Для аналізу впливу фактора на показник треба мати статистичні дані

спостережень.

При

 

цьому

необхідно

пам, ’ятатищо

адекватність

економетричної моделі залежить не тільки від розподілу даних,

також від

кількості

спостережень.

Якщо

спостережень

мало, то

навряд чи

побудована

економетрична

модель

буде

адекватною. І навпаки,

при

великій

кількості

даних більш імовірним стає побудова адекватної регресійної моделі.

Розглянемо етапи побудови моделі та перевірки її на адекватність на прикладі.

Приклад. Обсяг реалізації продукції Y (в тис. тон) і витрат на рекламу Х

(в тис. грн.) наведені в таблиці:

14

yiроз.

Х

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

6.33

6.49

9.15

13

13.15

16.05

18.43

18.52

20.77

21.15

22.25

22.74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Побудуємо діаграму розподілу на основі даних спостережень. Точки спостережень групуються навколо вдаваної прямої(див. рис. на стор. 17-18).

Тому припустимо, що дані спостережень наближено можна описати лінійною залежністю між фактором Х та показникомY. Побудуємо парну лінійну регресійну модель:

 

 

 

yi = a0 + a1xi + li , i = 1,...,n

 

(1)

де a0 , a1 – параметри, які треба визначити;

 

 

l

i

– відхилення фактичних значень y

i

від їх оцінки

y роз.

;

 

 

 

 

 

i

 

n - кількість спостережень.

 

 

 

 

 

Параметри a0 , a1

визначимо

методом найменших квадратів, згідно з

яким,

 

сума квадратів

різницьli

має

 

бути мінімальною

для найкращого

n

наближення, яке забезпечує регресія , тобто åli2 Þ min .

i =1

За допомогою вказаного методу отримані значення параметрів:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

n

 

 

cov(x, y)

 

 

 

nåxi yi - åxi å yi

a1

=

=

 

i=1

i=1

i=1

=3,2426,

 

 

 

 

n

 

ö2

 

 

 

var(x)

 

 

 

 

æ

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nåxi2

- çç

åxi ÷÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

è i=1

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å yi - ai åxi

 

a

0

=

y

- a

x

=

i=1

 

i=1

 

= 0,2669,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

де x, y - середні значення вибіркових даних.

Отже, розрахункові значення показника обчислюються за формулою:

= 0,2669 + 3,2426 хі.

(2)

(3)

15

Економетрична модель залежності обсягу реалізації продукції від витрат на рекламу

n =

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хі

Xi*Yi

 

Xi^2

Хі-Х

Yі-Y

(Хі-Х)^2

(Yі-Y)^2

(Хі-Х)*

Yі роз.

(Yі-

(Yі роз.-

Ке

 

(Yі-Y)

Yі роз.)^2

Y)^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

6,33

12,7

 

4,0

-2,8

-9,3

7,6

87,2

25,7

6,8

0,2

79,5

0,960

2

2,5

6,49

16,2

 

6,3

-2,3

-9,2

5,1

84,3

20,7

8,4

3,5

53,2

0,968

3

3

9,15

27,5

 

9,0

-1,8

-6,5

3,1

42,5

11,4

10,0

0,7

32,2

0,973

4

3,5

13

45,5

 

12,3

-1,3

-2,7

1,6

7,1

3,3

11,6

1,9

16,4

0,977

5

4

13,15

52,6

 

16,0

-0,8

-2,5

0,6

6,3

1,9

13,2

0,0

5,9

0,980

6

4,5

16,05

72,2

 

20,3

-0,3

0,4

0,1

0,1

-0,1

14,9

1,4

0,7

0,982

7

5

18,43

92,2

 

25,0

0,3

2,8

0,1

7,6

0,7

16,5

3,8

0,7

0,984

8

5,5

18,52

101,9

 

30,3

0,8

2,9

0,6

8,1

2,1

18,1

0,2

5,9

0,985

9

6

20,77

124,6

 

36,0

1,3

5,1

1,6

26,0

6,4

19,7

1,1

16,4

0,986

10

6,5

21,15

137,5

 

42,3

1,8

5,5

3,1

30,0

9,6

21,3

0,0

32,2

0,987

11

7

22,25

155,8

 

49,0

2,3

6,6

5,1

43,3

14,8

23,0

0,5

53,2

0,988

12

7,5

22,74

170,6

 

56,3

2,8

7,1

7,6

50,0

19,4

24,6

3,4

79,5

0,989

Сума

57,0

188,0

1009,1

 

306,5

0,0

0,0

35,8

392,7

115,9

188,0

16,8

375,9

11,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сер.

4,8

15,7

 

 

 

 

 

 

 

 

15,7

 

 

1,0

знач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

Хі -

витрати на рекламу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yі -

обсяг реалізації товару

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yі роз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

обсяг реалізації (розрахункові за моделлю дані)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х -

середньовибіркове значення Хі

 

 

 

 

ЛИНЕЙН:

3,2426

0,2669

 

 

 

 

Y -

середньовибіркове значення Yi

 

 

 

 

 

0,2169

1,0961

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,9572

1,2967

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223,5431

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

375,8888

16,8151

 

 

 

1)

Вид регресійної кривої:

 

у=а0+а1*х

 

 

 

 

 

2)

 

 

а1

 

 

 

 

 

Значення параметрів регресійної кривої:

=

3,2426

 

 

 

 

 

 

 

а0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0,2669

 

 

 

 

3)

Середньоквадратична помилка регресії:

s =

1,2967

 

 

 

 

 

Відносно середньовибіркового значення

 

 

 

 

 

 

 

Yсер

 

R2

8,28%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Коефіцієнт детермінації

 

=

0,9572

 

5) Коефіцієнт

кореляції

0,9784

6)

 

 

 

95,72%

 

 

 

 

Перевірка критерія Фішера:

 

F =

223,5431

>

Fкрит.=

4,96

 

7)

Перевірка значимості коефіцієнтів регресії а1,а0:

Sa1

 

 

 

 

 

 

 

стандартне відхилення:

 

 

 

 

 

 

 

=

0,2169

 

 

 

 

 

 

 

|t1|

 

 

 

 

 

 

 

перевірка крітерію Стьюдента:

=

14,9514

>

tкрит. =

2,228

 

8)

Коефіцієнт еластичності:

Еластичність, що обчислена на основі середніх значень:

 

К =

0,9830

Хпр=

 

10

 

Yпр=

32,692751

dy= 3?93444

Надійний інтервал: ( 28,75831167 36,62719 )

17

Середньоквадратична помилка регресії:

 

 

ån (yi - yiроз. )2

 

 

 

 

 

 

 

s =

i =1

= 1,2967.

 

 

 

 

(4)

 

n - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

Відносно

середнього

вибіркового

значення

y

=

å yi = 15,7

це

 

 

 

 

 

 

 

n i =1

 

становить 8,28 %.

Коефіцієнт кореляції R обчислюється за формулою :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

cov(x, y)

 

 

 

 

 

nåxi yi - å xi å yi

 

 

 

 

 

R =

 

 

 

=

 

 

i =1

 

i =1

i =1

 

 

 

 

.

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

var(x)

 

 

 

æ

 

ö2

 

 

 

æ

 

ö2

 

 

var( y)

 

 

 

 

n

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nå xi2

- çç

å xi ÷÷ nå yi2

- çç

å yi ÷÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

è i =1

ø

 

i =1

 

è i =1

ø

 

 

 

Для даної моделі R=0,978 означає, що між фактором та показником існує тісний додатний зв'язок.

Коефіцієнт детермінації для даної моделі дорівнює

R 2 =

ån (yiроз -

y

)2

= 0,9572.

(6)

i=1

n

 

å(yi -

y

)2

 

 

i=1

Таким чином, згідно з обраною моделлю, залежність показника Y

пояснюється саме фактором Х, залученим у модель, з урахуванням специфікації моделі, на 95,72 %, і тільки на4,28% зумовлена факторами, що лежать поза межами моделі, у тому числі і випадковими. Можна зробити висновок, що в модель включений найбільш суттєвий фактор.

Перевіримо адекватність побудованої лінійної моделі за критерієм Фішера. Для цього розрахуємо значення F-критерію згідно з моделлю:

n

å( yi роз - y)2 /1

F =

i=1

 

= 223,5431.

(7)

n

 

 

å( yi - yi роз

)2 /(n - 2)

 

s=1

18

За статичними таблицямиF-розподілу Фішера для5%-ого

рівня

значимості (задаємо довільно) та при степенях вільності відповідно1 (для

парної

регресії) і

n-2=10

знайдемо критичне

значення Fкрит = 4,96. Таким

чином,

розраховане значення F більше,

 

ніж критичне.

Отже, можна

зробити

висновок про адекватність побудованої моделі вихідним даним заF-критерієм

Фішера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із

 

двох

 

 

оцінених параметрів

саме

параметрa1

визначає

степінь

залежності показника від фактора. Тому

перевіримо

його

статистичну

значимість.

Це

можна

зробити

 

за

допомогою

критерію

.Стьюден

Розрахункове

 

значення t-статистики

отримаємо як відношення

a1

до

своєї

стандартної похибки Sa

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

=

a1

= 14,95 ,

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Sa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

де

Sa

=

 

 

s 2

 

= 0,2169,

 

 

 

s2 = å( yiроз - yi ) /(n - 2) .

 

(9)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å(xi -

x

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критичне значення t-статистики знаходимо за статистичними таблицями

t-розподілу Стьюдента при рівні

значимостіa = 0,05

(задаємо

довільно) та

ступенях вільності n-2= 10: tкрит. = 2,228.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

чином, розрахункове

значення

більше,

ніж

критичне. Отже,

параметр

a1 з надійністю 95% можна вважати статистично значимим.

 

 

Для

оцінки

впливу

фактора

Х

на показникY без урахування

одиниць

виміру обчислимо коефіцієнти еластичності для кожного спостереження за

формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K xi

= a1

yiроз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та побудуємо діаграму.

Як бачимо(стор.17-18), еластичність обсягу реалізації продукції збільшується при збільшенні затрат на рекламу.

19

Еластичність, що обчислена на основі середніх значень

показника і

фактора, складає

 

 

 

 

K e = a

 

x

=0,983.

(11)

 

 

x

1

y

роз.

 

 

Це означає, що якщо фактор зміниться на1%, то показник зміниться на

0,983%.

Модель є адекватною, як було показано, зі статистично значимим

параметром

a1 . Тому її можна

використовувати для прогнозування обсягу

реалізації продукції .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад, визначимо, яким

буде

обсяг реалізації продукції, якщо

затрати на

рекламу складуть 10

тис. грн. Можна обчислити

точкову

та

інтервальну оцінку прогнозу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точкову оцінку отримаємо за формулою:

 

 

 

yпрроз. = 0,2669 + 3,2426хпр = 32,693 (тис. тон).

(12)

Далі побудуємо надійний інтервал з границями ( yпрроз. - Dyпр ; yпрроз. + Dyпр ),

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xпр

-

 

 

)2

 

 

 

 

 

Dyпр = tкрит S 1 +

1

+

x

= 3,934.

(13)

 

n

ån (xi

 

 

 

 

 

-

 

)2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Границі довірчого інтервалу(28,759;

36,627) (тис. тон) встановлені

з

надійністю 95%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використання статистичних функцій в електронних таблицях EXCEL

для розрахунку статистики лінійної моделі

Для розрахунку параметрів та статистики моделі можна користуватися

статистичною функцією ЛИНЕЙН в електронних таблицях EXCEL :

ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x;конст;статистика)

Для даної задачі:

20

известные_значения_y – значення обсягу реалізації продукції (масив значень У)

известные_значения_x – значення затрат на рекламу (масив значеньХ)

конст – значення, яке показує, чи необхідно, щоб константа мала нульове значення (

конст має значенняЛОЖЬ, задається значення 0), чи щоб константа обчислювалася звичайним способом ( конст має значення ИСТИНА, задається значення 1).

статистика – значення, яке показує, чи необхідно, щоб виводилась додаткова статистика по регресії ( конст має значення ИСТИНА, задається значення 1) або треба вивести тільки значення параметрів регресії( конст має значення ЛОЖЬ,

задається значення 0).

Регресійна статистика має вигляд:

an

 

an-1

 

 

a1

 

a0

Sn

 

Sn-1

 

 

S1

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

Sy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

Df

 

 

 

 

 

 

ssr sse

де

an, an-1,…, a0

Параметри регресії

Sn, Sn-1,..., S0

Стандартні помилки параметрів an, an-1,…, a0.

R2

Коефіцієнт детермінації.

Sy

Стандартна помилка для оцінки y

F

F-статистика.

Df

Ступені вільності

ssr

Сума квадратів регресії

ssе

Сума квадратів залишків

Для розрахунку за допомогою функції ЛИНЕЙН треба виконати такі дії: 1) викликати функцію ЛИНЕЙН в ЕХСЕL (fx);

21

2)у вікні функції задати значення Х(незалежної змінної - фактора) та значення У (залежної змінної – показника); також задати значення статистики (1) та константи (1); Ок;

3)виділити область на листі ЕХСЕL : кількість стовпчиків дорівнює кількості параметрів регресії; кількість рядків завжди однакова: 5;

4)натиснути функціональну клавішу F2;

5)натиснути одночасно клавіші Ctrl, Shift, Enter.

Критичне значення критерію Фішера знаходяться за допомогою функції

EХCEL FРАСПОБР (0,05; 1; n-2) для надійності 0,95 та при одному факторі, n –

кількість спостережень.

Критичне значення критерію Стьюдента обчислюється за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР (0,05; n-2) для надійності 0,95, n – кількість спостережень.

Завдання для самостійного виконання

1. Маємо статистику витрат родини(в умовних одиницях) залежно від кількості її членів. Побудувати лінійну регресію і визначити параметри.

Розрахувати коефіцієнти кореляції та детермінації.

Перевірити модель на адекватність за критерієм Фішера та оцінити статистичну значимість параметрів регресії за критерієм Стьюдента.

Визначити границі надійного інтервалу для параметрів регресії.

Зробити висновки щодо якості моделі.

Зробити оцінки прогнозу(точкову та інтервальну) витрат на відпустку,

якщо кількість відпочиваючих 5 осіб. Зробіть висновки.

Кількість членів

1

2

2

4

6

родини

 

 

 

 

 

Витрати на

17

11

23

19

30

відпустку

 

 

 

 

 

22

Питання для самоконтролю

1.Що є інформаційною базою економетричних моделей?

2.Наведіть приклад варіаційного ряду. Розрахуйте його основні характеристики.

3.Дайте приклад динамічного ряду. Визначте його числові характеристики.

4.Назвіть етапи економетричного аналізу.

5.Що називається регресією, парною лінійною регресією?

6.Назвіть властивості класичної парної моделі регресії.

7.Сформулюйте теорему Гауса-Маркова.

8.Як оцінюється якість моделі?

9.Чим визначаються межі надійних інтервалів для параметрів регресії та прогнозного значення показника?

Література

[1-9]

23

Соседние файлы в папке учеба