Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математичні моделі у фінансах / Рядно О.А. та ін. Математичні моделі у фінансах

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
3.44 Mб
Скачать

Систему нерівностей за допомогою додаткових змінних можна перетворити на систему рівнянь, тому будь-яку пару симетричних двоїстих задач можна перетворити на пару несиметричних.

Основні теореми двоїстості. Зв'язок між оптимальними розв'язками двоїстих задач (2.1)-(2.3) і (2.13 - (2.15) встановлюється за допомогою теорем двоїстості, які доводяться з використанням допоміжного твердження, сформульованного нижче.

Основна нерівність теорії двоїстості. Нехай є пара двоїстих

задач. Для будь-яких припустимих розв’язків

X

 

 

 

x1,

 

x2, ..., xn

 

 

 

T

і

 

 

 

 

Y

 

 

 

y1, y2, ..., ym

 

 

 

початкової і

двоїстої

задач

 

справедлива

 

 

 

 

 

нерівність:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(X) f (Y) або

cj xj

bi yi .

(2.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достатня ознака оптимальності формулюється у вигляді

наступної теореми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1. Якщо

X

 

 

 

x1*,x2*,...,xn*

 

 

 

T

і Y

 

 

y1*,y2*,...,yn*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

припустимі розв'язки взаємно двоїстих задач, для яких виконується рівність:

 

z(X ) f (Y ),

 

(2.17)

то X – оптимальний розв'язок початкової задачі, а

Y – двоїстої

задачі.

 

 

 

Доведення. Нехай X1 – будь-який припустимий розв'язок

початкової задачі

першого типу. Тоді на підставі основної нерівності

(2.15) одержимо

z(X1) f (Y ). Але X1

– довільний розв'язок

початкової задачі. Звідси в силу рівності

(2.17)

випливає, що

z(X1) z(X ),

тобто X – оптимальний розв'язок для початкової

задачі першого типу.

 

 

Нехай Y1 – довільний припустимий розв'язок двоїстої задачі

першого типу. Тоді в силу нерівності (2.16) маємо:

 

 

z(X ) f (Y ).

 

(2.18)

 

1

 

 

Звідси на основі (2.17):

 

 

 

f (Y ) f (Y ),

 

(2.19)

 

1

 

 

41

zmax fmin

тобто Y* оптимальний розв'язок двоїстої задачі. Теорему 2.1 доведено.

Крім достатньої ознаки оптимальності взаємно двоїстих задач, існують і інші важливі співвідношення між їх розв'язками. Насамперед виникають питання: чи завжди для кожної пари двоїстих задач існують одночасно оптимальні розв'язки? Чи можлива ситуація, коли одна з двоїстих задач має розв'язок, а інша – ні? Відповідь на ці питання дає наступна теорема.

Теорема 2.2. Перша (основна) теорема двоїстості. Якщо одна з взаємно двоїстих задач має оптимальний розв'язок, то його має й інша, причому оптимальні значення їх лінійних цільових функцій збігаються:

чи z X f Y . (2.20)

Якщо цільова функція однієї з задач не обмежена, то умови іншої задачі суперечливі.

Доведення. З першої частини твердження теореми 2.2, яку ми приймаємо без доведення, випливає, що рівність є не тільки достатньою, але й необхідною ознакою оптимальності рішень взаємно двоїстих задач.

Твердження другої частини легко доводиться методом від супротивного. Припустимо, що у початковій задачі лінійна цільова функція необмежена, тобто zmax , а умови двоїстої задачі не є суперечливими, іншими словами, існує хоча б один припустимий

розв'язок Y

y1,

y2, ...,

ym

. Тоді в силу основної нерівності теорії

двоїстості (2.15) z X

f Y , що суперечить умові необмеженості

z X . Отже, якщо

zmax

у початковій задачі, то припустимих

рішень у двоїстій задачі бути не може, а значить, друге твердження теореми 2.2 доведено.

Тісний зв'язок між двома двоїстими задачами виявляється не тільки в рівності оптимальних значень їх лінійних цільових функцій, про що стверджується в теоремі 2.2. Нехай дано дві взаємно двоїсті задачі першого типу. Якщо кожну з них вирішувати симплексним методом, то необхідно привести їх до канонічного вигляду. Для цього в систему обмежень початкової задачі першого типу (скорочений

n

запис aijxj bi ; i 1,2,...,m) треба ввести m невід'ємних змінних

j 1

xn1,xn2,...,xni,...,xnm, а в систему обмежень відповідної двоїстої задачі

42

i 1,2,...,m

m

 

першого типу (скорочений запис aij yi cj ;

j 1,2,...,n) ввести n

i 1

 

невід'ємних змінних ym1,ym 2,...,ym j,...,yn m .

 

Системи обмежень кожної зі взаємно двоїстих задач матимуть вигляд:

n

 

 

 

 

 

aijxj xn i bi;

i 1,

2,

...,

m.

(2.21)

j 1

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

aij yi ym j cj;

j 1,

2,

...,

n.

(2.22)

i 1

 

 

 

 

 

Встановимо відповідність між початковими змінними першої з двоїстих задач і додатковими змінними іншої задачі пари

(див. табл. 2.7) .

Таблиця 2.7

Змінні початкової задачі четвертого типу

 

Початкові

 

 

Додаткові

 

x1

x2

...

xj ...

xn

xn 1

xn 2 ...

xn i ...

yn m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ym 1

ym 2

...

ym j ...

ym n

y1

y2 ...

yj ...

ym

 

Додаткові

 

 

Початкові

 

 

 

Змінні двоїстої задачі

четвертого типу

 

Можна довести таку важливу теорему (іноді її називають другою теоремою двоїстості).

Теорема 2.3. Додатним компонентам оптимального розв'язку однієї зі взаємно двоїстих задач відповідають нульові компоненти оптимального розв'язку іншої задачі, тобто для будь-яких і

j 1,2,...,n:

якщо xj 0, то ym j 0; якщо xn i 0, то yi 0, (2.23)

і аналогічно,

якщо yі 0, то xn i 0; якщо ym j 0, то xj 0. (2.24)

При цьому з теореми 2.3 випливає важливий висновок про те, що введена раніше відповідність між змінними взаємно двоїстих задач при досягненні оптимуму (тобто на останньому кроці розв'язку кожної

43

задачі симплексним методом) являє собою відповідність між основними, як правило, не рівними нулю змінними однієї з двоїстих задач і неосновними, рівними нулю змінними іншої задачі, коли вони утворюють припустимі базисні розв'язки.

Теорема 2.3 є наслідком наступної теореми.

Теорема 2.4. Друга теорема двоїстості. Компоненти оптимального розв’язку двоїстої задачі дорівнюють абсолютним значенням коефіцієнтів при відповідних змінних цільової функції початкової задачі, яка записана через неосновні змінні її оптимального розв’язку.

Теорема надає можливість зівставити витрати на виробництво і ціни на продукцію, на підставі чого можна з’ясувати доцільність виробництва кожного виду продукції.

Наступна теорема 2.5 дозволяє встановити вплив змін обсягів ресурсів на значення цільової функції.

Теорема 2.5. Третя теорема двоїстості. Компоненти опти-

мального плану двоїстої задачі yi*(i 1,2...m) дорівнюють зна-

ченням частинних похідних від цільової функції F(b1,b2,...,bm)за

відповідними аргументами bi,(i 1,2,..., m), або

 

 

F

yi*, i 1,2,...,m.

(2.25)

 

 

 

bi

 

У роботі [25] розглянуто метод розв’язку загальної задачі лінійного програмування (двоїстий симплекс-метод, або метод послідовного уточнення оцінок), який своїм походженням зобов’язаний теорії двоїстості.

Використання двоїстих оцінок уможливлює визначення рентабельності кожного виду продукції, яка виробляється підприємством. Водночас можна оцінити інтервали можливої зміни цін одиниці кожного виду продукції, що дуже важливо за ринкових умов.

Отже, аналіз чутливості лінійної економіко-математичної моделі дає широкий спектр динамічної інформації про визначений оптимальний план і змогу дослідити вплив можливих змін на результати господарської діяльності.

Побудована економіко-математична модель може бути використана для імітації процесу виробництва. Це дає змогу перевірити:

-за яких умов оптимальний план є стійким;

-чи є вигідним додаткове залучення ресурсів;

-як зміниться ефективність виробництва у разі загострення конкуренції на ринку збуту (оцінити виправданість у цій ситуації зниження цін на продукцію);

-доцільність виробництва нової продукції;

44

- як вплине на ефективність діяльності підприємства порушення споживачами продукції попередніх угод, наприклад, їх відмова від частини або всієї продукції. Як має виробник за цих обставин змінити план виробництва продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції.

Відзначимо, що дослідження планів, отриманих за економікоматематичними моделями, на предмет стійкості, а також оцінювання ситуацій мають виконуватися в передплановому періоді.

2.5. Аналіз рентабельності продукції та дефіцитності ресурсів

Виробництво продукції пов’язане з використанням певних ресурсів (сировини, обладнання, людської праці і т.п.). У випадку, коли витрати на виробництво одиниці продукції перевищують її ціну, то виробництво такого виду продукції є нерентабельним.

Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, здійснюють за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі або за допомогою основних змінних прямої задачі, які характеризують обсяги випуску кожного виду продукції.

За правилом побудови двоїстої задачі, ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які

використовують для виробництва одиниці

j-го виду продукції. Якщо

ця величина перевищує

прибуток від реалізації одиниці продукції

(cj), то виготовлення

такої продукції

є нерентабельним і в

оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна xj 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці

продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна xj 0.

Ресурси, які використовуються в процесі виробництва, умовно поділяють на дефіцитні та недефіцитні. Статус ресурсів визначають за допомогою додаткових змінних прямої задачі або за допомогою основних змінних двоїстої задачі. Якщо додаткова змінна прямої задачі xj 0, то відповідний ресурс у процесі виробництва використовується не повністю і є недефіцитним, і відповідна двоїста оцінка yi в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю. Якщо ж додаткова змінна прямої задачі xj 0, то відповідний ресурс використовується у виробництві повністю і є дефіцитним. Відповідна двоїста оцінка yi в оптимальному плані двоїстої задачі буде додатною.

Згідно з третьою теоремою двоїстості, величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться (зменшиться) значення цільової функції, якщо запас відповідного ресурсу збільшити (зменшити) на одну умовну одиницю.

Аналіз задачі пошуку оптимального плану виробництва розглянемо на прикладі.

45

Приклад. З урахуванням спеціалізації і своїх технологічних можливостей підприємство може виготовляти чотири види продукції. Вважатиме, що ринок збуту продукції є необмеженим. Для виготовлення продукції використовують людську працю, напівфабрикати і верстати. Загальний обсяг ресурсів, витрати кожного виду ресурсу на виготовлення одиниці продукції наведені в таблиці 2.8. Необхідно визначити план випуску продукції, за якого підприємство отримало б найбільший прибуток, і здійснити економічний аналіз оптимального плану виробництва.

Таблиця 2.8

Норми витрат ресурсів на виробництво продукції, ум.од.

 

 

Норма витрат ресурсів на

 

 

Ресурси

виробництво одиниці

Запас

 

 

продукції

 

ресурсів

 

 

 

 

 

 

Π1

Π2

Π3

Π4

 

 

Трудові ресурси,

4

2

2

8

4800

 

людино-годин

 

 

 

 

 

 

 

Напівфабрикати, кг

2

10

6

0

2400

 

 

 

 

 

 

 

 

Верстати, машино-

1

0

2

1

1500

 

годин

 

 

 

 

 

 

Ціна одиниці продукції,

65

70

60

120

 

 

ум. од.

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язок

Нехай x1, x2, x3, x4 - обсяги випуску продукції відповідно до виду 1, 2, 3, 4.

Математичні моделі прямої та двоїстої задачі мають такий вигляд:

Пряма:

z 65x1 70x2 60x3 120x4 max

(2.26)

 

4x

2x

2

2x

8x

4

4800

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

2x1

10x2 6x3 2400

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.27)

 

x1 2x3 x4 1500

 

 

 

 

xj

0, j

 

 

 

 

 

 

 

1,4.

 

 

Двоїста:

f

4800y1 2400y2

1500y3 min

(2.28)

46

4y1 2y2 y3 65

 

 

 

10y2 70

 

2y1

 

 

 

6y2 2y3 60

 

2y1

(2.29)

8y

y

3

120

 

 

1

 

 

 

yi 0,i 1,3.

Розв’яжемо пряму задачу симплексним методом. Для цього введемо додаткові змінні x5, x6, x7:

z 65x1 70x2 60x3 120x4 0 x5 0 x6 0 x7 max

4x1 2x2 2x3 8x4 x5 48002x1 10x2 6x3 x6 2400

x1 2x3 x4 x7 1500

xj 0, j 1,7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Базис

 

Сбаз

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

 

 

65

70

60

120

0

0

0

ітерації

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4800

4

2

2

8

1

0

0

0

 

 

 

0

2400

2

10

6

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1500

1

0

2

1

0

0

1

 

zj

 

 

cj

0

-65

-70

-60

-120

0

0

0

 

 

 

 

120

600

1/2

1/4

1/4

1

1/8

0

0

1

 

 

 

0

2400

2

0

6

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

900

1/2

-1/4

7/4

0

-1/8

0

1

 

zj

 

 

cj

72000

-5

-40

-30

0

15

0

0

 

 

 

 

120

500

5/12

-1/6

0

1

1/8

-1/24

0

2

 

 

 

60

400

1/3

5/3

1

0

0

1/6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

200

-1/12

-19,6

0

0

-1/8

-7/24

1

 

zj

 

 

cj

84000

5

10

0

0

15

5

0

Після другої ітерації всі елементи оціночного рядка виявились невід’ємними, отже отримали оптимальний план.

Оптимальний план прямої задачі: X* (0,0,400,500,0,0,200),

zmax 84000.

47

Основні змінні x1 0, x2 0, x3 400, x4 500 показують,

що випуск продукції видів 1 і 2 не передбачається, а продукцію видів 3 і 4 доцільно виготовляти в обсязі 400 та 500 одиниць. За

такого плану виробництва прибуток фірми буде максимальним –

84000 ум. од.

Додаткові змінні x5 0, x6 0, x7 200 показують, що ресурси виду P1, P2 використовуються в процесі виробництва повністю, а залишок ресурсу P3 становить 200 одиниць.

Із останньої симплекс-таблиці випишемо компоненти оптимального плану двоїстої задачі – двоїсті оцінки. В канонічній формі прямої задачі змінні x1, x2, x3, x4 є вільними, а додаткові змінні x5,

x6, x7 - базисними. В канонічній формі двоїстої задачі вільними є змінні y1, y2, y3, а базисними змінними є y4, y5, y6, y7.

Отримаємо наступну відповідність між змінними:

Із оціночного рядка останньої симплекс-таблиці отримаємо:

Y* (15,5,0,5,10,0,0),

fmin zmax 84000.

Враховуючи, що компоненти оптимального плану двоїстої задачі є відносними оцінками вартості ресурсів, робимо висновок, що оцінка ресурсів, що витрачаються в процесі виробництва, збігається з оцінкою виготовленої продукції.

Встановимо ступінь дефіцитності ресурсів і рентабельність виготовлення продукції. Розглянемо систему обмежень прямої задачі і підставимо значення змінних x1, x2, x3, x4 з оптимального плану,

отримаємо:

4 0 2 0 2 400 8 500 4800

2 0 10 0 6 400 2400

0 2 400 500 1300 1500

(ресурс1дефіцитний);

(ресурс 2 дефіцитний);

(ресурс 3 недефіцитни).

Аналогічні висновки можна зробити на підставі оптимального

плану двоїстої задачі. Оскільки y1* 15,

y2* 5, то відповідно

48

перший та другий ресурси – є дефіцитними, а y3* 0 - третій ресурс -

є недефіцитним. Значення y1* 15 означає, що якщо запас першого

дефіцитного ресурсу збільшити

на

одну

умовну

одиницю

(b1 4800 1),

то значення

цільової

функції

zmax

за інших

однакових умов

збільшиться

на

y1* 15 ум.

од. і становитиме

zmax 84000 15 1 8415 ум. од.

Відповідно, якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b2 2400 1), то, згідно з третьою теоремою двоїстості, zmax 84000 5 1 8405 ум. од.

Інтервали зміни дефіцитних ресурсів. Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки залишаться незмінними.

Нехай b1 - зміна запасу дефіцитного ресурсу 1. Тоді симплекстаблиця запишеться у вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Базис

 

Сбаз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

 

 

 

 

 

 

 

65

70

60

 

120

 

0

 

0

 

0

 

ітерації

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4800+ b1

 

4

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

8*

 

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

2400

 

2

 

10

6

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1500

 

1

 

0

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zj

 

 

cj

0

 

-65

-70

-60

 

 

-120

 

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120

600

 

1/2

1/4

 

1/4

 

1

 

 

 

1/8

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2400

 

 

2

 

 

0

 

 

 

6*

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

900

 

1/2

-1/4

 

7/4

 

0

 

 

 

-1/8

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zj

 

 

cj

72000

-5

-40

 

-30

 

0

 

 

 

15

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+15 b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120

500

 

5/12

-1/6

0

 

 

 

1

 

 

 

1/8

-1/24

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

400

 

1/3

5/3

1

 

 

 

0

 

 

 

0

 

1/6

0

 

 

 

 

 

 

0

 

200

 

-1/12

-19,6

0

 

 

 

0

 

 

 

-1/8

-7/24

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zj

 

 

cj

84000

5

 

10

0

 

 

 

0

 

 

 

15

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+15 b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

Новий оптимальний план матиме такий вигляд:

X* (0; 0; 400; 500

1

b

; 0; 0; 200-

1

b

).

 

 

500 1/8 b

8

1

 

 

8

1

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4000;

 

 

 

 

 

b1

400 0;

 

 

 

 

 

1600.

 

 

 

0.

 

b

 

200 1/8 b

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4000 b1 1600.

Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 1600 ум.од. або зменшиться на 4000 ум.од., то на цьому інтервалі його оптимальна двоїёста оцінка залишиться такою ж: y1 15. Тобто запас ресурсу може змінюватись у межах:

4800 4000 b1 4800 1600,

800 b1 6400.

Обсяг виручки підприємства залежно від змін у постачанні ресурсу 1 буде таким:

84000 4000*15 zmax 84000 1600*15,

24000 Zmax 108000.

Оптимальні плани виробництва продукції будуть такими:

(0; 0; 400; 0; 0; 0; 700) X* (0; 0; 400; 700; 0; 0; 0).

Інтервал стійкості двоїстої оцінки y2 5 для дефіцитного ресурсу 2:

 

1

b2

 

 

 

 

 

500

 

 

0;

 

 

 

24

 

b

12000;

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

400

 

b

0;

 

b2

1600

4

 

 

 

2

 

 

 

 

685;

 

7

 

 

 

 

b

 

b2 0.

 

 

2

 

200

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1600 b2

685,

 

 

 

 

 

 

800 b2 3085.

 

50