- •Фгбоу впо «тувинский государственный университет»
- •Предисловие
- •Глава I. Математические понятия, предложения и умозаключения
- •Введение
- •1. Понятия. Объем и содержание понятий
- •2. Отношения между понятиями
- •3. Определение понятий. Способы определения понятий
- •4. Классификация понятий
- •5. Математические предложения
- •5.1. Высказывания и операции над ними
- •5.2. Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними
- •Высказывания с кванторами
- •5.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами
- •6. Умозаключения (рассуждения) и их виды
- •3. А(х)⇒в(х), в(х)⇒с(х) - правило силлогизма.
- •Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
- •2.1. Понятия множества и элемента множества
- •2.2. Способы задания множеств
- •2.3. Отношения между множествами
- •2.4. Операции над множествами
- •2.5. Разбиение множества на классы
- •2.6. Соответствия между элементами двух множеств
- •2.7. Равномощные множества
- •2.8. Отношения между элементами одного множества
- •Лекция 3 геометрические фигуры
- •3.1. Понятие геометрической фигуры
- •3.2. Геометрические фигуры на плоскости
- •3.3. Многоугольники, круг
- •3.4. Геометрические фигуры в пространстве
- •2.5. Тела вращения
- •Лекция 4 величины и их измерение
- •4.1. Понятие величины
- •4.2. Измерение величины
- •4.3. Длина, площадь, масса, время
- •4.4. Зависимость между величинами
- •4.5. История развития системы единиц величин
- •Лекция 6 натуральные числа и нуль
- •5.1. Этапы развития понятия натурального числа
- •5.2. Натуральный ряд и его свойства. Счет
- •5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
- •5.4. Натуральное число как результат измерения величины
- •5.5. Способы записи чисел
- •5.6. Особенности десятичной системы счисления
- •Лекция 6 текстовые задачи
- •6.1. Понятие текстовой задачи
- •6.2. Способы решения задачи
- •6.3. Основные этапы решения задачи
- •I этап.
- •II этап.
- •IV этап.
- •6.4. Моделирование в процессе решения задач
- •Оглавление
2. Отношения между понятиями
Понятия взаимно связаны и взаимно обуславливают друг друга. Никакое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь определять эти отношения.
Отношения между понятиями напрямую связаны с отношениями между соответствующими им объёмами.
Условимся обозначать понятия малыми (строчными) буквами латинского алфавита: а, в, с, …, z. Их объёмы будем обозначать соответственно: Va, Vв, Vc, …, Vz.
Пусть заданы понятия а и в, имеющие объёмы Va и Vв. Так как объём понятия – множество, то, устанавливая отношения между объёмами понятий, будем изображать их на диаграммах Эйлера-Венна.
Объёмы понятий не пересекаются, т.е. Va ∩ V в = (рис. 3).
Va Vв
Рис. 3
Если объёмы понятий а и в не пересекаются, т.е. Va ∩ Vв ≠ , то понятия а и в называются несовместимыми или независимыми.
Например, 1) а: «треугольник», в: «отрезок», Va ∩ V в = ;
2) а: «дерево», в: «прямая», Va ∩ V в = ;
3) а: «существительное», в: «животное», Va ∩ V в = .
Объёмы понятий находятся в отношении пересечения, т.е.Va∩Vв (рис. 4).
Va Vв
Рис. 4
Если объёмы понятий а и в находятся в отношении пересечения, т.е. Va ∩ Vв , то понятия а и в называются совместимыми или зависимыми.
Например, 1) а: «равнобедренный треугольник», в: «прямоугольный
треугольник»; 2) а: «студент», в: «спортсмен»; 3) а: «натуральное число, кратное 3», в: «натуральное число, кратное 4».
Объёмы понятий находятся в отношении включения, например, объём понятия в включается в объём понятия а, т.е. Vв Va (иначе, объём понятия в является собственным подмножеством объёма понятия а). Этому случаю соответствует диаграмма, изображенная на рис. 5.
Va
Vв
Рис. 5
Если объём понятия в является собственным подмножеством объёма понятия а, то понятие в называется видовым по отношению к понятию а, а понятие а – родовым по отношению к понятию в.
В этом же случае о понятиях а и в говорят, что: 1) понятие в уже, чем понятие а, а понятие а шире, чем понятие в; 2) понятие в есть частный случай понятия а, а понятие а есть обобщение понятия в.
Например, 1) а: «треугольник», в: «равнобедренный треугольник», Vв Va, следовательно, понятие а является родовым или родом, а понятие в – видовым или видом; 2) а: «многоугольник», в: «треугольник», VвVa, а – родовое понятие, в - видовое понятие; 3) а: «часть речи», в: «имя существительное», VaVв, а - родовое понятие, в – видовое понятие.
Объёмы понятий находятся в отношении равенства, т.е. Va = Vв
(рис. 6).
Va Vв
Рис. 6
Если объёмы понятий а и в равны, т.е. Va = Vв, то понятия а и в называются тождественными.
Например, 1) а: «квадрат», в: «прямоугольник с равными сторонами»; 2) а: «глаз», в: «око»; 3) а: «окружность», в: «граница круга»; 4) а: «студент», в: «человек, обучающийся в вузе».
Зная, в каких отношениях могут находиться понятия в зависимости от их объёмов, установим, например, отношения между следующими парами понятий а и в, если:
а: «прямоугольник», в: «ромб»;
а: «многоугольник», в: «четырехугольник»;
а: «прямая», в: «треугольник»;
а: «параллелограмм с равными сторонами», в: «ромб».
В примере 1 объёмы понятий пересекаются, т.е. Va ∩ Vв (рис. 4), так как имеют общие элементы: некоторые прямоугольники, а именно, обладающие свойством «имеет все равные стороны», являются ромбами, и некоторые ромбы, а именно обладающие свойством «имеет прямые углы», являются прямоугольниками. Таким образом, понятия «прямоугольник» и «ромб» являются совместимыми или зависимыми.
В примере 2 объёмы данных понятий находятся в отношении включения. Действительно, всякой четырехугольник является многоугольником, но не наоборот, поэтому объём понятия «четырехугольник» является подмножеством объёма понятия «многоугольник», т.е. VвVa (рис. 5). Следовательно, понятие «четырехугольник» - видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» - родовое по отношению к понятию «четырехугольник».
В примере 3 объёмы понятий не пересекаются, т.е. Va ∩ Vв = (рис. 3), так как ни про одну прямую нельзя сказать, что она является треугольником, и ни один треугольник не может быть назван прямой. Следовательно, понятия «прямая» и «треугольник» являются несовместимыми или независимыми.
В последнем примере объёмы понятий будут равными, т.е. Va= Vв (рис. 6), так как каждый параллелограмм с равными сторонами является ромбом и, наоборот, каждый ромб – это и есть параллелограмм с равными сторонами. Таким образом, понятия «параллелограмм с равными сторонами» и «ромб» являются тождественными.
Замечание. Необходимо отметить, что несовместимые понятия имеют частный случай. Например, если мы установим отношение между понятиями а: «прямая» и в: «отрезок», то их объёмы не пересекаются, т.к. ни одна прямая не может быть названа отрезком, и ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой. Следовательно, эти понятия являются независимыми или несовместимыми.
В данном случае о понятиях «прямая» говорят, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, но не ее вид. Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятие, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.