- •Фгбоу впо «тувинский государственный университет»
- •Предисловие
- •Глава I. Математические понятия, предложения и умозаключения
- •Введение
- •1. Понятия. Объем и содержание понятий
- •2. Отношения между понятиями
- •3. Определение понятий. Способы определения понятий
- •4. Классификация понятий
- •5. Математические предложения
- •5.1. Высказывания и операции над ними
- •5.2. Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними
- •Высказывания с кванторами
- •5.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами
- •6. Умозаключения (рассуждения) и их виды
- •3. А(х)⇒в(х), в(х)⇒с(х) - правило силлогизма.
- •Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
- •2.1. Понятия множества и элемента множества
- •2.2. Способы задания множеств
- •2.3. Отношения между множествами
- •2.4. Операции над множествами
- •2.5. Разбиение множества на классы
- •2.6. Соответствия между элементами двух множеств
- •2.7. Равномощные множества
- •2.8. Отношения между элементами одного множества
- •Лекция 3 геометрические фигуры
- •3.1. Понятие геометрической фигуры
- •3.2. Геометрические фигуры на плоскости
- •3.3. Многоугольники, круг
- •3.4. Геометрические фигуры в пространстве
- •2.5. Тела вращения
- •Лекция 4 величины и их измерение
- •4.1. Понятие величины
- •4.2. Измерение величины
- •4.3. Длина, площадь, масса, время
- •4.4. Зависимость между величинами
- •4.5. История развития системы единиц величин
- •Лекция 6 натуральные числа и нуль
- •5.1. Этапы развития понятия натурального числа
- •5.2. Натуральный ряд и его свойства. Счет
- •5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
- •5.4. Натуральное число как результат измерения величины
- •5.5. Способы записи чисел
- •5.6. Особенности десятичной системы счисления
- •Лекция 6 текстовые задачи
- •6.1. Понятие текстовой задачи
- •6.2. Способы решения задачи
- •6.3. Основные этапы решения задачи
- •I этап.
- •II этап.
- •IV этап.
- •6.4. Моделирование в процессе решения задач
- •Оглавление
5.4. Натуральное число как результат измерения величины
К возникновению натуральных чисел привела не только потребность счета, но и задача измерения величин.
Рассмотрим смысл
натурального числа кака
результата измерения нае
примере одной из величин – Рис. 67
длины отрезка, (рис.67)
Пусть а - данный отрезок, е - единичный отрезок. Если отрезок а состоит из и отрезков, равных с, то а=п е , где п численное значение длины отрезка а при единице е.
Натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины е, это число единственное.
Пусть: п – численное значение длины отрезка а, m – численное значение длины отрезка b, при одной и той же единице длины е, тогда: а = b <=> n = m, a > b <=> n > m. Пример:
1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 таких же мерки. Какая лента длиннее?»
2) «У Маши длина парты 5 мерок. У Саши парта такой же длины. Сколько мерок должно уложиться при измерении Сашиной парты?»
Зная связи между числами дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отношения между их численными значениями.
Сумму натуральных чисел тип можно рассматривать как численное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами т и п.
b c а = (т + п) е
с = (k - п)е
а
Разность натуральных чисел k - п можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезков а и Ь, длины которых выражены натуральными числами k u п соответственно.
Пример:
«Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина оставшегося куска?»
В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5 – 3.
5.5. Способы записи чисел
Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.
Система счисления – язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.
Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.
Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.
В Древнем Вавилоне считали группам и по 60, система счисления была шестидесятеричная.
Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:
шестидесятеричная – при измерении времени,
двенадцатеричная – при счете дюжинами,
двоичная – при счете парами и др.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:
I – один, V – пять, X – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысяча.
Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания. Например, IV – четыре
(5 – 1 = 4), VI – шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная – где бы не стоял знак V или I – он всегда имеет одно и то же значение.
Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 – цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 – цифра 2 обозначает единицы.
Примечание: Заслушиваются сообщения студентов, предварительно подготовленные на темы:
Возникновение и развитие способов записи чисел.
Системы счисления разных народов.
Запись чисел в древней Руси.