2.3. Отношения между множествами

Рассмотрим множество геометрических фигур, изображенныхна рисунке 13:

Рис. 13

Пусть А – множество изображенных треугольников, В – мно­жество изображенных черных фигур, тогда (черный треуголь­ник) – общий элемент множеств А и В.

Если у двух множеств есть общие элементы, то говорят, что эти множества пересекаются.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Рассмотрим множество геометрических фигур, изображенных на рисунке 14:

Рис. 14

Пусть С – множество изображенных треугольников, D – множество изображенных квадратов, тогда С и D – непересекающиеся множества.

Пусть С – множество изображенных геометрических фигур, D – множество изображенных треугольников, тогда ка­ждый элемент множества D является элементом множества С. Го­ворят, что множество D является подмножеством множества С.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В: АВ.

Пустое множество считают подмножеством любого множест­ва:

  В.

Любое множество является подмножеством самого себя:

В  В.

Если каждый элемент одного множества является элементом другого множества, и, наоборот, каждый элемент второго множе­ства является элементом первого множества, говорят, что мно­жества равны и пишут

А = В.

А = В<=> А  В  В  А

На рисунке 15 даны геометрические фигуры:

Рис. 15

Пусть А – множество изображенных на рисунке прямоуголь­ников, В – множество изображенных на рисунке четырехугольни­ков. Так как множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то А = В.

Задание 12.

В каком отношении находятся данные множества? (Рис.16)

Рис. 16

Наглядно отношения между множествами изображают при по­мощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. (Леонард Эйлер – выдающийся математик XVIII века.)

Множества, независимо от количества элементов в них, изо­бражают при помощи кругов или других геометрических фигур.

Отношения между множествами:

1. Множества не пересекаются, (рис.17).

2. Множества пересекаются:

а) множества имеют общие элементы, но ни одно не являет­ся подмножеством другого (рис.18);

б) одно множество является подмножеством другого В  А (рис.19);

в) множества равны А = В (рис. 20).

А В А В А А В

В

Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20

Задание 13.

1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В, С, если:

А – множество изображенных фигур; В – множество черных фигур; С – множество треугольников (рис.21). Какой ответ будет верным (рис.22)?

а) В А б)

С С В А

Рис. 21 Рис. 22

2. Установите, отношения между какими множествами изо­бражено при помощи кругов Эйлера на рисунке 23:

А А В А А

В С В В

С С С

1) 2) 3) 4)

Рис. 23

а) Множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел.

б) Объем понятия «четырехугольник», объем понятия «прямоугольник», объем понятия «ромб».

в) Объем понятия «прямая», объем понятия «параллельные прямые», объем понятия «скрещивающиеся прямые».

г) Объем понятия «женское имя», объем понятия «мужское имя», объем понятия «кличка животного».