2.7. Равномощные множества

Пусть даны два множества X = { а, b, с, d } и Y = { k, l, m, n }.

He пересчитывая число их элементов, а лишь установив вза­имно однозначное соответствие, можно сказать, что множество Y содержит элементов столько же, сколько и множество X. Гово­рят, что множества X и Y имеют одинаковую мощность, или они равномощны.

Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Пишут X ~ Y.

Задание 20.

Равномощны ли множества X и Y, если:

а) X = { а, b, с, d }, Y = { 6, 7, 8, 9 };

б) X = {a,b,c,d}, Y= {l, 2, 3};

в) Х = {а, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}?

Нетрудно убедиться в том, что если равномощные множества конечны, то они содержат поровну элементов.

Задание 21.

Приведите примеры трех множеств, равномощных множеству А = { а, b, с, d }. Есть ли среди них множество, которое равно А?

Бесконечные множества могут быть равномощны между собой, как, например, множество натуральных чисел и множество четных натуральных чисел, и не равномощны – как, например, множество натуральных чисел и множество точек прямой.

При сравнении двух групп предметов по количеству приема­ми наложения или приложения дошкольники по существу уста­навливают взаимно однозначное соответствие между данными множествами (или между одним множеством и подмножеством другого). При этом используются термины: «столько же, сколько» (кубиков столько же, сколько шаров); «меньше» (кубиков меньше, чем шаров); «больше» (кубиков больше, чем шаров).

2.8. Отношения между элементами одного множества

В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассмат­ривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:

- сравнивать по величине;

• подбирать одинаковые;

• выстраивать сериационный ряд;

• упорядочивать карточки.

В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассмат­ривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.

Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объ­ектами, их называют бинарными.

Способы задания отношений:

1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.

2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Например элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5 } связаны от­ношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же от­ношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных дан­ным отношением: {(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) }.

В математике отношения между двумя элементами часто за­писываются при помощи символов: х>у, аb, y=3х, с l

Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного мож­но переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложе­но задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.

В математике изучают большое разнообразие отношений. Что­бы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.

Пусть R – некоторое отношение на множестве X, a x, y, z - лю­бые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с эле­ментом у, то пишут xRy.

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).

R рефлексивно <=> х R х

2. Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находит­ся в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпенди­кулярность», «равенство», «быть родственником» ).

R симметрично <=> x R у => у R x

3. Антисимметричность: если из того, что х находится в дан­ном отношении с элементом у и х  у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).

R антисимметрично <=> х R у и х  у => у R x

4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «рав­но», «параллельно»).

R транзитивно <=> х R у и у R z => х R z

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, тран­зитивно, отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «па­раллельность»).

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом мно­жестве отношение эквивалентности.

Это утверждение проявляется, например, при выполнении за­даний: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».

«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета».

Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.

Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно на­зывается отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).

Эти отношения упорядочивают элементы множества.

Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой». «Разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка: «быть шире», «следовать».

Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у дошкольников правильных представ­лений о классификации и упорядочивании множеств. Кроме того, дети встречаются с большим числом других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Задание 22.

На множестве детей группы сада рассматриваются отношения: «быть ниже по росту», «быть старше по возрасту», «жить в одном и том же доме», «родиться в одном и том же месяце». Какие из этих отношений определяют разбиение множества детей на классы, а какие из них упорядочивают данное множество? Можете ли вы на­звать другие отношения на множестве детей?

Задания для самостоятельной работы

1. Придумайте примеры конечных и бесконечных множеств. Задайте их, перечислив элементы или указав характеристическое свойство.

2. Придумайте три множества и изобразите их отношения при помощи кругов Эйлера.

3. Придумайте задания для дошкольников, выполняя которые, они по сути дела выполняют операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение).

4. Придумайте задания для дошкольников на установление соответствий между элементами двух множеств (взаимно однознач­ных и не являющихся таковыми).

5. Придумайте множество и задайте на нем отношения. Установите, какими свойствами они обладают (рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью).

6. Придумайте задания для дошкольников: а) на классификацию элементов множества; б) на упорядочивание элементов множества.