- •Фгбоу впо «тувинский государственный университет»
- •Предисловие
- •Глава I. Математические понятия, предложения и умозаключения
- •Введение
- •1. Понятия. Объем и содержание понятий
- •2. Отношения между понятиями
- •3. Определение понятий. Способы определения понятий
- •4. Классификация понятий
- •5. Математические предложения
- •5.1. Высказывания и операции над ними
- •5.2. Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними
- •Высказывания с кванторами
- •5.3. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами
- •6. Умозаключения (рассуждения) и их виды
- •3. А(х)⇒в(х), в(х)⇒с(х) - правило силлогизма.
- •Лекция 2 множества. Соответствия и отношения
- •2.1. Понятия множества и элемента множества
- •2.2. Способы задания множеств
- •2.3. Отношения между множествами
- •2.4. Операции над множествами
- •2.5. Разбиение множества на классы
- •2.6. Соответствия между элементами двух множеств
- •2.7. Равномощные множества
- •2.8. Отношения между элементами одного множества
- •Лекция 3 геометрические фигуры
- •3.1. Понятие геометрической фигуры
- •3.2. Геометрические фигуры на плоскости
- •3.3. Многоугольники, круг
- •3.4. Геометрические фигуры в пространстве
- •2.5. Тела вращения
- •Лекция 4 величины и их измерение
- •4.1. Понятие величины
- •4.2. Измерение величины
- •4.3. Длина, площадь, масса, время
- •4.4. Зависимость между величинами
- •4.5. История развития системы единиц величин
- •Лекция 6 натуральные числа и нуль
- •5.1. Этапы развития понятия натурального числа
- •5.2. Натуральный ряд и его свойства. Счет
- •5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
- •5.4. Натуральное число как результат измерения величины
- •5.5. Способы записи чисел
- •5.6. Особенности десятичной системы счисления
- •Лекция 6 текстовые задачи
- •6.1. Понятие текстовой задачи
- •6.2. Способы решения задачи
- •6.3. Основные этапы решения задачи
- •I этап.
- •II этап.
- •IV этап.
- •6.4. Моделирование в процессе решения задач
- •Оглавление
2.4. Операции над множествами
Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.
Пример: рассмотрим рисунок 24.
Рис. 24
Пусть А – множество изображенных треугольников, В – множество больших фигур, С – множество больших треугольников, тогда множество С можно рассматривать как пересечение множеств А и В (рис.25): A B = C
В
Рис. 25
Пересечением множествА и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
х А В <=> х А х В
Если у множеств А и В нет общих элементов, результатом пересечения будет пустое множество (рис.26):
А В= .
А В
Рис. 26
Задание 14.
Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением был: а) треугольник, б) отрезок, в) точка, г) многоугольник.
Над множествами выполняют и другую операцию – объединение.
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
х А В <=> х А х В
Спомощью кругов Эйлера объединение можно изобразить,как показано на рисунке 27. С = A B
А В
Рис. 27
Например, если А = { а, b, с, d }, В = {b, с, k, l, m }, то A В = {а, b, с, d, k, l, m }. Заметим, что общие элементы множеств А и В в объединении записываются только один раз.
Задание 15.
Перечислите элементы объединения множеств А и В, если:
а) А = {2,4,6,8}, В = {6,9,12};
б) А = {2,4,6,8}, В = {1,3,4,5};
в) А = {2,4, 6,8}, В = {4,8};
г) А = {2,4, 6, 8}, В = .
Для каждого случая постройте круги Эйлера и сделайте обобщения. Верно ли, что если B A, то A В = А ?
При обучении дошкольников действию вычитания воспитатель опирается на понятие дополнения одного множества до другого.
Например: «У Маши было 5 яблок, 2 яблока она отдала брату. Покажи, сколько яблок осталось у Маши?» (Рис.27.)
Рис. 27
Из исходного множества А ребенок удаляет подмножество В и считает количество элементов в оставшемся множестве, оно называется дополнением множества В до множества А.
Пусть В А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
х А\В<=>х А х В
Рис. 28
Задание 16.
N – множество натуральных чисел. Из каких чисел будет состоять дополнение множества А до N ,если:
а) А – множество четных натуральных чисел;
б) А – множество чисел, кратных 5;
в) А – множество чисел, больших 10.