Тема V. Несобственные интегралы

34. Несобственные интегралы от ограниченных функций по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).

35. Несобственные интегралы от неограниченных функций по ограниченному промежутку (несобственные интегралы второго рода).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебники

1. Бугров Я.С., Никольский. С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1989. – 431 с.

2. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – К.: Либідь, 1996. – 440 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2-х томах. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с.

4. Улітін Г.М., Гончаров А.М. Курс лекцій з вищої математики: Навчальний посібник. Ч. І-ІІ.–Донецьк: ДонНТУ, 2009. –219с.

Руководства к решению задач

5. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И.Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В 3-х частях. – Донецк: ДонНТУ, 2005. − Ч.1. − 584 с.; Ч.2. − 467 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х частях. – М.: Высшая школа, 1986. − Ч.1. − 304 с.; Ч.2. – 415 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА

1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1.1. Приращение аргумента и приращение функции.

Определение производной

Литература: [3], гл. III, V

[5], Ч.1, гл. 5, § 5.1

Пусть дана функция y = f (x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное x₀ и новое x.

Разность ∆ x = x − x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀. Разность соответствующих значений функции называется приращением функции в точке x₀: ∆ y = f (x) − f (x₀) = f (x₀+∆ x) − f (x) (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Приращение аргумента ∆ x и приращение функции ∆ y в точке x₀

Производной функции y = f (x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции ∆ y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆ x при произвольном стремлении ∆ x к нулю.

Производная функции y = f (x) в точке x₀ обозначается символом .

Итак, по определению,

.

Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислить в различных точках. Если производная вычисляется в произвольной точке x некоторого интервала, на котором задана функция y = f (x), то

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения, например:,,.

Функция y = f (x), имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в интервале (a; b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции устанавливает следующая теорема: если функция y = f (x) дифференцируема в точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.

1.2. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой

Определение мгновенной скорости (задача Ньютона).

Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой.

Отношение выражает среднюю скоростьза время, а предел отношенияприопределяет мгновенную скорость в момент времени:

.

Таким образом, скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s (t) по времени t: . В этом заключаетсямеханический смысл производной.

Определение углового коэффициента касательной к кривой (задача Лейбница).

Касательной к кривой в точке М₀(x₀, y₀) называется прямая М₀T, являющаяся предельным положением секущей М₀М₁, когда точка М₁, перемещаясь по кривой, стремится к точке М₀ (рис.1.2).

Если через точку М₀(x₀, y₀) кривой, представляющей собой график функции y = f (x), непрерывной в некоторой окрестности точки x₀, проведена секущая М₀М₁, образующая с положительным направлением оси Ох угол φ, то

.

Перемещая точку М₁ по кривой к точке М₀, мы поворачиваем секущую М₀М₁ вокруг точки М₀. При этом угол φ стремится к углу α между касательной М₀T и положительным исправлением оси Ох, т.е. при, где─ угловой коэффициент касательной к кривой в точкеМ₀:

.

Рис. 1.2. Определение углового коэффициента касательной к кривой

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ равен значению производной этой функции в точке x₀: . В этом заключаетсягеометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к кривой.

Касательной к графику функции y = f (x) в некоторой его точке М₀(x₀, y₀), где y₀ = f (x₀), является прямая, проходящая через точку М₀ и имеющая угловой коэффициент , равный.

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (x₀, y₀) имеет вид: .

В частном случае, если уравнение касательной примет вид, т.е. касательная параллельна осиОх, если же , то уравнение касательной запишется в виде, т.е. касательная параллельна осиОу.

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной (рис. 1.3).

Так как угловой коэффициент нормалисвязан с угловым коэф-фициентом касательнойусловием перпенди-кулярности

,

то

.

Тогда уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке (x₀, y₀) имеет вид:

.