- •Программа,
- •Общие указания
- •Программа курса высшей математики (II семестр)
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Тема II. Исследование функций с помощью производных
- •Тема ііі. Неопределённый интеграл
- •Тема IV. Определённый интеграл
- •Тема V. Несобственные интегралы
- •1.2. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •1.3. Основные правила дифференцирования
- •1.4. Обратная функция и ее производная
- •1.5. Производная сложной функции
- •1.6. Производные основных элементарных функций.
- •1.7. Производная функции, заданной неявно. Производная степенно-показательной функции. Производная функции, заданной параметрически
- •1.8. Производные высших порядков
- •1.9. Дифференциал функции
- •1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции
- •1.11. Максимумы и минимумы функции. Нахождение экстремумов функции
- •1.12. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
- •1.13. Асимптоты кривой
- •1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •1.15. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •1.16. Применение производной для вычисления пределов (правило Лопиталя)
- •2. Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •2.2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование
- •2.3. Интегрирование методом замены переменной
- •2.4. Метод интегрирования по частям
- •2.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •2.7. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •2.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Тригонометрические подстановки
- •2.9. Интегрирование в элементарных функциях
- •3. Определённый интеграл
- •3.1. Задача о площади. Определение определенного интеграла
- •3.2. Основные свойства определенного интеграла
- •3.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньтона-Лейбница
- •3.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •3.5. Интегрирование по частям
- •3.6.2. Вычисление длин дуг плоских кривых
- •3.6.3. Вычисление объемов тел вращения
- •3.6.4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения
- •4. Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода
- •Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода
- •Используя определение, находим
- •Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.
- •Задания для контрольных работ Контрольная работа № 3 «Производная»
- •Контрольная работа № 4 «Неопределенный и определенный интегралы»
1.9. Дифференциал функции
Литература: [5], Ч.1, гл. 5, §§ 5.3, 5.4
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a‚ b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a‚ b] определяется равенством .
На основании свойства функции, имеющей конечный предел, имеем , где─ бесконечно малая более высокого порядка, чем, т.е..
Тогда
или .
Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которыхлинейное относительнои является главной частью приращения функции, если, а второе─ бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с.
Дифференциалом (первого порядка) функции y = f (x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента .
Дифференциал аргумента равен приращению аргумента
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Основные свойства дифференциала:
1) , где;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Последнее свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала, здесь u ─ не независимая переменная, а дифференцируемая функция.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, тоиТаким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: Аналогично определяетсядифференциал третьего порядка: Вообще,
Если y = f (x) и x − независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам
, , … ,.
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. .
1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции
Литература: [5], Ч.1, гл. 6, § 6.2
Функция y = f (x) называется возрастающей в интервале (а‚ b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для любых x1 и x2 из интервала (а‚ b) таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1) (рис. 1.5, а). Функция y = f (x) называется неубывающей, если f (x2) ≥ f (x1).
Функция y = f (x) называется убывающей в интервале (а‚ b), если большему значению аргумента (x2 > x1) соответствует меньшее значение функции (f (x2) < f (x1)) (рис. 1.5, б). Функция y = f (x) называется невозрастающей, если f (x2) ≤ f (x1).
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.
Рис. 1.5. Графики возрастающей (а) и убывающей (б)
в интервале (а‚ b) функций
Достаточный признак возрастания (убывания) функции: если дифференцируемая в интервале (а‚ b) функция имеет положительную (отрицательную) производную для всех x(а‚ b), то она возрастает (убывает) в этом интервале.
Пример. Найти интервалы монотонности функции
.
Решение. Функция определена на всей числовой оси: . Находим производную заданной функции:
.
Знаки производной определяем методом интервалов:
Таким образом, функция убывает на интервале (1, 3) и возрастает на (-∞, 1) (3, +∞).