2. Неопределенный интеграл

2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Литература: [3], гл. X, §§ 1, 3

[5], Ч.2, гл. 9, § 9.1

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке [a, b], если во всех точках этого промежутка выполняется равенство .

Например, первообразными для функции являются,,,и т. д., так как производная любой из этих функций равна.

Теорема 1. Любая непрерывная на промежутке [a, b] функция имеет на этом промежутке первообразную.

Теорема 2. Если функция f (x) имеет на промежутке [a, b] первообразную F (x), то она имеет на этом промежутке бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга лишь постоянным слагаемым. Другими словами, если F (x) ─ первообразная функции f (x) на [a, b], то все остальные первообразные этой функции имеют вид F (x) + С, где С – произвольная постоянная.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех первообразных этой функции на некотором промежутке: ,. Здесьf (x) ─ подынтегральная функция, f (x)dx ─ подынтегральное выражение, x ─ переменная интегрирования.

Графиком первообразной функции является кривая, называемая интегральной. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой множество интегральных кривых.

Операцию нахождения неопределенного интеграла (или первообразной) от функции f (x) называют интегрированием функции f (x).

Например:

1) , т.к.;

2) , т.к.;

3) , т.к..

Отметим свойства неопределенного интеграла:

1) ;

2) ;

3) или;

4) , где;

5) ;

6) если , то, где;

7) свойство инвариантности формул интегрирования ─ всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее.

Другими словами, если для, и─ любая непрерывно дифференцируемая на этом промежутке функция, то

Это свойство дает возможность находить многие интегралы.

Так, , тогда по свойству 7:.

В частности, если , то, если, тои т.д.

2.2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование

Литература: [3], гл. X, § 2

[5], Ч.2, гл. 9, § 9.1

Приведем основные формулы интегрирования, которые можно проверить дифференцированием.

Переменная интегрирования .

Таблица неопределенных интегралов
1. ,.	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .

Рассмотрим примеры на непосредственное применение таблицы основных интегралов.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

2.3. Интегрирование методом замены переменной

Литература: [3], гл. X, § 4

[9], Ч.2, гл. 9, § 9.2

Ведение новой переменной интегрирования, называемое заменой переменной или подстановкой, позволяет в некоторых случаях свести интеграл, который непосредственно не вычисляется, к табличному интегралу.

Теорема (о замене переменной в неопределённом интеграле). Если функция x=φ(t) монотонна и непрерывно дифференцируема на [α, β], причем множеством значений функции x=φ (t) является [a, b], а функция f (x) непрерывна на [a, b], то на этом промежутке имеет место формула , в правой части которой подt следует понимать функцию t=t(x), обратную к x=φ (t).

Замечание. Иногда более целесообразно использовать замену переменной в виде t=φ(x). Это делается в том случае когда интеграл можно представить в виде .

Пример 1.

.

_{Пример 2.}

_.

Пример 3.

.