Программа курса высшей математики (II семестр)

Тема 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

2. Дифференцируемость функции в точке и на интервале. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

3. Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций. Основные правила дифференцирования.

4. Дифференцирование сложной функции.

5. Обратная функция. Существование обратной функции. Связь между производными двух взаимно обратных функций.

6. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

7. Неявно заданная функция. Дифференцирование функции, заданной неявно.

8. Производная степенно-показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.

9. Параметрический способ задания функции. Производная функции, заданной параметрически.

10. Производные высших порядков.

11. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

12. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Лагранжа, Коши).

13. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и. Вычисление пределов функций при помощи правила Лопиталя.

Тема II. Исследование функций с помощью производных

14. Монотонность функции. Необходимые и достаточные признаки возрастания и убывания функции. Нахождение интервалов монотонности функции.

15. Максимум и минимум функции. Необходимые условия существования экстремума. Первый и второй достаточные признаки существования экстремума. Нахождение экстремумов функции.

16. Выпуклость и вогнутость кривой, достаточные признаки. Точки перегиба графика функции, достаточный признак существования точек перегиба. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой.

17. Асимптоты кривой.

18. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

19. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Практические задачи на экстремум.

Тема ііі. Неопределённый интеграл

20. Первообразная функции.

21. Неопределённый интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Правила интегрирования.

22. Таблица основных неопределенных интегралов.

23. Теорема о замене переменной в неопределённом интеграле.

24. Интегрирование по частям.

25. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен.

26. Многочлен и его корни. Теорема разложения правильной рациональной дроби в сумму простых дробей. Интегрирование рациональных дробей.

27. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование функций, рациональных относительно синуса и косинуса. Универсальная тригонометрическая подстановка.

28. Интегрирование некоторых иррациональностей. Тригонометрические подстановки.

Тема IV. Определённый интеграл

29. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла.

30. Теорема Ньютона-Лейбница.

31. Вычисление определенного интеграла (применение формулы Ньютона-Лейбница, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям).

32. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, определение длины дуги плоской кривой, вычисление объемов тел, площадей поверхностей тел вращения).

33. Некоторые механические и физические приложения определенного интеграла (путь, пройденный телом, работа переменной силы, и др.)