4.1. Несобственные интегралы первого рода

Литература: [5], гл. 10, § 10.8

Определение. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале [a, +∞), тогда несобственным интегралом первого рода от функции f (x) называется

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интегралрасходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы вида:

;

.

С геометрической точки зрения сходимость несобственного интеграла первого рода означает, что фигура, ограниченная кривой f (x) ≥ 0, прямыми x = a и y = 0, бесконечно вытянутая в направлении оси Ox, имеет конечную площадь.

Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь

.

Аналогично .

Итак, несобственные интегралы сходятся тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы и.

Примеры. Исследовать на сходимость 1) ; 2).

Решение.

1) По определению имеем

Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен .

2) По определению для имеем

Если же , то.

Таким образом, несобственный интеграл сходится при, и расходится для.

4.2. Несобственные интегралы второго рода

Литература: [5], гл. 10, § 10.9

Рассмотрим функцию y = f (x), которая определена на промежутке [a, b] и неограниченна при x→b−0, т.е. . Точкуx = b при этом будем называть особой для функции f (x). Будем считать, что для любого на отрезке [a, b−ε] функция f (x) интегрируема.

Определение. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функцииf (x) на промежутке [a, b]:

.

Аналогично, если функция f (x) имеет особенность в точке x = a, то по определению будем считать

.

Если же особой точкой для функции f (x) является точка x = c такая, что , то по определению будем считать

.

Если подынтегральная функция f (x) имеет первообразную F (x), то по определению несобственного интеграла второго рода имеем

.

Если первообразная F (x) непрерывна на [a, b], то несобственный интеграл можно вычислять непосредственно.

Аналогично рассуждают и в том случае, когда особой точкой является точка a или внутренняя точка c.

Примеры. Вычислить 1) ; 2).

Решение.

1) Подынтегральная функция в точке x = 1 терпит разрыв второго рода (т. е. не ограничена), тогда по определению несобственного интеграла второго рода запишем:

,

т.к. предел конечен, то несобственный интеграл сходится и равен 1.

2) В данном случае подынтегральная функция терпит разрыв второго рода в точкеx = 0.

Используя определение, находим

,

Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.

К несобственным интегралам применимы методы замены переменной и интегрирования по частям.

Замечание. Может оказаться, что заменой переменной несобственный интеграл второго рода сводится к несобственному интегралу первого рода (и наоборот) или превращается в обычный интеграл.

Для несобственных интегралов первого рода справедливы признаки сходимости.

Теорема 1 (признак сравнения). Пусть при a ≤ x <+∞ определены функции 0 ≤ f (x) ≤ g (x). Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Если при a ≤ x <+∞ функции f (x) > 0 и g (x) > 0 и существует конечный предел , то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Для несобственных интегралов второго рода справедливы признаки сходимости, аналогичные теоремам 1 и 2.