- •Программа,
- •Общие указания
- •Программа курса высшей математики (II семестр)
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Тема II. Исследование функций с помощью производных
- •Тема ііі. Неопределённый интеграл
- •Тема IV. Определённый интеграл
- •Тема V. Несобственные интегралы
- •1.2. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •1.3. Основные правила дифференцирования
- •1.4. Обратная функция и ее производная
- •1.5. Производная сложной функции
- •1.6. Производные основных элементарных функций.
- •1.7. Производная функции, заданной неявно. Производная степенно-показательной функции. Производная функции, заданной параметрически
- •1.8. Производные высших порядков
- •1.9. Дифференциал функции
- •1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции
- •1.11. Максимумы и минимумы функции. Нахождение экстремумов функции
- •1.12. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
- •1.13. Асимптоты кривой
- •1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •1.15. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •1.16. Применение производной для вычисления пределов (правило Лопиталя)
- •2. Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •2.2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование
- •2.3. Интегрирование методом замены переменной
- •2.4. Метод интегрирования по частям
- •2.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •2.7. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •2.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Тригонометрические подстановки
- •2.9. Интегрирование в элементарных функциях
- •3. Определённый интеграл
- •3.1. Задача о площади. Определение определенного интеграла
- •3.2. Основные свойства определенного интеграла
- •3.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньтона-Лейбница
- •3.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •3.5. Интегрирование по частям
- •3.6.2. Вычисление длин дуг плоских кривых
- •3.6.3. Вычисление объемов тел вращения
- •3.6.4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения
- •4. Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода
- •Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода
- •Используя определение, находим
- •Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.
- •Задания для контрольных работ Контрольная работа № 3 «Производная»
- •Контрольная работа № 4 «Неопределенный и определенный интегралы»
3.6.2. Вычисление длин дуг плоских кривых
Литература: [3], гл. XII, § 3
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.5
Если кривая y = f (x) на отрезке [a, b] является гладкой (т.е. производная ─ непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле
.
В том случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме (─ непрерывно-дифференцируемые функции), длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметраt от α до β, вычисляется по формуле
.
Если, наконец, кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой при изменении полярного углаотдо, находится по формуле
.
Примеры. Найти длину дуги:
1) цепной линии от x = 0 до x = 2;
2) астроиды ;
3) кардиоиды .
Решение. 1) Дифференцируя, получаем , тогда
.
2) В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно найти длину одной четверти всей кривой и результат умножить на 4. При этом параметр t будет изменяться от 0 до .
Находими:
, .
Тогда
.
Получаем
.
3) Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то вычислим длину половины ее дуги (полярный угол φ изменяется от 0 до π), а затем умножим на 2. Найдем . Тогда
.
Теперь находим
.
3.6.3. Вычисление объемов тел вращения
Литература: [3], гл. XII, §§ 4, 5
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.4
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a, x = b (a < b), находится по формуле
.
Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g (y), осью ординат и двумя прямыми y = c и y = d, вычисляется по формуле
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формулы для вычисления объема тела вращения принимают вид
и .
Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса : 1) вокруг оси Ox, 2) вокруг оси Oy.
Решение.
1) ;
2) .
3.6.4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения
Литература: [3], гл. XII, § 6
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.6
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги гладкой кривой y = f (x) между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формула для вычисления площади поверхности вращения принимает вид
.
Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ox одной арки циклоиды
Находим . Подставляем полученные выражения в формулу дляи, учитывая, что параметрt изменяется от 0 до 2π, получим:
.
4. Несобственные интегралы
Литература: [3], гл. XI, § 7
При определении определенного интеграла предполагалось, что: 1) отрезок интегрирования [a, b] конечен;
2) подынтегральная функция f (x) определена и ограничена на [a, b].
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным. При этом, если нарушено только первое условие, то говорят о несобственном интеграле первого рода (или интеграле с бесконечными пределами интегрирования). Если нарушено только второе условие, т. е. подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на отрезке [a, b], то говорят о несобственном интеграле второго рода (или интеграле от неограниченной функции).