
- •Программа,
- •Общие указания
- •Программа курса высшей математики (II семестр)
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Тема II. Исследование функций с помощью производных
- •Тема ііі. Неопределённый интеграл
- •Тема IV. Определённый интеграл
- •Тема V. Несобственные интегралы
- •1.2. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •1.3. Основные правила дифференцирования
- •1.4. Обратная функция и ее производная
- •1.5. Производная сложной функции
- •1.6. Производные основных элементарных функций.
- •1.7. Производная функции, заданной неявно. Производная степенно-показательной функции. Производная функции, заданной параметрически
- •1.8. Производные высших порядков
- •1.9. Дифференциал функции
- •1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции
- •1.11. Максимумы и минимумы функции. Нахождение экстремумов функции
- •1.12. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
- •1.13. Асимптоты кривой
- •1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •1.15. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •1.16. Применение производной для вычисления пределов (правило Лопиталя)
- •2. Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •2.2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование
- •2.3. Интегрирование методом замены переменной
- •2.4. Метод интегрирования по частям
- •2.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •2.7. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •2.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Тригонометрические подстановки
- •2.9. Интегрирование в элементарных функциях
- •3. Определённый интеграл
- •3.1. Задача о площади. Определение определенного интеграла
- •3.2. Основные свойства определенного интеграла
- •3.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньтона-Лейбница
- •3.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •3.5. Интегрирование по частям
- •3.6.2. Вычисление длин дуг плоских кривых
- •3.6.3. Вычисление объемов тел вращения
- •3.6.4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения
- •4. Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода
- •Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода
- •Используя определение, находим
- •Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.
- •Задания для контрольных работ Контрольная работа № 3 «Производная»
- •Контрольная работа № 4 «Неопределенный и определенный интегралы»
2.9. Интегрирование в элементарных функциях
Литература: [3], гл. X, § 16
Как было сказано в п. 2.1, всякая функция f (x), непрерывная на [a, b], имеет на этом промежутке первообразную. Однако не всякая первообразная является элементарной функцией.
Например, функция
непрерывна на всей числовой прямой,
следовательно, её первообразная, а,
значит, и
,
существует на любом промежутке. Но в
элементарных функциях первообразная
этой функции не выражается.
О функциях, первообразные которых существуют, но не являются элементарными функциями, говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях. А интегралы от таких функций называются неберущимися в элементарных функциях.
К таким интегралам
относятся, например:
,
,
,
,
и т.д.
3. Определённый интеграл
3.1. Задача о площади. Определение определенного интеграла
Литература: [3], гл. XI, §§ 1, 2
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.1
На плоскости введём прямоугольную декартову систему координат Oxy. Рассмотрим функцию y = f (x), непрерывную и неотрицательную для любых x из отрезка [a, b] (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Фигуру aABb, ограниченную снизу отрезком [a, b] оси Ox, сверху дугой AB графика функции y = f (x), а слева и справа отрезками прямых x=a и x=b, назовем криволинейной трапецией.
Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей, абсциссы точек деления обозначим следующим образом:
a = x0 < x1 < x2 <…< xn-1 < xn = b.
Через точки xk проведем прямые x = xk , которые разобьют криволинейную трапецию на n полос, каждая из которых также является криволинейной трапецией с основанием [xk-1; xk] (k = 1, 2, …, n). Площадь трапеции aABb будет равна сумме площадей n полос, ее составляющих. Если n достаточно велико, а все отрезки [xk-1; xk] малы, то площадь каждой полосы можно заменить площадью соответствующего прямоугольника с высотой, равной f (сk), где сk – произвольная точка на отрезке [xk-1; xk]. В силу непрерывности функции f (x) значения f (x) на каждом отрезке [xk-1; xk] мало изменяются. Поэтому на каждом отрезке функцию f (x) можно считать постоянной и равной f (сk). Так что площадь одной полосы приближенно равна f (сk)∙(xk-1; xk). Тогда для площади криволинейной трапеции aABb получим приближенное равенство:
.
Обычно разности
(xk
− xk-1)
обозначают через Δxk,
а
называют диаметром разбиения. По
определению,площадью
S
криволинейной
трапеции
называется предел суммы Sn
площадей прямоугольников при стремлении
диаметра разбиения к нулю, т.е.
.
Сумма
называетсяn-ой
интегральной суммой
для функции y
= f
(x)
на отрезке [a;
b].
Определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы Sn при неограниченном увеличении числа частичных отрезков и стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков (если этот предел существует, конечен и не зависит ни от способа разбиение отрезка [a; b] на частичные отрезки ни от выбора точек сk в них):
.
В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a; b]. Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. При постоянных пределах интегрирования определенный интеграл представляет собой постоянное число и не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:
.
Необходимым
условием интегрируемости
на отрезке [a;
b]
функции y
= f
(x)
является ее ограниченность. Поэтому в
дальнейшем мы будем наперед предполагать
функцию f
(x)
ограниченной, т.е.
,
если
.
Достаточным условием интегрируемости функции f (x) на [a; b] является ее непрерывность. Но можно доказать, что если функция f (x) на отрезке [a; b] имеет конечное число точек разрыва первого рода, то она также интегрируема.
Геометрический
смысл определенного интеграла
следует из рассмотренной задачи: если
функция y
= f
(x)
интегрируема и неотрицательна на [a;
b],
то
равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной линиямиy
= f
(x),
y=0,
x=a,
x=b.