Скобцовы Моделирование и тестирование

f=a b в троичном алфавите, используя характеристические функции,

приведенные в Табл.3.5.

Пусть a=1: a0=0, aD’=0, aD=0, a1=1, и b=0: b0=1, bD’=0, bD=0, b1=0,

тогда получаем

f 0 = 0 1 = 0, f D′ = 0 1 0 0 0 0 = 0,

f D = 0 1 0 0 0 0 = 0, f 1 = 1 0 0 0 0 0 = 1.

Таким образом, согласно кодированию алфавита B16 (Табл.3.1) код f 0 = 0,

f D' = 0, f D = 0 , f 1 = 1 определяет значение f=1, что соответствует

таблице истинности функции ИЛИ в троичном алфавите.

Алфавит E5, являющийся расширением алфавита E3, определяется следующим подмножеством 16-значного алфавита: 0={0}(код 1000), 1={1}(код 0001), E={0 D’ 1}(код 1101), H={0 D 1}(код 1011),

u={0 D’ D 1}(код 1111). Рассмотрим пример вычисления функции

f=a b в 5-значном алфавите, используя характеристические функции,

приведенные в Табл.3.5.

Пусть a=0: a0=1, aD’=0, aD=0, a1=0, и b=E: b0=1, bD’=1, bD=0, b1=1,

тогда получаем

истинности функции ИЛИ в 5-значном алфавите.

На рис.3.2 представлена алгебраическая структура алфавитов E3 и E5.

В силу построения рассмотренные алфавиты являются частично упорядоченными подмножествами и образуют структуры типа верхняя

полурешетка.

91

Алфавит T6, наиболее широко применяемый в методах генерации

тестов (он будет дальше использоваться в главе 6), является подмножеством 16-значного алфавита: ={ }(код 0000), 0={0}(код 1000),

1={1}(код 0001), D={D}(код 0010), D’={D’}(код 0100),

u={0 D’ D 1}(код 1111). Рассмотрим пример вычисления функции

f=a b в 6-значном алфавите, используя характеристические функции,

приведенные в Табл.3.5. Пусть a=D: a0=0, aD’=0, aD=1, a1=0, и b=D’: b0=0,

bD’=1, bD=0, b1=0, тогда получаем

таблице истинности функции ИЛИ в алфавите T6.

Широкое применение в методах генерации тестов находит также

алфавит T10, являющийся подмножеством 16-значного алфавита. Он определяется следующим его подмножеством: ={ }(код 0000), 0={0}(код 1000), 1={1}(код 0001), D={D}(код 0010), D’={D’}(код 0100), G0={0 D’}(код 1100), F0={0 D}(код 1010), G1={D 1}(код 0011), F1={D’ 1}(код 0101), u={0 D’ D 1}(код 1111). Рассмотрим пример вычисления функции f=a b в 10-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.3.5. Пусть a=D: a0=0, aD’=0, aD=1, a1=0, и b=G1: b0=0, bD’=0, bD=1, b1=0, тогда получаем

93

истинности функции ИЛИ в алфавите T10. В генерации тестов используется также и 12-значный T12={ ,0,1,D’,D,F0,F1,G0,G1,D*,С,u} алфавит, также являющиеся расширением алфавита T6.

Из выше сказанного можно сделать заключение, что при методе кодирования, используемом в алфавите B16, описание поведения многозначных функций с помощью упорядоченного множества характеристических функций f 0 , f D′ , f D , f 1 может быть использовано в методах генерации тестов и моделирования логических схем,

базирующихся на применении основных многозначных алфавитов. С этой точки зрения описанная 16-значная логика (B16, ( f 0 , f D′ , f D , f 1 )) является универсальной математической моделью для методов генерации тестов и моделирования.

3.4 Алгебраическая структура многозначных алфавитов

Показано, что рассмотренный в разделе 3.1 16-значный алфавит B16

образует булеву алгебру, представленную на Рис.3.1 [1,4]. Используемый метод построения позволяет утверждать, что основные многозначные алфавиты, применяемые в методах генерации проверяющих тестов и моделирования ДУ, являются частично упорядоченными подмножествами

B16. Так, например, алфавиты E3 и E5 образуют структуры типа верхняя полурешетка, которые не содержат наименьший элемент. Эти структуры представлены на рис.3.2а) и рис.3.2б). Если к алфавиту E3 добавить наименьший элемент , то получим алфавит С4, также представленный на рис.3.2в)., который используется при моделировании шинных структур.

Знание алгебраической структуры основных многозначных алфавитов позволяет строить с помощью алгебраических операций новые алфавиты,

необходимые при моделировании или генерации тестов схем,

выполненных по какой либо новой технологии. Например, на рис.3.2г),

94

рис.3.2д) представлены алфавиты L1 и L2, которые получены из алфавита

С4 и широко используются при моделировании шинных структур.

Рис.3.1 Алгебраическая структура B16

( ,0)

г) L1

Рис.3.2 Алгебраическая структура многозначных алфавитов

3.5 Моделирование шинных структур

Моделирование схем, содержащих тристабильные элементы,

представляет особый интерес. Корректное моделирование таких схем даже

95

Поставим в соответствие символу в принятом нами методе кодирования код-0000. Тогда 4-значный алфавит С4={ ,0,1,u) образует следующее подмножество B16: ={ } (код-0000), 0={00}(код-1000),

Как уже отмечалось, выходы тристабильных элементов обычно подключаются к шине, модель которой в алфавите С4 представлена в табл.3.11. Если все устройства отключены, то согласно этой таблице шина находится в состоянии высокого импеданса. Это не всегда соответствует действительности, так как при некоторых технологиях в таком случае шина сохраняет предыдущее значение. То есть в этом случае значение на шине скорее является признаком сохранения предыдущего значения. На основании табл.3.11 для принятого метода кодирования получены функции f 0 , f D′ , f D , f 1 , которые представлены в табл.3.12.

97

Моделирование МОП-схем требует введения специальных приоритетов ("сил"). При этом с линией схемы обычно связывается два

параметра (v,s), где v C4 соответствует напряжению, а "сила" s Sn = {0,1,2,...,n} соответствует току или заряду [53]. Введение "силы"

позволяет корректно моделировать на логическом уровне специальные элементы (типа "сборка" и т.п.), которые традиционно моделировались на уровне электронных схем. Следуя [53], в этом случае алфавит

элементы в алфавите { ,i}C4 × i и {u,i + 1}C4 × (i + 1) "стягиваются" в

(u,1+1). На рис.3.2 д) представлены диаграммы Хассе Ln [53 ] для n=0,1,2. В

настоящее время наиболее распространенными являются алфавиты типа

L2. При этом высший приоритет (s=0) соответствует линиям схемы,

связанным с питанием или землей. Выходам логических элементов обычно присваивается следующий приоритет (s=1). И самый низкий приоритет

(s=2) имеют элементы, у которых сигналы хранятся на емкостях. Как правило, наибольшие трудности вызывает моделирование специальных элементов типа "сборка". Математически моделирование "сборки"

сводится к операции # - нахождению наименьшей верхней грани в Ln [53].

Например, (V,S)=#((1,1), ( ,2), ( ,2)) =(1,1).

Функции f 0 , f D′ , f D , f 1 используются при моделировании логических элементов для вычисления параметра v. "Сила" s определяется типом элемента и применяемой технологией. Существуют различные модификации многозначных алфавитов, являющихся подмножествами L2.

Интересным и важным для практики представляется 9-значный алфавит,

предложенный в [54]. Этот алфавит получается из L2 удалением элемента

(0,2) и имеет структуру несколько отличную от L2, которая обусловлена технологией производства рассматриваемых схем.

98

Представленные выше модели тристабильного элемента и шины используют четыре компоненты f 0 , f D′ , f D , f 1 . Но при моделировании в алфавитах С4, Ln достаточно использовать только две компоненты и не все

термы f 0 , f 1 . При этом модели тристабильного элемента и шины

существенно упрощаются. Для тристабильного элемента в этом случае

3.6 Комбинированные характеристические переменные и функции

Изложенная в предыдущих пунктах универсальная форма представления многозначных логических функций при помощи 4

характеристических булевых функций является эффективной математической моделью. С целью ее усовершенствования и дальнейшего развития введем следующие понятия.

Определение 3.1 Назовем комбинированными характеристическими переменными двоичные переменные, определяемые в соответствии со следующими правилами:

Для характеристических и комбинированных характеристических переменных выполняются свойства, указанные ниже.

3.1. x0 xD′ xD x1 = 1.

Доказательство: В левой части равенства присутствуют все основные характеристические переменные, соответствующие всем элементам базового алфавита B4. Как следует из интерпретации его элементов, они

99

описывают все возможные пары значений ДУ в разных технических состояниях (исправное и неисправное) и в различные моменты времени.

Поэтому хотя бы одна из характеристических переменных должна быть равна единице. Отсюда следует равенство единице всего выражения. В

сущности, выражение x0 xD′ xD x1 можно определить как характеристическую переменную неопределенного значения uB16: xu, так как элемент u определяется следующим подмножеством алфавита B4

{0 D’ D 1}.

Следствие: xG1 xG0 = 1, xF1 xF0 = 1.

3.2. Если x B2 xG1 = xF1 = x1 = x, xG0 = xF0 = x0 = x .

Доказательство: Истинность этого утверждения следует из определения комбинированных переменных.

3.3. Конъюнкция (логическое умножение) характеристических переменных

выполняется согласно Табл.3.13.

Таблица 3.13

Результат логического умножения характеристических переменных определяется пересечением подмножеств базового алфавита B4 , которыми задаются соответствующие элементы алфавита B16 (Табл.3.1).

Пересечение определяется как покомпонентная конъюнкция соответствующих характеристических векторов. Конфликтная ситуация,

100