Скобцовы Моделирование и тестирование

другое, эквивалентное приведённому, определение булевой производной:

При вычислении булевых производных сложных функций полезны следующие свойства булевых производных:

•d1 = 0, d0 = 0 ;

dxi dxi

Важны следующие частные случаи этих формул для функции g, не зависящей от переменной xi:

•d ( f g) = df ;

dxi dxi

•d ( f g) = g df ;

dxi dxi

•d (g f ) = g df

dxi dxi

221

df = x1 x2 Kxi−1 xi+1Kxn . dxi

На практике важным является дифференцирование сложных функций, когда функция F явно не зависит от переменной xi

F = F(f(x1,..,xi,..,xn),x1,..,xi-1,xi+1,..,xn).

В этом случае имеет место dF = dF df . dxi df dxi

Для булевых функций справедливо следующее разложение Тейлора по переменной xi в точке xi=hi с использованием булевой производной:

f = f (xi = hi ) df (xi hi ) . dxi

Тогда различающая функция неисправности для hi может быть представлена следующим образом:

D(hi ) = F(x, xi ) F(x, xi = hi ) , где hi =0,1.

Используя разложение Тейлора функции F по переменной xi в точке hi,

получаем:

Здесь второй сомножитель (xi hi ) даёт условие различения сигналов xi и hi в исправной и неисправной схеме на линии i. Первый же сомножитель определяет условие распространения рассогласования сигнала в исправной и неисправной схеме до выхода схемы F. Это соотношение является основой для метода булевых производных.

Таким образом, для построения теста для константной неисправности hi ≡ 0 необходимо решить булево уравнение (найти значения

входных переменных) xi dF = 1, dxi

222

а для неисправности hi ≡ 1 – уравнение xi dF = 1. dxi

Рассмотрим метод булевых производных на примере построения теста неисправности x1 ≡ 0 для схемы рис.6.4.

Рис.6.4 Иллюстрация метода булевых производных

Для построения теста нам необходимо решить уравнение x df =1. При

1 dx1

вычислениях используем приведенные выше свойства булевых производных и получаем:

Из этого выражения следует, что набор значений входов x1=1, x2=0, x3=1 является проверяющим тестом для данной неисправности.

223

Рассмотрим построение теста для неисправности x7 ≡ 1 внутренней

линии той же схемы.

использовать наборы x4=0, x3=0 или x5=0, x3=0.

6.5 Метод активизации одномерного пути

Основная идея этого метода заключается в выборе и активизации пути от места неисправности через последовательность вентилей до некоторого внешнего выхода. Этот процесс выполняется в три этапа:

1)Активизация (sensitization) неисправности, при которой на неисправную линию подается сигнал, противоположный неисправному значению.

2)Распространение (propagation) неисправности от места неисправности до одного из внешних выходов.

3)Доопределение (justification) необходимых для активизации и распространения значений сигналов.

224

На втором этапе соседним входам вентилей, вошедших в активизированный путь, присваиваются такие значения сигналов, при которых выход вентиля зависит от входа, входящего в этот активизированный путь. Таким образом, для элементов типа И, НЕ-И

соседние входы получают значение 1, а для ИЛИ, НЕ-ИЛИ соседние входы получают значение 0. Иногда этот этап называют прямой фазой, а

выбранный путь – активизированным путём.

Выбрав и установив активизированный путь на третьем этапе необходимо найти значения сигналов на внешних входах схемы, которые дают требуемые значения на входах вентилей активизированного пути.

Для этого по схеме прослеживаются необходимые значения сигналов до внешних входов схемы. Этот процесс иногда называют обратной фазой.

Рассмотрим этот простой метод на примере построения теста для неисправности x7 ≡ 1 схемы, представленной на рис.6.5.

Рис.6.5 Одномерная активизация путей

Выполняем первый этап – активизацию неисправности. Очевидно, в

исправной схеме необходимо получить x7=0 (значение сигнала,

противоположное неисправности), что обеспечивается значением

225

внешнего входа x3=1. Далее выбираем (произвольно) путь x7, x10, x11, x13 от места неисправности до выхода схемы F2. Необходимым условием активизации этого пути является равенство значений сигналов соседних входов, обеспечивающих распространение влияния неисправности: x4=1

для активизации пути от x7 к x10; x5=0 для активизации пути от x10 к x11; x8=1 для активизации пути от x11 к F2.

Этим завершается прямая фаза (этап активизации). Далее необходимо найти значения внешних входов схемы, обеспечивающие полученные на предыдущем этапе условия распространения влияния неисправности. В данном случае надо найти значения x1 и x2,

обеспечивающие равенство x8=1. Из трех возможных комбинаций выбираем x1=1, x2=0. В результате получаем тестовый набор x1=1, x2=0, x3=1, x4 =1, x5=0. Когда этот набор подается на схему, то выход схемы F2=1

при наличии неисправности и F2=0 при ее отсутствии. Следовательно,

построенный входной набор действительно является тестовым.

Отметим, что при выполнении этапа подтверждения (обратной фазы)

возможен перебор различных вариантов значений входных сигналов и неудачный выбор может привести в дальнейшем к несовместимости полученных значений сигналов на некоторых линиях схемы. В этом случае необходимо «дать задний ход» и выполнить перебор других вариантов до тех пор, пока несовместимость не будет устранена. Таким образом, задача построения теста для заданной неисправности носит переборный характер.

Рис.6.6 Контрпример для метода одномерной активизации

226

К сожалению, рассмотренный метод не является алгоритмом, т.е. он не гарантирует построение теста для отдельных неисправностей некоторых схем. Например, для приведённой на рис.6.6 схемы для неисправности

х2 ≡ 1 этот метод не может построить тест.

Активизация одиночного пути x2, x4, x6 требует значения x5=0, что невозможно, так как для активизации неисправности х2 ≡ 1 необходимо подать х2=0, что ведет к требованию x5=1(т.е. возникновению противоречия – конфликта на линии x5). В силу симметрии невозможно также активизировать второй одиночный путь x2, x5, x6. Тем не менее, тест для этой неисправности существует – x1=1, x2=0, x3=1. Действительно, на этом наборе F=1 при отсутствии неисправности и F=0 при ее наличии.

Этот тест не может быть построен данным методом, так как в этом случае необходимо активизировать одновременно два пути от места неисправности до внешнего выхода схемы. Все последующие методы построения тестов основаны на многомерной активизации (нескольких)

путей с использованием многозначных алфавитов.

6.6 Многозначные алфавиты в генерации тестов

Булевы функции в двузначном алфавите В2={0,1} широко используются для моделирования исправных комбинационных схем, но для описания работы схемы с неисправностью удобно использовать алфавиты большей значности. В этом случае анализ двух схем (исправной и неисправной) в двоичном алфавите заменяется анализом одной схемы в многозначном алфавите. При поданном некотором тестовом наборе для каждой линии в исправной и неисправной схеме возможны четыре комбинации значений сигналов:

00 – 0 в исправной схеме, и 0 в неисправной (соответствует символу 0

универсального алфавита B16, рассмотренного в разделе 3);

11 – 1 в исправной схеме и 1 в неисправной (символ 1 алфавита B16); 10 – 1 в исправной схеме и 0 в неисправной (символ D алфавита B16); 01 – 0 в исправной схеме и 1 в неисправной (символ D’ алфавита B16);

227

Мы не знаем, какие именно из этих четырёх комбинаций могут присутствовать для данной неисправности, поэтому в начале построения теста предполагается, что на каждой линии схемы возможны все 4

комбинации – максимально возможная неопределённость. Суть методов генерации тестов в многозначных алфавитах заключается в том, что,

используя свойства структуры схемы и знания местоположения неисправностей далее, исключаются ненужные или невозможные комбинации. То есть, в процессе генерации тестов неопределённость постепенно снимается и значения 0, 1 на внешних входах схемы, которые получаются в результате снятия неопределённости, определяют проверяющий тест для данной неисправности. При снятии неопределённости для произвольной линии схемы возможны различные ситуации, описываемые универсальным 16-значным алфавитом В16. Таким образом, в начале построения теста всем линиям схемы присваивается неопределённое значение u алфавита В16, а далее эта неопределённость постепенно снимается. Например, если мы строим тест для константы неисправности xi ≡ 0, то, очевидно, что этой линии надо присвоить значение

D из В16, а в случае неисправности xi ≡ 1 - D’. Затем эти значения стараются распространить к внешнему выходу схемы, чтобы обеспечить наблюдение влияния неисправностей на внешнем выходе. При этом снимается неопределённость для линий, попавших в активизированные пути и получивших, например, значение D или D’. Этот процесс является аналогом прямой фазы активизации одномерных путей. Далее надо отработать назад к внешним входам схемы, чтобы обеспечить условие активизации путей. Этот процесс является аналогом обратной фазы метода активизации одномерных путей. При этом также снимается неопределённость. Результаты этого процесса для неисправности x2 ≡ 1

представлены на рис.6.7.

Различные методы генерации тестов используют разные подмножества универсального алфавита В16. Наименьшим подмножеством

228

В16, которое используется в распространенных на практике методах генерации тестов, является алфавит T6={ ,0,1,D,D’,u}. Здесь символы D и D’ представляют рассогласование сигналов в исправной и неисправной схемах и фактически показывают влияние данной неисправности в схеме.

Символы 0,1 представляют одинаковые значения сигналов в исправной и неисправной схемах. Символ u соответствует неопределенным значения в исправной и неисправной схемах. Наконец, символ используется для описания конфликтов (противоречия сигналов), которые могут быть в процессе построения тестов.

{0,1,D,D’}

Рис.6.7 Использование многозначных алфавитов

Во всех структурных методах, использующих многозначные алфавиты, выполняются следующие основные этапы, которые обобщают соответствующие этапы метода одномерной активизации путей.

1)Активизация (sensitization) данной неисправности. При этом вносится влияние данной неисправности на соответствующей линии путем присваивания ей значения D (для неисправности const0) или D’ (для неисправности const1).

2)D-распространение (D-propagation), при котором значения D или D’

распространяются до одного из внешних выходов схемы. Эта процедура

обеспечивает наблюдение влияния неисправности на внешних выходах.

229

3)Доопределение (justification), при котором определяются значения внешних входов схемы, обеспечивающих значения, получаемые на этапах

(1)и (2).

4)Импликация, которая используется для снятия неопределённости на линиях схемы, которые возможны в результате присваивания некоторым линиям определённых значений.

При выполнении D-распространения в случае разветвления есть выбор возможных путей от места неисправностей к внешним выходам.

Множество элементов, для которых возможно D-распространение называются D-границей (элементы имеют значения D или D’ на входе и неопределенность u на выходе).

Аналогично при выполнении этапа доопределения (justification)

также возможен выбор различных вариантов продвижения к внешним входам. Множество элементов, у которых выходное значение определено

(имеют значения 0 или 1), но не подтверждается входными значениями

(входы имеют неопределенные значения u) называется J-границей.

Так как при генерации тестов мы используем не двоичные, а

многозначные алфавиты, функционирование логических элементов также должно быть описано в многозначном алфавите. Часто это делается с помощью специальных таблиц такого же типа, как и при моделировании многозначных алфавитов, которые были представлены в разделах 2 и 3.

Например, в табл. 6.2 – 6.5 представлены модели основных вентилей в алфавите T6. Следует отметить, что различные методы генерации тестов могут использовать не только разные подмножества универсального многозначного алфавита В16, но и различные формы многозначных моделей, которые мы рассмотрим далее.

230