5. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выберем в покоящейся жидкости объём в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат и размером x,y,z( 2.3). Рассмотрим силы, которые действуют на параллелепипед вдоль осиx. Массовые силыF_xдействуют на всю массуmи равны

(2.0)

Поверхностные силы действуют на поверхность параллелепипеда. На левую и правую грань действуют нормальные напряжения (давление), поэтому, если известна площадь грани yzи давления на гранях эти силы будут равны:

(2.0)

Рисунок2.3Вывод уравнения Эйлера гидростатики

Касательные напряжения должны действовать на боковые, относительно оси x, поверхности. Но так, как касательные напряжения возникают только при движении жидкости из-за сил трения, то они равны нулю. Запишем уравнение равновесия жидкости вдоль осиx

.

(2.0)

Разделим последнее уравнение на массу параллелепипеда и устремим размеры параллелепипеда к нулю, тогда получим:

.

(2.0)

Здесь мы воспользовались определением частной производной

.

(2.0)

Аналогично можно получить уравнения равновесия жидкости для осей yиz. Тогда полная система уравнений запишется:

(2.0)

Умножим каждое из уравнения соответственно на dx,dy,dzи сложим их, тогда получим

(2.0)

Последнее уравнение называется основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

6. Поверхность равного давления и ее свойства

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) – называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулюdp= 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

.

(2.0)

1. X, Y, Z– ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Рисунок 2.4Первое свойство поверхности равного давления

Первое свойство поверхности равного давления- поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлениемp₁ пересекается с поверхностью, на которой давлениеp₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным иp₁ иp₂ , что не возможно, т.к.p₁ не равноp₂, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления- массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силыdF=dm(Xi+Yj+Zk) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давленияdr=dxi+dyj+dzk. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) =dm(Xdx+Ydy+Zdz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления ( 2 .0). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления- в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называетсяоднородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.