3. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Для вывода уравнения Бернулли используется теорема об изменения кинетической энергии - изменение кинетической энергии равно работе внешних сил.

Рисунок3.24 – силы действующие на элементарную струйку

Выберем плоскость сравнения 0-0 – любая горизонтальная плоскость. Считаем, что на этой плоскости находится начало декартовой системы координат, и осьzнаправлена вертикально вверх. Выберем в потоке жидкости элементарную струйки и рассечем её двумя поперечными сечениями 1-1 и 2-2. Предположим, что через первое поперечное сечение 1-1 элементарной струйки за времяdtзаходит масса жидкостиdm₁, а через второе сечение 2-2 выйдет массаdm₂. Тогда при установившемся движении эти массы должны быть равны так, как в противном случае внутри объёма между сечениями масса будет или увеличиваться или уменьшаться. Обозначим местные скорости в сеченияхu, площади сеченийdи, считая жидкость несжимаемой, получим:

(3.0)

1. dV - объём массы жидкостиdm.

Тогда изменение кинетической энергии dЭ_кинравно

.

(3.0)

При движении от первого сечения ко второму на массу действует сила тяжести, поэтому изменение работы сил тяжести dA_тяжравно:

.

(3.0)

На поперечное сечение dсо стороны окружающей жидкости действует сила давленияdP = p d. За времяdtмасса частицы жидкости перемещается на расстояниеdS, тогда работа, совершаемая силами давления, равнаdA_дав = dP dS = p d dS = p dV(d dS = dV– объем частицы жидкости). Поэтому работа сил давления равна

.

(3.0)

В общем случае на боковой поверхности элементарной струйки действуют силы трения, которые противодействуют движению жидкости. В данном случае рассматривается идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю, поэтому сил трения равны нулю и работы не совершают.

Используя теорему изменения кинетической энергии, запишем:

,

(3.0)

или

.

(3.0)

Разделим это выражение на вес частицы жидкости, которая проходит за время dtчерез сечение струйки,dG=gdm= ρgdV:

.

(3.0)

Так, как сечения 1-1 и 2-2 были выбраны произвольно, то последнее уравнение можно переписать в виде:

.

(3.0)

Уравнение (3.24) или (3.25) называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли в таком виде можно записать только для установившегося движения несжимаемой идеальной жидкости. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии – для идеальной жидкости полная энергия вдоль элементарной струйки сохраняется. В уравнения (3.24) и (3.25) входит не сама энергия, а энергия отнесённая к весу частицы жидкости, которая называется удельнойэнергией, поэтому каждое слагаемое в уравнении Бернулли представляет собой удельную потенциальную энергию положения, удельную потенциальную энергию давления и удельную кинетическую энергию и в системе СИ измеряется в метрах. Сумма этих энергий называется полной удельной энергией.

4. Уравнение Бернулли для струйки и потока реальной жидкости

Если по элементарной струйке движется реальная жидкость, то возникают силы трения и часть полной механической энергии переходит в тепловую энергию, которая в уравнении (3.24) не учитывается. Поэтому полная механическая энергия в начале струйки будет больше, чем в конце. Потерей напораилипотерей полной удельной энергии h_1-2- называется разность полных удельных энергий в начале и в конце элементарной струйки.

.

(3.0)

Тогда уравнение для элементарной струйки реальной жидкости запишется:

.

(3.0)

Рассмотрим поток жидкости. Поток жидкости состоит из элементарных струек, скользящих друг относительно друга с разными скоростями. Пусть за время dt = 1через поперечное сечение элементарной струйки проходит массаdm =  u d. Осредним уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости по поперечному сечению. Так, как в поперечном сечении давление распределяется по гидростатическому закону, сумма первых двух слагаемых постоянна и при осреднении не изменится. Усредняя третье слагаемое и выражая его через среднюю скорость, получим

.

(3.0)

Тогда для потока реальной жидкости уравнение Бернулли запишется:

.

(3.0)

1. z– расстояние от плоскости сравнения до любой точки поперечного сечения, м;

p– давление именно в этой точке, Па;

v– средняя скорость в данном поперечном сечении, м/с;

 – имеет три названия: коэффициент неравномерности распределения скоростей, средняя коэффициент Кариолиса, коэффициент кинетической энергии.

Коэффициент неравномерности распределения скоростей определяется

.

(3.0)

Коэффициент неравномерности распределения скоростей определяется в зависимости от режимов движения жидкости

Ламинарный режим	Турбулентный режим	V 
 =2	 =1,11,2	 =1

На практике обычно выбирают значение = 1.

При применении уравнения Бернулли следует придерживаться следующих правил:

1. Выбрать два поперечных сечения. Поперечные сечения выбираются по направлению движения жидкости в начале потока 1 – 1 в конце 2 - 2. Поперечные сечения выбираются там, где известны давления или где одно из давлений необходимо найти.

2. Выбирают плоскость сравнения 0 - 0. Плоскостью сравнения может служить любая горизонтальная поверхность. Обычно выбирают плоскость сравнения, проходящую через центр тяжести нижнего поперечного сечения.

3. Записывают значения zиpдля поперечных сечений. Для напорных потоков (движение жидкости в трубе) за характерную точку обычно принимают центр тяжести трубы. Для безнапорных потоков (движение жидкости в реке) за характерную точку обычно принимают точку на свободной поверхности жидкости. Давлениеpдолжно иметь один и тот же тип или абсолютное в обеих частях уравнения или манометрическое.

4. Расписывают скорости в поперечных сечениях. В уравнении Бернулли, как минимум, входят три скорости: v₁– средняя скорость в первом сечении,v₂– средняя скорость во втором сечении,v– средняя скорость в трубе, которая соединяет эти сечения (от этой скорости зависят потери напора h_1-2). Если известен расход, то скорости находятся:

.

(3.0)

Если расход неизвестен, то неизвестны и скорости. В этом случае удобно все скорости выразит через скорость в трубе:

.

(3.0)

Полученные значения z, p, vподставляют в уравнение Бернулли и находят неизвестную величину.