Teoriya avtomatichnogo keruvannya

8.7

Абсолютна стійкість. Критерій В.-М. Попова

Абсолютна стійкість означає асимптотичну стійкість нелінійної системи у цілому (тобто відносно всього простору станів системи) за умови, що задано не конкретну

нелінійність, а деякий клас нелінійностей М. Поняття абсолютної стійкості можна застосувати до класу стаціонарних нелінійностей, яким є множина М[к{, к2 ] усіх кусково-безперервних функцій, графіки яких знаходяться в секторі ї'[/с1, к2 ]між лініями и = к{г і и - к 2 г (рис. 8.15). Ці нелінійності мають задовольняти такі умови:

ф(є)— безперервна функція;

ф(0) = 0; єф(є) > 0 при є Ф 0;

± ~

|ф(є)<І8 = ±оо.

0

Абсолютна стійкість означає стійкість у цілому для всіх нелінійностей заданого класу.

Одним із критеріїв абсолютної стійкості є критерій В.-М. Попова. У практичних задачах цей критерій найчастіше застосовується до однозначних нелінійностей, характеристики яких містяться в секторі ^ [ОД]. У цьому випадку для абсолютної стійкості нелінійної системи, зведеної до найпростішої, тобто для такої, що складається з нелінійної ланки ф(є) і

420

8 . 7 . А бсолютна стійкість. Критерій В.-М. Пдпова

і лінійна система, в якій нелінійну ланку замінено лінійною и = се, де < < к, була стійкою.

Частотну характеристику лінійної частини системи подамо у вигляді

Ж л ( у ш ) = ^ л ( ш ) + уГл(со),

підставимо значення У/л (уоо) у перший доданок нерівності (8.42) і виділимо дійсну частину

Ке{(1 + ®ш)[і/л(©) + уГл (©)]} =

=Ке [£/л (со) + лсо і/л (оо) + у Кл (со) - ^со Кл (со)] -

=І]л (ш) - <?0) Кл (ш).

Зурахуванням цього виразу нерівність (8.42) запишемо у вигляді

£/л (со) - #со Кл (со) + 1 /& > 0

теристики лінійної частини системи або кривої Попова. Вираз цієї характеристики

ж;0ш)=[/ л (ш) + ушкл(0))

відрізняється від звичайної амплітудно-фазової характеристики І\/п (у'оо)тільки тим, що уявна частина множиться на оо. Якщо прийняіп, що п — порядок полінома знаменника передаточної функції II „(р), а т — порядок полінома чисельника, то при п-т> 1 видо- їм і і ієна характеристика IV* (уоо) має такий самий вигляд, що й характеристика \¥л (уоо), лише масштаб уявної частини змінюється у

421

Глава 8 НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

со разів, а при п- т = 1 характеристика IV* (уоо) при оо = оо закінчується

на від'ємній частині уявної осі.

Після введення поняття про пряму і криву Попова сформулюємо умови виконання нерівності (8.42) або умови абсолютної стійкості:

Для однозначних нелінійних характеристик -оо < ^ < + оо? тобто пряму Попова можна проводити з будь-яким кутовим коефіцієнтом

— як додатним, так і від'ємним. Для неоднозначних характеристик із від'ємним гістерезисом (рис. 8.16, а) 0 < д < оо і кутовий коефіцієнт прямої Попова має бути додатним, а для неоднозначних характеристик Із додатним гістерезисом (рис. 8.16, б) -оо < д < 0 і кутовий коефіцієнт прямої Попова має бути від'ємним.

Рис. 8.16

Для визначення абсолютної стійкості нелінійної системи необхідно побудувати видозмінену частотну характеристику Жл*(усо) лінійної частини системи, визначити к з умови 0 < ср(є)/є < к і через точку з координатами (-1/&,у"0) провести пряму з кутовим коефіцієнтом, що визначається типом нелінійності, так, щоб характеристика IV*(уоо) знаходилася праворуч від неї (рис. 8.17). Якщо таку пряму провести не можна, то абсолютна стійкість у досліджуваній системі неможлива (рис. 8.18).

422

8 . 7 . А бсолютна стійкість. Критерій В.-М. Пдпова

Таке формулювання критерію абсолютної стійкості є справедлииим для систем зі стійкою лінійною частиною. Проте цей критерій можна використовувати також і тоді, коли лінійна частина системи нестійка. У цьому разі лінеаризована система, яку дістають при замни нелінійного елемента ф(є)лінійним кг, за досить малих к буде не-

• і пікою. Якщо існують такі значення кф, для яких при ф(є)/є>/сф чшеаризована система стійка, то для використання критерію Попова належність характеристики нелінійного елемента сектора5 [0, к]тре- (>а замінити належністю сектора £ [кф, к], тобто прийняти

є

Крім того, слід виконати еквівалентні перетворення вихідної

іііііішої системи (рис. 8.19, а) так, як зображено на рис. 8.19, б. Лан- і а з коефіцієнтом передачі —1 показує, що зворотний зв'язок у сис- І Г М І с від'ємним. У схему введено дві фіктивні ланки з коефіцієнтами передачі кф. Схема залишається еквівалентною вихідній, бо вихід- ні сигнали фіктивних ланок взаємно компенсуються на вході іппішої частини системи. Перевіримо, чи існує таке значення А ! к, за якого лінійна частина системи, охоплена жорстким від'ємним зворотним зв'язком, буде стійкою. Якщо таке значення кф не існуі , то відповідь на запитання про абсолютну стійкість однознач- на абсолютна стійкість системи неможлива.

423

а

Рис. 8.19

Вважаємо, що значення /сф, за якого забезпечується стійкість лінійної частини системи, існує. Тоді після перетворення структурної схеми дістанемо лінійну частину системи з передаточною функцією

то з нерівності

0 < ф(є)/є < к

випливає нерівність

0<ф ф (є ) / г < к - к ф ,

тобто характеристика перетворюваної нелінійної ланки належить сектору 5 [0, к - кф]. У цьому разі нерівність (8.42) має вигляд

і критерій абсолютної стійкості формулюється так: система абсолютно стійка, якщо через точку з координатами (-!/(& - /сф), у'0) можна

424

Аналогічно можна розглянути випадок, коли характеристика не- 'ппіііної ланки належить довільному сектору 5[/с,,/с2 ] (див. рис.

15). Цей варіант також можна звести до нелінійної характеристики, їмо належить сектору ,5* [0, к], якщо прийняти /сф = кх. Тоді характерне піка перетвореної нелінійної ланки

ФпеР(є)= Ф ( є ) - М

міаходитиметься в секторі [0, к2 - кх а лінійна частина матиме

\+ к{]¥л(р)

Критерій Попова можна поширити також на системи, в яких передаточна функція лінійної частини IV,{(р) має кілька чисто уявних а()о нульових полюсів, причому решта полюсів — ліві. У цьому разі (формулювання критерію стійкості збігається з формулюванням кри- м рію для системи зі стійкою лінійною частиною, але доповнюється іакими двома умовами:

кх < Ф (є, 0 <к2\ф (0,ґ)=0,

425

то цей випадок можна звести до варіанта зі стаціонарною лінійною характеристикою, що лежить у секторі £ [/с,, к2 ]. Відмінність полягає в тому, що умова абсолютної стійкості для нестаціонарної нелінійної характеристики має вигляд нерівності (8.45), в якій слід прийняти д = 0, тобто

уявній осі, тому що при д = 0 і к = к2 - /с, рівняння прямої Попова

к2 - к{

Все раніше розглянуте має відношення до абсолютної стійкості стану рівноваги системи в точці х = 0. Проте критерій Попова можна застосувати також для дослідження абсолютної стійкості будь-яких динамічних процесів. Якщо характеристика нелінійної ланки знаходиться в секторі £ [к\, к2 ], то похідна нелінійної характеристики має належати тому самому сектору £ [к{, к2 ], тобто

Зє

Стійкість динамічних процесів перевіряється так само, як і для нестаціонарної нелінійності.

Отже, критерій Попова дає достатні, але не необхідні умови стійкості. Тому визначена за цим критерієм зона стійкості може виявитися більш «вузькою», ніж дійсна, і, як наслідок цього, до регулятора ставитимуться необгрунтовано жорсткі вимоги.

8.8

Метод точкового перетворення

Для оцінки динаміки нелінійних систем, зокрема для виявлення факту існування автоколивань і визначення їхніх параметрів, можна застосувати метод точкових пе-

ретворень, розвинутий в теорії автоматичного керування О.О. Анд-

426

8.8.Метод точкового перетворення

іраєкторію, то обходу зображуючої точки навколо початку координат відповідає перехід кожної точки півосі Ох у деяку іншу точку тієї самої півосі. Інакше кажучи, відбувається точкове перетворення півосі Ох саму в себе. Це перетворення описується функцією х{ =

/'(х0), графік якої називається діаграмою точкового перетворення.

Діаграма точкового перетворення дає змогу досліджувати характер можливих динамічних режимів у системі. Нехай, наприклад, гра-

427

Глава 8 НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

менша за попередню. Аналогічно частинам кривої х, = /(х0 ), які містяться вище бісектриси, відповідають спіральні фазові траєкторії, що віддаляються від початку координат.

Крива х1 = /(х 0 ) і бісектриса на рис. 8.22 мають дві точки перетину А і В, тобто фазовий портрет має два граничних цикли. Наявності автоколивань у системі відповідає стійкий граничний цикл. Аналізуючи діаграму точкового перетворення, можна виявити, що стійкому граничному циклу відповідає така точка перетину кривої х1 = /(х0 )з бісектрисою, в якій крива хх = / ( х 0 ) має менший нахил до осі абсцис, ніж пряма х, = х0 , а нестійкому — більший. Отже, точка А відповідає стійкому граничному циклу, тобто наявності автоколивань у

Точкові перетворення не обов'язково здійснювати відносно додатної півосі осі абсцис. Якщо на фазовій площині є лінії перемикання, то доцільніше виконувати перетворення точок якої-небудь лінії перемикання. Якщо фазовий портрет симетричний відносно якої-небудь осі координат, то достатньо виконати точкове перетворення для половини оберту зображуючої точки навколо початку координат, тобто перетворити точки півосей або ліній перемикання на додатній півплощині у відповідні точки ліній перемикання або півосей на від'ємній півплощині.

Метод точкових перетворень можна використовувати для визначення впливу зміни параметрів системи на характер перехідних процесів. Нехай, наприклад, при різних значеннях якого-небудь параметра системи дістанемо діаграми точкових перетворень, що зо-

428

8.9.Метод гармонічної лінеаризації

8.9

Метод гармонічної лінеаризації

нього методу в 1934 р. запропонували М.М. Крилов і М.М. БоголюПои. До дослідження систем автоматичного керування цей метод за- < юсували Л.С. Гольдфарб і Є.П. Попов.

Метод гармонічної лінеаризації використовується для досліджен- и і автоколивань у нелінійних системах високого порядку, а також пні оцінки якості перехідних процесів.

Для пояснення суті гармонічної лінеаризації розглянемо прохо-

через нелінійну ланку (рис. 8.24). На виході нелінійної ланки в загальному випадку створюється періодичний сигнал

и = ф(#$іпоо/),

який можна розкласти в ряд Фур'є:

Прийнявши А0 = 0, що справедливо для нелінійних характерисіик, симетричних відносно початку координат, вираз (8.49) запише-

429