Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Якщо врахувати, що з (8.48) випливає

8Іпсо/ = є/а; соз сої = рг/аю,

то вираз (8.53) можна записати у вигляді

фіцієнти згідно з виразами (8.51) і (8.52) є функціями амплітуди а. Отже, нелінійна функція и = ср(є)при в = д §іпоо/замінюється виразом (8.54), який з точністю до вищих гармонік є лінійним. Ця операція і

н а з и в а є т ь с я гармонічною лінеаризацією.

430

8.9.Метод гармонічної лінеаризації

Гармонічна лінеаризація по суті є наближеною. Вона грунтується па таких припущеннях:

•у системі існують автоколивання;

•коливання на вході нелінійної ланки є синусоїдальними, тобто лінійна частина системи виконує функції фільтра основної гармоніки; це припущення прийнято називати гіпотезою фільтра.

Виходячи з цих припущень, розглянемо нелінійну систему, що складається з лінійної частини Жл (р) і нелінійної ланки ср(є) (рис. 8.25). При дослідженні автоколивань приймається /(ґ) = 0. Тоді,

де А і сой — амплітуда і частота автоколивань; х0 — постійна складова, що з'являється у разі, коли характеристика нелінійної ланки несимеірична відносно початку координат, тобто спостерігається ефект випрямлення вхідного гармонічного сигналу. Для симетричних характеристик нелінійної ланки х0 = 0. Такий самий сигнал, але з протилежним знаком або з фазовим зсувом л надходить на вхід нелінійної нанки. На її виході, а отже, на вході лінійної частини системи згідно з виразом (8.49) будуть сигнали не тільки основної гармоніки (іс = 1), а й решти кратних гармонік. Для лінійних систем справедливим є принцип накладення, тому можна розглядати дію кожної гармоніки па лінійну частину незалежно від інших. Внаслідок цього на виході системи утворюються періодичні коливання, які містять той самий спектр частот, що й сигнал на

вході лінійної частини. Проте \ Щ М \ амплітуди кожної з гармонік будуть різними згідно з амплі- гудно-частотною характеристикою лінійної частини системи.

431

гармонік, тобто лінійна частина системи виконує функцію фільтра нижніх частот (гіпотеза фільтра підтверджується). У цьому разі вищими гармоніками можна знехтувати і вважати, що коливання на виході лінійної частини, а отже, і на вході нелінійної ланки є гармонічними. Тоді рівняння (8.54) нелінійної ланки буде лінійним:

Передаточна функція IVнл (р)є передаточною функцією еквівалентної лінійної ланки або гармонічною передаточною функцією нелінійної ланки.

Для непарних однозначних нелінійних характеристик розклад у ряд Фур'є не має косинусів, тобто В{ = 0 і к'Г = 0, тому передаточна функція гранично спрощується:

Коефіцієнт кГ визначає гармонічну складову вихідного сигналу, яка збігається за фазою з вхідним сигналом, а коефіцієнт к[ — складову, що зсунута за фазою на кут п/2.

Коефіцієнт к[ не дорівнює нулю, якщо характеристика нелінійної ланки є неоднозначною. Для неоднозначних характеристик із від'ємним гістерезисом (див. рис. 8.1, г, е, є) коефіцієнт/^ від'ємний, тобто визначає складову вихідного сигналу, що запізнюється за фазою на кут я/2. Пояснюється це тим, що у разі зміни знака вхідного сигналу вихідний сигнал переходить з однієї вітки нелінійної характеристики на іншу і тим самим створює запізнювання вихідного сигналу відносно вхідного.

Розглянемо випадок, коли гармонічний сигнал на вході неліній-

Це можливо, якщо до системи прикладена постійна зовнішня дія або якщо характеристика нелінійної ланки несиметрична відносно початку координат.

Із виразу (8.58) випливає азіпсо/' = в - є0;

432

8.9.Метод гармонічної лінеаризації

8Іпоо/ = (є - є0 )/а;

ясо

і ому вираз (8.49) для першої гармоніки

бражена на рис. 8.27, а. Схема має дві паралельні ланки. Ланка з передаточною функцією кг0 передає постійну складову, а з передаточною функцією кГ + к'Г р/со пропускає тільки синусоїдальну складову вхідного сигналу. Вихідний сигнал и становить суму постійної складової £0А:Г0 І синусоїдального сигналу:

(кГ + к[ р/со)# 8Іп соґ = (кГ + к'Тр/со)(є - є0 ).

Якщо причиною виникнення постійної складової є не зовнішня ми, а несиметричність характеристики нелінійної ланки відносно початку координат (ефект випрямлення), то нелінійну ланку не можна подавати у вигляді структурної схеми, зображеної на рис. 8.27, а, (>о в цьому разі постійна складова А{) на виході нелінійної ланки не

Рис. 8.27

433

8.9.Метод гармонічної лінеаризації

Цей вираз справедливий при а > Ь/к. При а < Ь/к, коли зона насичення

Рис. 8.28

Мри виконанні гармонічної лінеаризації, звичайно, немає необ- чі шості визначати коефіцієнти кГ і к'Г. Для типових нелінійностей їхні значення можна знайти у більшості підручників з теорії автоматичного керування. Формули для визначення коефіцієнтів гармонічної ііпеаризації типових нелінійних ланок подано також у табл. 8.2.

Отже, гармонічна лінеаризація надає можливість описувати сут- м по нелінійні ланки лінійними рівняннями. Проте слід мати на

увазі, що гармонічна лінеаризація нелінійних залежностей принципово

(П()/)ітяється від звичайної лінеаризації, яку було розглянуто раніше

435

Глава 8 НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

(див. гл. 2, п. 2.6). Коли виконується звичайна лінеаризація, то нелінійна характеристика поблизу точки лінеаризації замінюється прямою лінією, яка має сталий коефіцієнт нахилу /с, що не залежить від вхідної та вихідної величин ланки. Якщо виконується гармонічна лінеаризація, то нелінійна характеристика замінюється прямою лінією з коефіцієнтом нахилу кг, величина якого залежить від амплітуди вхідного сигналу. Наприклад, з графіка кг(а)(рис. 8.28, а) видно, що гіри а < с коефіцієнт кг = к і лінеаризована характеристика збігаються з лінійною частиною характеристики ланки з насиченням (характеристика 1 на рис. 8.28, б). Якщо амплітуда зростає, то коефіцієнт кг зменшується і лінеаризована характеристика набуває ви-

436

8.10.Дослідження автоколивань

~методом гармонічної лінеаризації

іпіду характеристик 2, Зі т. д. При а —> <*> коефіцієнт/^ прямує до ну-

іі Пояснюється це тим, що при зростанні амплітуди вхідного сиг- м.шу амплітуда вихідного сигналу внаслідок насичення залишається

незмінною, тобто коефіцієнт передачі ланки безперервно зменшу- I Іься.

Отже, гармонічна лінеаризація замінює нелінійну ланку не на шпчайну лінійну ланку, а на таку, коефіцієнт передачі якої є функцією амплітуди (а в загальному випадку й частоти) вхідного сигналу.

ппеаризації є сталими величинами. Ця істотна особливість лінеариюваних ланок з коефіцієнтами кГ і к[ є тією важливою обставиною,

8.10

АослідЖення автоколивань методом гармонічної лінеаризації

Розглянемо спочатку випадок, коли зовнішня дія /(() = 0 і характеристика нелінійної ланки симетрична відносно початку координат. Постійна складова в цьому разі

иі/ісутня і автоколивання мають вигляд х - Л 8ІП шяґ.

І Іісля гармонічної лінеаризації структурна схема системи матиме піп пяд, зображений на рис. 8.29. Прийнявши

йтимемо диференціальне рівняння системи у вигляді

437

Коефіцієнти кг і К у загальному випадку залежать від амплітуди і частоти сой автоколивань. Для режиму автоколивань, коли А - сопзі і со0 = соп8І, рівняння (8.61) є лінійним зі сталими коефіцієнтами.

Розв'язок рівняння (8.61) у ВИГЛЯДІ X = Л8ІПС0дГ можливий лише тоді, коли характеристичне рівняння замкнутої системи

має пару суто уявних коренів р{ 2 = ±ушза умови, що решта коренів мають від'ємні дійсні частини. При цьому лінійна частина системи повинна бути стійкою або нейтральною, тобто поліном (2(р) може мати корені з від'ємними дійсними частинами або нульові корені і не повинен мати коренів з додатними дійсними частинами або чисто уявних коренів. Перелічені умови відповідають знаходженню гармонічно лінеаризованої системи на межі стійкості. Тому при визначенні періодичного розв'язку, тобто частоти сод і амплітуди А автоколивань, можна користуватися відомими критеріями стійкості лінійних систем, прийнявши, що в режимі автоколивань система перебуває на межі стійкості, яка відповідає незатухаючим коливанням.

Так, умова знаходження системи на межі стійкості за критерієм Гурвіца

За критерієм Михайлова межа коливальної стійкості відповідає проходженню годографа вектора Михайлова через початок координат комплексної площини, тобто

ПОіо)=0. (8.65)

У рівняння (8.63), (8.64) і (8.65) входять коефіцієнти кг і /сг', які є функціями амплітуди або амплітуди і частоти. Тому використання цих рівнянь дає змогу знайти значення амплітуди та частоти.

Вибір критерію стійкості для визначення А і оог/ залежить від типу нелінійності та конкретної схеми системи. Наприклад, якщо лінеаризована передаточна функція нелінійної ланки IVнл (р) дорівнює кг, причому кг є функцією тільки амплітуди, то для визначення параме-

4 3 8

8.10.Дослідження автоколивань

~методом гармонічної лінеаризації

ірій автоколивань доцільно застосувати критерій Найквіста в логарифмічній формі. У цьому разі ЛАХ залежить від кг і, отже, від амплітуди А, а ЛФХ визначається лише передаточною функцією лінійної

Найповніше розроблено методи визначення частоти й амплітуди автоколивань, в основу яких покладено критерії Найквіста (метод І ольдфарба) і Михайлова (метод Попова).

Метод Гольдфарба. За цим методом можна визначити параметри автоколивань для систем з одним нелінійним елементом, коефіцієнти гармонічної лінеаризації якого є функціями лише амплітуди. У цьому разі рівняння (8.64) записується так:

Це рівняння розв'язується графічно. Якщо його подати у вигляді

іо очевидно, що для його розв'язання необхідно побудувати дві хара- і і еристики: АФХ лінійної частини системи У/л (уш) і від'ємну обернену характеристику нелінійної ланки -1 /]¥НЛ(А). Характеристики необхідно будувати в тій самій системі координат, і масштаби на осях координат мають бути однаковими. Якщо побудовані криві не переіппаються, то розв'язку рівняння (8.66) не існує і автоколивания у системі відсутні. Якщо ж ці криві перетинаються (рис. 8.31, а), то рівняння (8.66) має розв'язок і автоколивания можливі.

Стійкість або нестійкість автоколивань можна досліджувати, аналізуючи точки перетину Мі ТУ, яким відповідають граничні цикли на

439