Teoriya avtomatichnogo keruvannya

а координатами центра є (£/0, у0 ), де

Для визначення показника коливальності необхідно на площині /У(со), у'К(со) побудувати АФХ лінійної частини Жл (усо) і заборонені зони для різних М = сопзі. Показник коливальності визначається величиною Мтієї забороненої зони, до якої дотикається характеристика Жл (усо), не заходячи всередину зони. Нелінійні властивості системи виявляються в розширенні та зміщенні заборонених зон для М- сопзі порівняно з лінійними системами за рахунок змінювання коефіцієнтів гармонічної лінеаризації у разі зміни амплітуди коливань на вході нелінійної ланки.

При використанні логарифмічних характеристик будуються заборонені зони для ЛФХ лінійної частини системи. Для цього спочатку будується ЛАХ лінійної частини системи Ья (со) і заборонена зона для бажаного показника коливальності Мв площині £/(со), У ^оо). Потім задають яке-небудь значення амплітуди А(со) і, користуючись межею забороненої зони в площині £/(со), уУ(со), визначають запас за фазою Аф, що відповідає амплітуді А{со). За амплітудою А(со) визначають логарифмічну амплітуду Дсо) = 20 І£Л(со) І ДЛЯ неї на графіку ф(со) відкладають значення запасу за фазою Аф. Послідовність побудови однієї точки забороненої зони для ЛФХ, що відповідає амплітуді А1, показано на рис. 9.1, а і б. Для забезпечення заданого показника коливальності ЛФХ не повинна заходити у заборонену зону.

Якщо нелінійна характеристика однозначна і непарно-симетрич- на, то побудова забороненої зони в комплексній і логарифмічній площинах істотно спрощується. Нехай при змінюванні амплітуди

коефіцієнт /сг(а) змінюється в межах від /сгп1іп(а) до /сг т а х (а). Тоді, для того щоб дістати заборонену зону, достатньо побудувати кола з

радіусами

і центрами в точках ([/, , у'О) і (£/2, у0), де

а потім провести загальні дотичні до цих кіл (рис. 9.1, в).

460

9.1.Оцінка якості нелінійних САК

повідає &гпіах, і проведеними до неї дотичними через початок координат (рис. 9.1, д).

Заборонені зони для ЛФХ, що відповідають розглянутим випадкам, наведено на рис. 9.1, г і е. Для цих нелінійностей максимальний запас за фазою Афтах не залежить від значення відносної амплітуди а

1 становить

тобто визначається лише показником коливальності.

Для побудови заборонених зон на логарифмічній площині для однозначних парно-симетричних нелінійностей зручно користуватися кривими, наведеним на рис. 9.2, що зображують залежність запасу за фазою Аф від модуля в децибелах для різних значень показника коливальності.

Розглянута методика оцінки якості дає змогу визначити показник коливальності нелінійної системи. Її доцільно використовувати при синтезі лінійних коректувальних пристроїв у нелінійних системах (див. п. 9.3). Більш повне уяв-

лення про динаміку нелінійної системи дає діаграма якості Є. П. Попова. Для пояснення її суті розглянемо коливальний перехідний процес, який у першому наближенні можна описати збіжною або розбіжною синусоїдами.

У лінійних системах збіжний коливальний перехідний процес описується рівнянням х = А0е~зіп со/1, де ± усо — пара комплекс- но-спряжених коренів, що визначають основну частину перехідного процесу. Для нелінійної системи, яка задовольняє умову фільтра, можна вважати, що сигнал на вході нелінійної ланки становить

461

причому показник затухання £ і частота со повільно змінюються з часом так, що

2л

к; = — \Р(А зіп ф, Лсо соз ср + А^ зіп ф) соз срс/ср.

71А

462

9.1.Оцінка якості нелінійних САК

Зостанніх виразів видно, що коефіцієнти гармонічної лінеаризації і передаточна функція нелінійної ланки

залежать від трьох невідомих параметрів А, со, Розглянемо нелінійну систему, структурну схему якої наведено

Оскільки припускається, що процес збіжний або розбіжний коливальний, то справедливою буде підстановка /? = £ + усо, причому і

со — не сталі величини, а функції, які повільно змінюються. В цьому разі комплексне характеристичне рівняння матиме вигляд

Д у ш , А ) = ( № + у с о ) + + У * + Д г ' ) = 0 . ( 9 . 1 9 )

У рівняння (9.19) входять три невідомі величини со і А (від А залежать коефіцієнти кг і к'г). Якщо прирівняти нулю дійсну і уявну частини рівняння (9.19), то дістанемо два рівняння, з яких знаходимо залежності = Е,(А) і со = со (А). Потім, використовуючи рівняння (9.14) за початкових умов і = 0, А = А0, ер = ср0, знаходимо

З виразу (9.20) визначаємо А(ї), а з виразу (9.21) після підстановки А{1) в со(Л) — ф(ґ). Отже, можна знайти змінну є = Д ^ з і п ф(/), яка визначає якість перехідного процесу.

Якість перехідних процесів можна оцінити без аналітичного роз- в'язування, якщо скористатися діаграмою якості Попова. Припустимо, що серед параметрів системи є один, що змінюється. Звичайно — це коефіцієнт підсилення розімкнутої системи К. Тоді рівняння (9.19) можна подати у вигляді

463

і, прирівнявши до нуля дійсну і уявну частини, отримати систему двох рівнянь:

А, К)=Ь

Розв'язавши систему рівнянь (9 22) відносно со і дістанемо

^ = МК,А)- ш = /2(К,А).

Прийнявши = сопзі і ш = сопзі, на площині параметрів К, Л побудуємо лінії однакових значень ш і £ (рис. 9.3, а і б), які називають

діаграмами якості.

При 2; = 0 затухання відсутнє. Це відповідає автоколиванням. Тому лінія £ = 0 розділяє діаграму якості на дві зони — із затухаючими (зона £, < 0) та розбіжними (зона > 0) коливаннями.

За діаграмою якості можна визначити умови виникнення автоколивань у системі та знайти їхні параметри. Наприклад, якщо змінюється параметр К = Кх < Км , то за будь-яких початкових умов за амплітудою (А = А0) автоколивання неможливі і перехідний процес затухає. Дійсно, за початкових умов А = А'{) або А - А{}' стан системи

Рис. 9.3

464

9.2. Загальні відомості про методи синтезу коректувальних пристроїв у нелінійних системах

теристикам з 0. Якщо коливання затухають, то точка, що визначає стан системи, переміщується в зоні характеристик £ < 0 і амплітуда зменшується до А = 0. Частота при цьому відповідно до рис. 9.3, б змінюється від початкової со0 до со2 < а х с о 3 . Якщо ж змінюється параметр К = К2 > Км , то за початкового значення амплітуди А'{) коливання затухають, а при А'{)' — стають розбіжними, тобто в обох випадках точка, що визначає стан системи, потрапляє в точку Ь на характеристиці £ = 0 і в системі встановлюються автоколивання з амплітудою А„. Частота автоколивань визначається за діаграмою, наведеною на рис. 9.3, б і становить со4.

Точно визначити показники якості можна розрахувавши перехідні процеси для різних вхідних і збурюючих дій. Ці розрахунки виконуються на ЕОМ, причому істотне значення має спосіб введення в

ЕОМ інформації стосовно нелінійності.

Нелінійні характеристики можна задавати трьома способами: аналітичним, графічним і табличним.

Якщо нелінійність задано аналітично, то в робочу частину програми безпосередньо вводиться аналітична залежність, що апроксимує нелінійність. При графічному або табличному способах в ЕОМ вводиться таблиця дискретних значень нелінійної залежності, а проміжні значення обчислюються за допомогою різних методів інтерполяції.

9.2

Загальні відомості про методи синтезу коректувальних пристроїв у нелінійних системах

Узагальному розумінні синтез — це процес розробки САК, у ході якого за заданими показниками якості визначають оптимальний варіант структури системи та пара-

метри її ланок. Синтез у такій загальній постановці є досить складною задачею і може мати багато розв'язків.

Синтез нелінійних систем автоматичного керування електроприводами здебільшого не має такого загального характеру. Звичайно, частина елементів електропривода (електродвигун, перетворювач та інші елементи силового кола) визначається вимогами до виробничо-

465

го механізму (потрібна потужність, момент, швидкість тощо) і становить незмінювану частину системи. Синтез у цьому разі зводиться до розрахунку параметрів коректувальних пристроїв (змінюваної частини системи), які додатково вводяться в систему для забезпечення потрібних показників якості.

Корекція нелінійних систем має свої особливості порівняно з корекцією лінійних систем. Зокрема характер перехідних процесів нелінійних систем визначається не тільки їх структурою і параметрами, а й початковими умовами, а також місцем прикладання, величиною і формою зовнішніх дій. Прийнятними для роботи в реальних умовах є два стани нелінійних систем: статичний усталений режим і автоколивання.

Під час корекції нелінійних систем часто виникає задача підвищення частоти і зниження амплітуди автоколивань або повного їх усунення. Цю задачу в деяких випадках можна розв'язати за допомогою зміни параметрів лінійної частини (див. гл. 8, п. 8.10), а також за рахунок введення лінійних коректувальних пристроїв, що змінюють у бажаному напрямку передаточну функцію лінійної частини системи.

Коректувальні пристрої в нелінійних системах можуть бути лінійними або нелінійними. Визначення виду, місця введення в систему і параметрів коректувального пристрою становить задачу синтезу.

Можливості нелінійної корекції набагато більші, ніж лінійної, бо самі лінійні системи є окремим випадком нелінійних. Одним з найбільш очевидних випадків, коли доцільно застосовувати нелінійні коректувальні ланки, є компенсація небажаних нелінійностей. Справді, в багатьох нелінійних системах можуть бути такі нелінійності, як зони нечутливості, обмеження, сухе тертя тощо. Ці нелінійності часто роблять неможливим забезпечення потрібних показників якості системи, тому виникає необхідність компенсувати їх спеціально підібраними нелінійностями.

Іншим способом усунення негативного впливу нелінійностей є так звана вібраційна лінеаризація. Її суть полягає у згладжуванні нелінійностей за допомогою високочастотного сигналу.

Можливості нелінійної корекції далеко не вичерпуються компенсацією небажаних нелінійностей. У багатьох випадках нелінійну корекцію застосовують для того, щоб дістати потрібні нелінійні закони регулювання, що значно розширює її вплив на динаміку системи.

466

9.3.Синтез лінійних коректувальних пристроїв

унелінійних системах методом ЛАХ

Є.П. Попов надав таку класифікацію нелінійних законів регулювання: функціональні, логічні, оптимізуючі, параметричні.

• Функціональним нелінійним називається закон регулювання, за якого регулювальна дія на об'єкт має вигляд нелінійної функції від відхилення регульованої величини. Нелінійне формування функціонального закону регулювання може бути пов'язане не тільки зі зміною параметрів системи, а й зі зміною структури.

• Логічні нелінійні закони реалізуються не ф у н к ц і о н а л ь н и м и п р и -

строями, а відносно складними, логічними, які функціонують згідно із закладеним у них критерієм.

• Оптимізуючі нелінійні закони п р и з н а ч е н і д л я з а б е з п е ч е н н я

оптимальних процесів регулювання. Методи оптимізації систем передбачають, як правило, застосування нелінійних законів керування.

• Параметричні нелінійні закони регулювання є н е л і н і й н и м и

функціями деяких координат, в яких задається параметрична програма.

Зараз розробляються і широко застосовуються в інженерній практиці різні методи синтезу, з допомогою яких розв'язуються окремі, хоч і досить поширені задачі синтезу коректувальних пристроїв нелінійних систем.

Це — методи компенсації нелінійностей, лінеаризація нелінійних систем високочастотним сигналом, застосування лінійних і нелінійних коректувальних пристроїв для забезпечення потрібних показників якості та ін. Далі розглядатимемо методи синтезу, що найчастіше застосовуються у проектуванні систем керування електроприводами.

9.3

Синтез лінійних коректувальних пристроїв у нелінійних системах методом ЛАХ

Найдоцільніше використовувати ЛАХ при синтезі лінійних коректувальних пристроїв у нелінійних системах, якщо внаслідок корекції необхідно забезпечити затухаю-

чий перехідний процес із заданим показником коливальності. Най-

467

простіше задача синтезу розв'язується в системах з мінімально-фазо- вими лінійними ланками і однозначними статичними нелінійностями. При цьому слід враховувати, що у разі використання лінійних коректувальних пристроїв забезпечення певного значення показника коливальності Мабо необхідного запасу за фазою Дер буде можливим лише для нелінійностей, в яких нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації змінюється в межах 0 < кг{а) < кгтіп (а). До таких належать нелінійності, що мають характеристики із зоною нечутливості (див. рис. 8.1, а), зоною насичення (див. рис. 8.1, б), релейну характеристику із зоною нечутливості (див. рис. 8.1, д) і деякі інші. Якщо нелінійність у системі така, що нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації змінюється в межах кгт[п (а) < кг(а) < або 0 < /сг(а) < сю, то за рахунок лінійної корекції не можна дістати затухаючий перехідний процес. Так, якщо в замкнутому контурі нелінійної ситеми є ланка з ідеальною релейною характеристикою, для якої 0 < кг (а) < ©о, то в системі вище другого порядку завжди встановлюються автоколивання.

Порядок синтезу лінійних коректувальних ланок у нелінійних системах зберігається таким самим, як і в лінійних, хоча нелінійні ланки зумовлюють деякі особливості побудови логарифмічних характеристик.

Перш ніж будувати характеристики, виконується гармонічна лінеаризація нелінійної ланки. При цьому слід скористатися приведеними нормованими коефіцієнтами гармонічної лінеаризації, тобто коефіцієнти гармонічної лінеаризації слід подати у вигляді

кг(а) = кикгл(а),

де кп = соп5і — коефіцієнт передачі нелінійної ланки, що визначається за формулами, наведеними в п. 9.1 для різних видів нелінійних характеристик; кгп(а)— приведений нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації.

Коефіцієнт кн при побудові ЛАХ відносять до лінійної частини системи і передаточну функцію розімкнутої системи записують так:

Щр а) = кикгл (ос)Жл (р) = кгл ( а ) ^ л п (р),

де 1¥л п (р) — передаточна функція приведеної лінійної частини.

Приведення коефіцієнта гармонічної лінеаризації здійснюється за умови кгп т а х (а) = 1. В цьому разі значно спрощується побудова забороненої зони для ЛФХ при синтезі коректувальної ланки.

468

9.3.Синтез лінійних коректувальних пристроїв

унелінійних системах методом ЛАХ

Синтез лінійної коректувальної ланки виконується в такій послідовності.

1. Будується асимптотична ЛАХ приведеної лінійної частини вихідної системи за передаточною функцією \¥ПЛЛ (р) = кн\¥л (р).

2. Будується бажана ЛАХ приведеної лінійної частини згідно з рекомендаціями теорії лінійних систем. При бажанні можна вибрати типові ЛАХ 3 або 4 з табл. 6.2. ЛАХ 5 і 8, що відповідають системам з астатизмом другого порядку, вибирати не рекомендується. Справді, якщо нелінійна характеристика така, що 0 < кг(а) < то заборонена юна для ЛФХ має вигляд, зображений на рис. 9.1, е. В той самий час фазова характеристика астатичних систем другого порядку при зменшуванні частоти наближується до ф = —тс, тому не можна забезпечити потрібний запас за фазою за будь-яких значень показника коливальності М < °о.

З теорії лінійних систем відомо, що достатній запас за фазою забезпечується в разі, якщо нахил бажаної ЛАХ на частоті зрізу становитиме -20 дБ/дек і довжина середньочастотної частини ЛАХ А дорівнюватиме со3/со2 ~ 10. Збільшення довжини А, = а)2/со, частини ЛАХ з нахилом -40 дБ/дек, що міститься ліворуч від частоти зрізу, зменшує запас за фазою. Тому на величину //1 накладаються обмеження.

При виборі значень А і А, рекомендується користуватися А, А, (М)- кривими залежності А і А, від показника коливальності. Для типових ЛАХ 3 і 4 (див. гл. 6, табл. 6.2) це криві 3 і 4, наведені на рис. 9.4.

469