Teoriya avtomatichnogo keruvannya

сія та середній квадрат(Ох = (х2 )сер = Кх(0) —» оо)і? отже, нескінченно велика потужність.

Щоб отримати фізично реальний процес, розглянемо поняття білого шуму з обмеженою спектральною щільністю

=N при |ш |< шс;

=0 при | со |> шс,

де сос — смуга частот для спектральної щільності. Кореляційна функ-

ція такого процесу

N

ят- 81П С О Д .

При розрахунку слідкувальних систем із випадковим вхідним сигналом часто вважають, що вхідний сигнал (кутова швидкість задавальної осі) змінюється згідно з графіком (рис. 7.5), який вважається типовим. Швидкість зберігає стале значення протягом деяких інтервалів часу та стрибкоподібно переходить від одного значення швид-

де [і — середня кількість змін швидкості упродовж однієї секунди. Спектральна щільність

^(О)): 2 цД2 \і2 + О)2

Формулу спектральної щільності записано для кутової швидкості. Це дає змогу застосовувати цей вираз для обчислення динамічної похибки слідкувальної системи.

380

7 . 4 . Проходження стаціонарного

~~випадкового сигналу через лінійну САК

7.4

ли и» перехідного процесу втрачають сенс.

Розглянемо лінійну систему з вихідним сигналом х(/), до якої прикладено вхідну дію §(ї). Якщо £ ( / ) є випадковою функцією, то й вихідний сигнал х(/), і похибка є(/) = §(ї) - х(/)також будуть випадковими функціями. Якість роботи динамічної системи у разі випадкових дій звичайно оцінюється середньоквадратичним відхиленням

іибто середньоквадратичне відхилення визначається кореляційною функцією або спектральною щільністю похибки є(/). Проте звичайно

« н'ми з частотною характеристикою И^(усо). У цьому разі взаємна - іпч< гральна щільність вихідної та вхідної величин дорівнює добутку « пгктральної щільності вхідної величини й частотної характеристики і метем и

3 81

а спектральна щільність вихідної величини — добутку квадрата мо дуля частотної характеристики системи та спектральної щільності вхідної дії

Знаючи спектральні щільності, за формулами (7.22) або (7.24) визначаємо кореляційні функції ЛЛ-я(т)і Ях(т).

Як приклад розглянемо реакцію динамічної системи на вхідну дію £(/)типу білого шуму, спектральна щільність якого ^ (ш)= 1. Згідно з виразом (7.29) дістаємо

^ ( с о ) = ЩМ і, використовуючи (7.26), знаходимо

Отже, якщо на лінійну систему діє сигнал типу білого шуму, то взаємна спектральна щільність вихідної і вхідної величин дорівнює частотній характеристиці системи, а взаємна кореляційна функція — імпульсній перехідній характеристиці.

Часто розглядається випадковий процес, який не має постійної складової (центрований). Для такого процесу тх = 0 і

або, з урахуванням (7.30),

Ця формула є основою для дослідження випадкових процесів у САК. При її використанні доводиться мати справу з підінтегральним виразом

\ С Щ

де С(ую) і В{]ш) — поліноми від комплексної змінної усо.

382

7.5.Розрахунок точності САК

за середньоквадратичною похибкою

Вважатимемо, що найвищий ступінь знаменника дорівнює п. Томі н реальній системі найвищий ступінь чисельника буде не вищий за а І Для зручності інтегрування вираз (7.32) подають у вигляді

С(М = ( » " - 1 + с, ( » " - 2 + ... + с„_1.

()гже, обчислення дисперсії за формулою (7.31) можна звести до ті шачення інтеграла

:С(Уш)С(-усо)

"2пІВ(МВ(-М

Інтеграли такого вигляду обчислено і подано в літературі з теорії ііміоматичного керування.

7.5

Розрахунок точності САК за середньоквадратичною похибкою

Якщо на вхід САК (рис. 7.6, сі) надходить випадковий стаціонарний вхідний сигнал, то середньо- і п.ілратичне значення похибки згідно з виразами (7.28) і (7.30) ви-

минається за формулою

ЇМ И по похибки.

383

Вираз (7.33) надає можливість визначити середній квадрат по хибки системи за відомою спектральною щільністю вхідного сигналу.

•Приклад 7.3. Передаточна функція розімкнутої слідкувальної системи

Щр) = К р(Тр+ 1)'

На вхід системи надходить стаціонарний випадковий сигнал &(/), спектральна щільність якого

\х- + со

Треба визначити середиьоквадратичну похибку.

Р о з в ' я з а н н я . Записуємо передаточну функцію системи відносно похибки:

Середиьоквадратичиа похибка обчислюється за формулою

Запишемо підінтегральмий вираз у вигляді

384

7.5.Розрахунок точності САК

за середньоквадратичною похибкою

де

С( » = С0 (»2 + с, (усо) +

=4 ( » 3 + А О ) 2 + Vе 0 +

с0 = Т\ сх = 1; с> = 0; 4 = Г; = 7ц + 1; Ь2 = \і + К\ ^ = АГц.

Запишемо вираз для середиьоквадратичної похибки

Інтеграл /3 є табличним:

Підставивши значення коефіцієнтів, дістанемо

І= 1+Г01 +ЛГ)

2(7]г + ц + А')

7]и + |іі + К

Розглянемо випадок, коли на вхід слідкувальної системи надхо-

Структурну схему САК для цього випадку показано на рис. 7.6, б. Середньоквадратична похибка

у цьому разі є сумою двох складових. Перша з них зумовлена неточним відтворенням вхідного сигналу, а друга — перешкодою.

Призначенням слідкувальної системи є відтворення вхідного

системи становить відхилення дійсного значення вихідної величини під бажаного:

г(ґ) = х о ( 0 - 4 0 -

Структурну схему, з якої видно, як створюється відхилення, ІІО казано на рис. 7.7, а, де

ІГ3(р)-

Щр)

1 + IV (р)

Перетворимо цю структурну схему до вигляду, зображеного н;і рис. 7.7, б, в. За структурною схемою на рис. 7.7, в запишемо передаточну функцію відносно похибки, що утворюється перешкодою,

Щр)

1 + \У{р)

і відносно корисного сигналу

1 -

IVя {р)=\- ]¥л{р) ••

1 + ИУ(р)'

Якщо вхідний сигнал і перешкода некорельовані, то середню квадратична похибка, згідно з (7.31) і (7.34), обчислюється за формулою

в

Рис. 7.7

386

7.6. Синтез лінійних САК за мінімумом середньоквадратичної похибки

х ( д о ) + Ж , ( д о ) ^ ( ш ) ^ ( - » + ( Д о ) | 2 5Н(со)Ж>,

і' V д/ (со), Л'д^ (ш) — взаємні спектральні щільності корисного сигналу 1.1 перешкоди.

7.6

Синтез лінійних САК за мінімумом середньоквадратичної похибки

Задача синтезу систем, що працюють при випадкових діях, звичайно розв'язується за критерієм

мінімуму середньоквадратичної похибки.

У найпростішому випадку структурна схема та частина її парами і рів вважаються заданими, а характеристики зовнішніх дій — відочпмп. Задача полягає у визначенні невідомих параметрів, які забезпечують мінімум середньоквадратичної похибки.

Для розв'язання задачі знаходимо передусім аналітичний вираз

• • редньоквадратичної похибки А/{є2(/)}, використовуючи, наприк- і.і'і. іабличні інтеграли /„. В результаті дістаємо середній квадрат попики як функцію невідомих параметрів

М{г2(()} = / ( а , (3, у , . . . )•

11 м> функцію необхідно дослідити на мінімум у просторі невідомих ікір.іметрів і визначити параметри а,р,у,..., які забезпечують мінімум функції/

( кладніше визначити передаточну функцію замкнутої системи

II„(р), яка забезпечує мінімум середньоквадратичної похибки. Цю

мі і -1 у розв'язав Н. Вінер за таких умов:

387

•обидва сигнали є випадковими процесами з відомими ймовір пісними характеристиками;

•шукана оптимальна система є лінійною;

•критерій якості — мінімум середньоквадратичної похибки.

Розв'язок цієї задачі дає такий вираз комплексної передаточної функції замкнутої системи:

ральна щільність бажаного значення вихідного х0(/) і вхідного т{1) сигналів.

Функцію 5(усо) можна визначити й без інтегрування. Запишемо розклад виразу ^ЛГ()/7І(со)/\|/(—уоо) на прості дроби:

півплощині комплексної площини коренів, тобто мають додатну уявну частину; ( - а , ) — полюси ^. „Дсо), що лежать у нижній півплощині; у, — нулі функції 1|/(—усо). Ці нулі містяться у нижній півплощині, оскільки нулі, розміщені у верхній півплощині, належать функції \|/(усо).

388

Контрольні запитання та завдання

Із записаного розкладу візьмемо тільки ту суму, яка містить поноси у верхній півплощині. Це й буде 5(у'оо), тобто

В(М= XІ<0- л,

Знаменник функції И^Дуо)) можна знайти за спектральною щільністю

Теоретичний мінімум середньоквадратичної похибки при реа- і нації бажаної передаточної функції замкнутої системи

Контрольні запитання та завдання

389