Teoriya avtomatichnogo keruvannya

4. Перевіряються результати синтезу. Для цього будується ЛФХ скорегованої системи і заборонена зона, що відповідає бажаному показнику коливальності М ЛФХ скорегованої системи не повинна заходити в заборонену зону.

•Приклад 9.1. Виконати синтез послідовної коректувальної ланки і визначити коефіцієнт підсилення підсилювача слід кувальної системи, структурну схему якої подано на рис. 9.5, а. У системі є інерційний підсилювач зі сталою часу Тп = 0,01 с і нелінійною статичною характе-

ристикою з насиченням. Параметри характеристики: с= 0,5 рад; Ь = = 100 В. Підсилювач на структурній схемі подано у вигляді безінерційної нелінійної лапки ер (є) і аперіодичної ланки з передаточною функ-

з такими параметрами: кд = 0,15 1 /В • с; Гм = 0,1 с.

Вимоги до скорегованої системи: усталена похибка за відсутності моменту навантаження має не перевищувати єтах = 0,002 рад за максимальної швидкості змінювання задаючої дії с!іїах/сІІ = 0,2 1/с і прискоренні сІ2ОЇІХ/с!і2 = 0,1 1/с2. Показник коливальності має не перевищувати 1,5.

Р о з в ' я з а н н я . Спочатку визначимо коефіцієнт передачі розімкнутої системи, що забезпечує потрібну точність роботи в усталеному режимі:

Оскільки

де/сн — коефіцієнт передачі нелінійної ланки на лінійній частині характеристики

то потрібний коефіцієнт підсилення підсилювача

470

Побудуємо тепер ЛАХ приведеної лінійної частини вихідної системи. Попередньо запишемо передаточну функцію розімкнутої системи, яка після гармонічної лінеаризації матиме вигляд

Ж ( А а) = К(Р)КЛсс), де №п(р)— передаточна функція приведеної лінійної частини системи

кгп(ос)— приведений нормований коефіцієнт гармонічної лінеаризації. Для нелінійної ланки з насиченням згідно з (9.2)

1 л / ^ Т *г.п(а) = ~ агсзіп т—

п

ЛАХ вихідної системи Цтх(и>) будуємо за передаточною функцією (9.23). Низькочастотна частина ЛАХ проходить з нахилом -20 дБ/дек через точку з координатами Доз) = 20 К = 2 0 1 0 0 = 40 дБ; 1§ со = 0. Знаходимо частоти сполуки асимптот

На кожній частоті сполуки нахил ЛАХ змінюється на -20 дБ/дек. Побудовану за наведеними даними ЛАХ вихідної системи Д}ИХ(сю) зо-

гл. 6, табл. 6.2). Для спрощення коректувальної ланки прагнутимемо суміщати 4 ( ш ) і 4их(ю) там, де це можливо. Високочастотну частину /^(со) закінчимо ділянкою з нахилом -60 дБ/дек, сумістивши її з високочастотною частиною Дих(со). Ця частина ЛАХ міститься в зоні від'ємних децибелів (Дсо5) = -20 дБ) і практично не впливає на якість перехідного процесу. Для вибору довжини Н середньочастотної частини ЛАХ з нахилом -20 дБ/дек і \ з нахилом -40 дБ/дек використаємо криві //, \ (див. рис. 9.4). Для одного з можливих варіантів корекції

можна прийняти И = ^ / щ = 10 і /г, = со2/а), = 5 при частотах сполуки со4 = 50 с_|, со2 = оо4/10 = 5 с ч , ш, = ш2/5 = 1 с_|. Згідно з кривими /?, Н{ при И = 10 показник коливальності Мдорівнює 1,2, а при И{ = 5 за кри-

вою 4 — 1,5. Отже, бажаній ЛАХ 4(оо) відповідає показник коливальності 1,2 < М< 1,5, тобто вимоги до скорегованої системи задовольняються.

471

НЕ

а

Ц<а)

н - < > >

Я,

б

Рис. 9.5

472

9.3.Синтез лінійних коректувальних пристроїв

унелінійних системах методом ЛАХ

мок (див. гл. 6, табл. 6.1) визначаємо передаточну функцію коректувальної ланки

( 7 > + 1)(7> + 1)

де 7] = 1 /С0| = 1 с; Т2 = 1 /со2 = 0,2 с; Т3 = 1 /со3 = 0,1 с; Т4 = 1 /ш4 = 0,02 с. Передаточну функцію (9.24) можна реалізувати на операційному

підсилювачі ОА1 (рис. 9.5, а).

Згідно з (6.31) передаточна функція операційного підсилювача

К0АІ{р) = -22(р)/2х(р).

Коефіцієнт підсилення операційного підсилювача ИА2 дорівнює одиниці (Д5 = Яв). Він призначений тільки для зміни полярності вхідної напруги. Тому передаточна функція коректувальної ланки записується у вигляді

але оскільки

Я,(Я1 22С,р1 + 1)

(ЛІ + Л 2 ) С І р + Г

Я3(Я4С2р+\)

(Я3 + Я4)С2р + г

то

Порівнявши вирази (9.24) і (9.25), дістанемо такі співвідношення для обчислення параметрів схеми:

Тх = (Д3 + Д4)С2; Т2 = Я4С2; Г 3 = ( Л І + Я2)СІ; Т4 = Я2С{.

Крім того, оскільки при оо = 0 і о) = оо коефіцієнт передачі коректувальної ланки має дорівнювати одиниці, що випливає з вигляду 4(со), слід прийняти Я, = Яу

Вибираємо С| = 1 мкФ, тоді

Я2 = Т4/С, = 0,02/10'6 = 2 • 104 Ом = 20 кОм;

Я{ = Г3/С, - Л2 = 0,1 /10 6 - 2 • 104 = 8 .104 Ом = 80 кОм;

К3 = Я{= 80 кОм;

473

я4 = г2/с2 = 0,2/10~5 = 2 .104 Ом = 20 кОм.

Для перевірки результатів синтезу побудуємо ЛФХ приведеної лінійної частини Ф п б ( ш ) скорегованої системи і заборонену зону для неї, що відповідає показнику коливальності А/ = 1,5.

Передаточна функція приведеної лінійної частини скорегованої системи за умови, що Г3 = Тм матиме вигляд

К(Т2р+ 1) р(Тпр+\){ТіР+\)(Т<р+\)

Фазова характеристика Фп б(ш) (рис. 9.5, б) визначається за форму-

лою

Фпб(со) = -90° - агсІ§ Тпо) - агсі§ Тхсо - агсІ§ Г4о) + агсі£ Т2ш.

Для побудови забороненої зони знаходимо Афтах за формулою (9.12):

• 1 ' 1

Фтах = агсзіп — = агсзіп — = 42 ,

а криволінійну ділянку межі забороненої зони будуємо за допомогою графіків, наведених на рис. 9.2.

Взаємне розташування характеристики Ф п б ( с о ) і забороненої зони (лінія зі штриховкою) свідчить, що корекція в системі забезпечує збіжний перехідний процес, якість якого відповідає показнику коливальності М = 1,5.

9.4

Корекція релейних систем за рахунок утворення ковзних режимів

Усистемах з двопозиційними реальними релейними елементами єдино можливим усталеним незбуреним режимом є режим автоколивань. Точність таких систем в

усталеному режимі визначається відхиленням середнього значення вихідної величини при змінюванні збурення і амплітудою автоколивань відносно цього середнього значення.

474

9.4. Корекція релейних систем за рахунок утворення ковзних режимів

Залежність амплітуди автоколивань від їх частоти визначається амплітудною частотною характеристикою безперервної частини сисіеми, яка звичайно має обмежену смугу пропускання, тобто є фільтром нижніх частот. Тому за рахунок підвищення частоти автоколивань можна істотно зменшити їх амплітуду і, отже, підвищити точність роботи релейної системи.

Одним із способів підвищення частоти автоколивань є створення гак званого ковзного режиму. Для пояснення його суті розглянемо систему, структурну схему якої наведено на рис. 9.6, а. Спочатку розглянемо систему без урахування гнучкого зворотного зв'язку к3]і3р. Вільний рух системи при £(ї)= 0 описується рівняннями

Виключивши проміжні змінні, дістанемо

Побудуємо фазовий портрет системи, використовуючи методику, иикладену в гл. 8, п. 8.4. Прийнявши у = сіх/сії, рівняння (9.27) подамо у вигляді двох рівнянь:

Рис. 9.6

475

а потім у вигляді одного диференціального рівняння фазових траєкторій

сіх

Розв'язок цього рівняння, тобто вигляд фазових траєкторій, залежить від типу нелінійності ф(є). Спочатку вважатимемо, що характеристика нелінійного елемента має вигляд, зображений на рис. 9.6, б, тобто функція ф(є) може набувати тільки двох значень: ф(є) = Ь при є > 0 і ф(є) = -Ь при 8 < 0. На фазовій площині буде лінія перемикання, рівняння якої х = 0. Оскільки х = -є, то ліворуч від лінії перемикання розв'язок рівняння фазових траєкторій буде розв'язком рівняння

(9.30)

СІХ

а праворуч

Розв'язавши рівняння (9.30) і (9.31), дістанемо рівняння фазових траєкторій:

ліворуч від лінії перемикання

де С,, С2 — сталі інтегрування, що визначаються початковими умовами. Задавши початкові умови х0,у0, дістанемо

Фазові траєкторії, побудовані за рівняннями (9.32) і (9.33), зображено на рис. 9.7, а. Лінію перемикання позначено штриховкою.

Фазовий портрет системи на рис. 9.7, а відповідає затухаючому перехідному процесу і стійкій у цілому системі. Теоретично в такій

476

9.4. Корекція релейних систем за рахунок утворення ковзних режимів

У>

системі в стані, що відповідає початку координат фазової площини, мають існувати автоколивання нескінченно малої амплітуди з нескінченно великою частотою.

Розглянемо, як зміниться фазовий портрет системи, якщо охопити її гнучким від'ємним зворотним зв'язком з передаточною функцією к3й3р (див. рис. 9.6, а). У цьому разі перше рівняння системи (9.26) матиме вигляд

Оскільки ф(є) = -ф(х + кЗІІЗу), як і у попередньому випадку, може набувати тільки двох значень +Ь і -Ь, то рівняння фазових траєкторій

(9.32) і (9.33) не змінюються. Змінюється тільки лінія перемикання. Справді, перемикання відбувається при є = -х - кзазу = 0, тому рівняння лінії перемикання

(9.35)

477

Розглянемо рух зображуючої точки по фазовій траєкторії з початкового стану, що визначається точкою М0 (рис. 9.7, б), тобто за початкових умов х() ф 0, у() = 0. Початкова точка М0 міститься ліворуч від лінії перемикання, тому рухатиметься по траєкторії, що визначається рівнянням (9.32), до перетину з лінією перемикання в точці А/,. У цій точці реле перемикається, причому координата х зберігає попередній знак, а знак сигналу на вході релейного елемента змінюється за рахунок дії гнучкого зворотного зв'язку кзазр. Від точки Мх до точки М2 фазова траєкторія визначається рівнянням (9.33), а від точки М2 до А/3 — рівнянням (9.32).

Нахил лінії перемикання залежить від величини кзаз. За досить великого значення к31і3 може виявитися, що лінія перемикання буде близькою до ділянки фазової траєкторії між точками М3 і МА. У точці МА реле перемикається, після чого зображуюча точка повинна переміщуватися по траєкторії, що визначається рівнянням (9.32), але це спричинює збільшення результуючого сигналу на вході релейного елемента та його нове перемикання і т. д. Отже, зображуюча точка, досягнувши точки М4, безперервно переходить з траєкторії, що визначається рівнянням (9.32), на траєкторію, що визначається рівнянням (9.33), і назад, неначе ковзаючи вздовж лінії перемикання й асимптотично наближуючись до точки рівноваги, що є початком координат фазової площини. Тому режим, що виникає після точки М4, називається ковзним.

Ковзний режим можливий на ділянці, де фазові траєкторії, що визначаються рівнянням (9.33), проходять нижче лінії перемикання. Початок цієї ділянки — це точка, в якій дотична до фазової траєкторії (9.33) збігається з лінією перемикання. Аналогічна ділянка є в четвертому квадранті при х > 0. Її початок — точка, в якій дотична до фазової траєкторії, що визначається рівнянням (9.32), збігається з лінією перемикання.

Знайдемо координати точок, що визначають кінці ділянки, на якій виникає ковзний режим. Для цього з (9.35) обчислимо похідну

сіу/сіх = -\/кзв.з

і підставимо її в (9.34), прийнявши ср(х + кЗІІЗу) = -Ь для фазової траєкторії праворуч від лінії перемикання і ср(х + кзазу) = Ь — ліворуч.

Тоді дістанемо

/с

478

9.4. Корекція релейних систем за рахунок утворення ковзних режимів

шідки знайдемо шукані координати

. кк^ЬТ

к - Т

(9.36)

=ткк11ьт

^ зв.з ~ Т

У цих рівняннях верхній знак визначає координати лівого кінця ділянки ковзного режиму, нижній — координати правого кінця. Для лівого> т -кінця у > 0, тому ковзний режим можливий лише за умови

З порівняння фазових траєкторій, зображених на рис. 9.7, а і б, випливає, що введення гнучкого коректувального зворотного зв'язку істотно впливає на характер перехідного процесу. Коливальність перехідного процесу зменшується, причому кількість коливань стає скінченною, оскільки на лінії перемикання з'являється ділянка ковзного режиму. Зображуюча точка, потрапивши на цю ділянку, рухається до початку координат по траєкторії у = -1 /кзазх, якій відповідає аперіодичний перехідний процес

Отже, спочатку коливальний перехідний процес закінчується аперіодичною ділянкою. Можливий перехідний процес і без коливань, якщо початкові умови такі, що при першому ж перетинанні з лінією перемикання фазова траєкторія потрапляє на ділянку ковзного режиму.

Зрівняння (9.37) видно, що на ділянці ковзного режиму в системі

зідеальним релейним елементом координати змінюються за лінійними законами і нелінійну систему можна наближено вважати лінійною системою першого порядку.

Розглянемо тепер систему з реальним релейним елементом, характеристику якого зображено на рис. 9.6, в. Функція ср(є)і в цьому разі може набувати тільки двох значень +Ь і -Ь, тому рівняння фазових траєкторій залишаються попередніми — (9.32) і (9.33), а змінюються лише рівняння ліній перемикання. Вони матимуть вигляд х = с при у > 0; х = -с при у < 0.

Фазовий портрет системи без коректувального зворотного зв'язку зображено на рис. 9.8, а. На цьому портреті є стійкий граничний цикл, тобто усталеним режимом системи є режим автоколивань.

479