Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Глава НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНОГО

КЕРУВАННЯ

8.1

Загальні відомості

Нелінійними називаються САК, математичне описання яких не задовольняє умови лінійності. Полягають ці умови у тому, що при зміні зовнішньої дії на ланку або сис-

тему в а разів характер перехідного процесу не змінюється, а змінюється лише масштаб вихідної величини в а разів. Крім того, реакція ланки або системи на декілька одночасно прикладених дій дорівнює сумі реакцій на кожну з цих дій, прикладених окремо. Якщо САК містить хоча б одну нелінійну ланку, то в цілому вона є нелінійною.

Нелінійні ланки описуються нелінійними рівняннями. Ознакою нелінійних рівнянь є залежність коефіцієнтів рівнянь від координат системи або їхніх похідних, а також наявність у рівняннях добутків деяких координат чи їхніх похідних.

Усі реальні системи автоматичного керування електроприводами нелінійні. Пояснюється це тим, що основним елементом електропривода є електрична машина, яка містить кола з феромагнітними матеріалами. Рівняння, що описують динамічні процеси в електричній машині, нелінійні, бо індуктивність є функцією струму, ЕРС внаслідок насичення магнітної системи нелінійно залежить від струму збудження, опір обмоток якоря та збудження залежить від температури тощо. Крім того, в електроприводах використовуються підсилювачі з насиченням, елементи механічних передач із люфтами і сухим тертям та інші нелінійні елементи.

Теорію лінійних САК можна застосовувати для аналізу та синтезу реальних систем електропривода лише за досить малих відхилень від режиму, що досліджується. В цьому разі реальна нелінійна система лінеаризується методами, викладеними в гл. 2. Проте існує значна кількість САК, у яких нелінійні ланки застосовуються з метою забез-

390

8.2.Типові нелінійності

игчеиня таких властивостей, що неможливо досягти в лінійних сисігмах. До таких ланок належать релейні елементи і логічні перемикаючі пристрої, які дають змогу змінювати структуру САК залежно від деяких її координат, ланки із зоною нечутливості, підсилювачі з найменням, що забезпечують обмеження координат, тощо.

Задачі аналізу та синтезу нелінійних САК набагато складніші за аналогічні задачі для лінійних систем. Це пояснюється великою різноманітністю та складністю динамічних процесів у нелінійних сисіемах. Стійкість нелінійних систем на відміну від лінійних залежить під величини та місця прикладання зовнішньої дії, характер перехідною процесу змінюється при змінюванні величини зовнішньої дії, в нелінійних системах спостерігаються режими, які не існують в лінійних системах, зокрема режим автоколивань. Усе це потребує застоеуиання спеціальних точних і наближених методів аналізу та синтезу нелінійних систем.

8.2

Типові нелінійності

Нелінійні ланки САК дуже різноманітні. Нелінійні характеристики деяких із них за обмеженого діа- п.пону зміни вхідного сигналу майже не відрізняються від лінійних.

І акі нелінійності називають слабкими, або несуттєвими. Після лінеаризації цих нелінійностей САК зводять до лінійних і для їх до- ' ІІ/ІЖЄННЯ використовують методи теорії лінійних САК. Проте є не- І і І І і 1111 і елементи, характеристики яких не можна замінити лінійними Вони надають САК якісно нових властивостей і, як правило, пі і псуються розривними або близькими до них функціями. Такі не- •п цінності називають суттєвими.

Характеристики суттєво нелінійних елементів часто ідеалізують, і пі) і о реальну нелінійну характеристику замінюють кількома лінійними ділянками, кожна з яких описується своїм рівнянням. У точках переходу від однієї ділянки до іншої спостерігається розрив похідної, і пі > і о похідна має різні значення при підході до точки розриву зліва і < прана. Якщо ідеалізувати суттєво нелінійні характеристики, то їх іпжпа шести до обмеженої кількості типових. Розглянемо найпоши- |и 11 і 111 і а них. При цьому вважатимемо, що нелінійності безінерційні,

391

тобто не створюють суттєвого запізнення. Такі нелінійності описуються звичайними функціональними залежностями між вхідною і вихідною змінними, які називаються статичними характеристиками безінерційних нелінійних ланок. У запільному випадку вони мають вигляд

и= ф(є),

де и, є — вихідна і вхідна змінні; ер — нелінійна функція.

Характеристика із зоною нечутливості. Такі характеристики (рис. 8.1, а) мають елементи, в яких вихідний сигнал відсутній при змінюванні вхідного сигналу в деякому інтервалі, звичайно праворуч і ліворуч від нуля. Цей інтервал називається зоною нечутли-

вості.

Характеристика на рис. 8.1, а кусково-лінійна. Математично кожна лінійна ділянка описується окремо

де к = І £ а .

Зона нечутливості для цієї характеристики становить 2с. Рівняннями характеристики із зоною нечутливості можна описа-

ти залежність швидкості со двигуна постійного струму з незалежним збудженням від напруги на якорі IIя за умови, що до вала двигуна прикладено реактивний момент статичного навантаження М с . Зона нечутливості зумовлена тим, що швидкість двигуна дорівнює нулю, якщо його момент М менший за момент статичного навантаження. Момент двигуна пропорційний струму якоря: М = кІя. Струм якоря за швидкості, що дорівнює нулю, обчислюється за формулою

К

де ЯІІД— опір якірного кола двигуна.

Двигун починає обертатися при М = Мс, тобто при кІн = Мс, тому для характеристики со= / ( I I я ) половина зони нечутливості

392

Пропорційна частина характеристики описується рівнянням

де знак «мінус» відповідає додатній напрузі на якорі, «плюс» — від'ємній.

Наявність зони нечутливості знижує чутливість системи, бо система не реагує на сигнали, модуль яких менше с. Тому вона часто є небажаною. Але іноді зону нечутливості вводять навмисно, коли необхідно усунути підвищену чутливість системи до перешкод.

Характеристика із зоною насичення. Вигляд цієї характеристики зображено на рис. 8.1,5. За малих вхідних сигналів вихідний сигнал пропорційний вхідному, за великих — настає насичення, тобто вихідний сигнал сягає максимального рівня і далі не змінюється.

Математично характеристика описується так:

Рівняннями характеристики із зоною насичення можна описати залежності вихідної величини від вхідної для більшості типів підсилювачів, тиристорних перетворювачів та інших елементів електропривода.

Релейна характеристика. Ця характеристика (рис. 8.1, в) відрізняється стрибкоподібним змінюванням вихідного сигналу при переході вхідного сигналу через деякий рівень. Для ідеального реле цей рівень дорівнює нулю, тобто для стрибкоподібного змінювання вихідного сигналу достатньо змінити знак вхідного сигналу.

Математично характеристика ідеального реле описується так: -6 при є <0;

Ь при є > 0

або

и = Й5І£ПС.

Неоднозначні характеристики (характеристики з люфтом або мертвим ходом). Особливістю цих характеристик є залежність вихідної величини не тільки від вхідної величини в даний момент ча-

394

8.2.Типові нелінійності

су, а й від напряму її змінювання (зростає вона чи зменшується). Тому для математичного описування таких характеристик використомуються не тільки самі вхідні сигнали, а й їхні похідні, знак яких відповідає напрямку змінювання вхідного сигналу.

Неоднозначну характеристику зображено на рис. 8.1, г. Матемашчно вона описується рівністю

сопзі при \кг - и\< с

або

и = к(г - с 8І£П£/є(Л));

и = СОП8І при \кг - и\< с.

Комбіновані нелінійні характеристики. Ці характерисімки поєднують властивості кількох типових нелінійностей. Харакіг|)іістика, зображена на рис 8.1, д, поєднує властивості характеристики із зоною нечутливості та релейної і математично описується так:

Характеристика, наведена на рис. 8.1, е, поєднує властивості неоднозначної і характеристики із зоною насичення. Її математичний опис має вигляд

395

Єй інші комбіновані нелінійні характеристики, які складаються

злінійних ділянок.

8.3

Математичні моделі нелінійних систем

За математичного описування нелінійних систем несуттєві нелінійності лінеаризують, а суттєві звичайно спрощують, зводячи їх до типових. У цьому разі математична

модель нелінійної САК становить структурну схему, що складається з лінійних (лінеаризованих) ланок і ланок з типовими суттєво нелінійними характеристиками.

Більшість методів дослідження нелінійних САК орієнтовано на структурні схеми, що складаються з однієї безінерційної нелінійної ланки і лінійної частини з передаточною функцією \Уп(р). Зовнішні дії переносяться на вхід нелінійної ланки, яка зображується функцією м=ср(8) або «=ср(є, рг) для неоднозначних характеристик. Структурна схема в цьому разі називається найпростішою. Її вигляд зображено на рис. 8.2.

До найпростішої структурної схеми можна звести структурну схему будь-якої замкнутої нелінійної САК з однією нелінійною ланкою. Нехай, наприклад, структурна схема нелінійної САК має вигляд, зображений на рис. 8.3, а. Для зведення її до найпростішої переносимо суматор 1 через ланку І в у з о л 2 — через ланку Ж4(/?), а ланки IV,(р), IV4 (/?), IV5 (р) замінюємо однією ланкою 4. Тоді дістанемо структурну схему (рис 8.3, б). Подальші перетворення полягають у замі-

396

Рис. 8.3

397

Глава 8 НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

творення переносимо вузол 9 через ланку 8. В результаті дістанемо структурну схему, зображену на рис. 8.3, г.

На вході та виході найпростішої структурної схеми (на рис. 8.3 гіі обведено штриховою лінією) є лінійні ланки 10 і 77. Проте вони не впливають на стійкість і вільні динамічні режими замкнутого контуру, до складу якого належить нелінійна ланка.

До найпростішої можна звести структурні схеми, що містять кілька безінерційних нелінійних ланок, з'єднаних послідовно, паралельно або у вигляді ланки, охопленої зворотним зв'язком. Для цього треба замінити ці ланки однією (див. гл. З, п. 3.12).

Рівняння динаміки найпростішої нелінійної САК можна дістати за структурною схемою, наведеною на рис. 8.2. Рівняння нелінійної ланки з урахуванням неоднозначних нелінійностей запишемо у ви-

Замінивши є ( 0 в (8.10) його значенням за формулою (8.11) і підставивши знайдене значення £/(.$•) в (8.9), дістанемо зображення рівняння відносно вихідної величини

398

8.3.Математичні моделі нелінійних систем

Використовуючи теореми лінійності та згортання перетворення 'Іапласа, перейдемо від зображень (8.13) і (8.14) до оригіналів:

Інтегральні рівняння (8.15) і (8.16) є нелінійними. Загальних меюдів розв'язування таких рівнянь не існує. Розроблюються і широко І.ІСюсовуються різні методи дослідження нелінійних САК, які мають по загальний характер, а орієнтовані на певний клас нелінійностей або на певні структури САК. Значно розширює можливості аналізу

іа синтезу нелінійних САК застосування персональних комп'ютерів

ісучасного математичного забезпечення.

иПриклад 8.1. Дати математичне описання слідкувальпого електропривода постійного струму, функціональну схему якого зображено на рис. 8.4. Вхідним сигналом є кут повороту керуючої осі КВ. Цей сиг-

нал задається ззовні і може змінюватися за довільним законом 0НХ(/). Вихідним сигналом є кут повороту 0ВИХ виконавчої осі ВВ об'єкта керування ОК. Кут розбіжності керуючої і виконавчої осей вимірюється парою сельсинів ВСІ ВЕ, перетворюється фазочутливим випрямлячем І/В у пропорційну йому напругу, підсилюється підсилювачем А і подається на вхід безінерційного тиристорного перетворювача ІІМ, від якого живиться якірне коло двигуна М із незалежним збудженням (ЬМ — обмотка збудження двигуна). Двигун з'єднується з об'єктом керування за допомогою редуктора д.

Р о з в ' я з а н н я . Вважаємо, що всі елементи електропривода є лінійними, крім редуктора, який має люфт. Запишемо рівняння лінійних елементів електропривода:

вимірювальний пристрій

0пх - 0ВИХ =

Рис. 8.4

399