Teoriya avtomatichnogo keruvannya

фазочутливий підсилювач СІВ

підсилювач напруги /4

тиристорний перетворювач [/А/

"А . п =

Уцих рівняннях/сфп,/сп,/стп — коефіцієнти передачі фазочутливого підсилювача, підсилювача напруги і тиристорного перетворювача; ц1)П,

и^ и , — їхні вихідні напруги.

Двигун постійного струму з незалежним збудженням описується рівняннями

де 4 , г я — індуктивність і активний опір якірного кола; /я,ед,со — струм якоря, ЕРС і швидкість двигуна; с — коефіцієнт пропорційності між ЕРС і швидкістю, а також між моментом і струмом якоря за незмінного потоку збудження; Мс — момент статичного навантаження, приведений до вала двигуна; / — сумарний момент інерції електропривода, приведений до вала двигуна.

Рівняння (8.17) складено за другим законом Кірхгофа для кола якоря, а рівняння (8.18) становить закон рівноваги моментів на валу

400

(<7 — передаточне число редуктора) і рівняннями (8.4) неоднозначної

величина люфта. З урахуванням таких позначень рівняння (8.4) матимуть вигляд

Отже, за наявності люфта швидкість вихідного вала об'єкта керування під час зміни напрямку обертання дорівнює нулю, тобто при коливаннях об'єкт періодично зупиняється на час, необхідний для вибирання люфту в редукторі.

Рівнянням, що описують елементи слідкувального електропривода, відповідає структурна схема, зображена на рис. 8.5, а. Цю схему можна звести до найпростішої. Порядок зведення поданий на рис. 8.5, б—д. При перетвореннях структурної схеми вважається, шо Мс = 0. У цьому разі ланки, що описують двигун, замінюються однією ланкою з передаточною функцією

(ка = 1/с — коефіцієнт передачі двигуна) і структурна схема матиме вигляд, показаний на рис. 8.5, б.

Визначивши передаточну функцію лінійної частини системи

401

00

іп

ОСІ

О

О-

л

+

а

к СІ +

ї\>

402

8 . 4 . Стійкість та особливості динаміки нелінійних систем

дістанемо структурну схему, наведену на рис. 8.5, в. Після перенесення суматора через ланку ІУя(р) матимемо структурну схему, зображену на рис. 8.5, г, а після перенесення вузла через ланку ІУл(р)— схему, зображену па рис 8.5, д.

Виконане математичне описання можна вважати задовільним, як - що момент інерції об'єкта керування / 0 , приведений до вала двигуна, становить незначну частину загального моменту інерції електропривода. Якщо ця умова не виконується, то слід враховувати, що електромеханічні сталі часу Тм0 (при вибиранні зазору) і Гм1 (при вибраному зазорі) неоднакові. Значення Гм0 менше за Гм1 на величину ^() гя/с2.

8.4

Стійкість та особливості динаміки нелінійних систем

На відміну від лінійних систем стійкість нелінійних залежить не тільки від власних параметрів системі, а й від величини зовнішніх дій та місця їх прикладання. Тому не

іпжна розглядати стійкість або нестійкість нелінійної системи взагалі, а розглядати лише стійкість або нестійкість різних режимів робо-

ІІІсистеми при різних за величиною діях.

Специфічним динамічним режимом нелінійних систем є режим іпкжоливань. Цей режим неможливий у лінійних системах.

Автоколивання — це стійкі незгасаючі періодичні коливання, що нипикають у нелінійних системах за відсутності зовнішніх періодичних дій. Амплітуда і частота авгоколивань визначаються лише власними параметрами системи.

Основні особливості динаміки нелінійних систем можна розглянупі на прикладі системи другого порядку, використавши найпростішії варіант простору станів, а саме — двовимірний простір або м іоїцину станів (фазову площину). За координати фазової площини приймають відхилення х вихідної величини від її значення, що відповідає усталеному режиму системи, і похідну у = сіх/сії цього відхилення. Усталеному режиму системи другого порядку відповідає поїм <ж координат. Якщо будь-яка дія виводить систему з усталеного режиму, то зображуюча точка опиняється у довільному місці фазової іиощини. Під час перехідного процесу змінюється вихідна величина

і .і її похідна у, тому зображуюча точка рухається у фазовій площині

403

по фазовій траєкторії. Початкове положення зображуючої точки відповідає початковим умовам вільного руху системи. Сукупність фазових траєкторій, що відповідають різним початковим станам системи, називається фазовим портретом. Фазовий портрет дає повне уявлення про динаміку системи.

Динаміка системи другого порядку описується рівнянням

д е / — нелінійна функція.

Враховуючи, що сіх/сії = у, рівняння (8.28) записуємо у вигляді двох рівнянь:

Виключимо з цих рівнянь час, розділивши рівняння (8.30) на (8.29). Тоді дістанемо рівняння першого порядку

розв'язок якого ^(х)дає рівняння фазової траєкторії.

Зв'язок між перехідним процесом х(1) і фазовою траєкторією у(х) пояснюється графіками для затухаючого коливального процесу (рис. 8.6). Однаковими літерами а, Ь, ...,/ позначено точки на графіку перехідного процесу (рис. 8.6, а) і фазовій траєкторії (рис. 8.6, б),

Рис. 8.6

404

8 . 4 . Стійкість та особливості динаміки нелінійних систем

цю відповідають однаковим станам системи. Напрямок руху зобра- і \ іочої точки при зростанні часу показано стрілкою.

Фазові траєкторії мають такі властивості. У верхній півплощині фазової площини у = сіх/сії > 0, тому зображуюча точка рухається у бік іростання х (зліва направо), у нижній півплощині , де у < 0 — у бік їмсншення х ( справо наліво). У точці перетину фазової траєкторії з міссю х у = 0, тому згідно з (8.31) сіуїсіх = °о Звідси випливає, що до- і ігша до фазової траєкторії у точці її перетину з віссю х перпендикуіярна до цієї осі.

Рівняння (8.31) однозначно визначає дотичну до фазової траєкюрії в усіх точках, крім тих, для яких одночасно виконуються умови

/(.х,у)=сіу/сії = 0 і у = сіх/сії = 0.

У цих точках сіу/сіх - 0/0, тобто не існує певного напрямку дотичної до фазової траєкторії, і, отже, з них може виходити багато фазових траєкторій. Такі точки називають особливими. В них похідні фаювих координат дорівнюють нулю, тому особливі точки є точками рівноваги системи.

Метод фазової площини розроблено для дослідження нелінійних систем, проте багато особливостей поведінки систем і відповідні фаюві портрети доцільно спочатку розглянути на прикладі лінійної системи другого порядку.

Вільний рух лінійної системи другого порядку описується рівнянням

Фазові портрети, подібні наведеним у табл. 8.1, властиві й нелінійним системам із несуттєвими нелінійностями. Суттєві нелінійпосгі зумовлюють те, що фазові портрети можуть стати якісно іншими. Приклади фазових портретів, властивих тільки нелінійним сисіемам, зображено на рис. 8.7.

405

406

407

а

У,

Рис. 8.7

408

8.4. Стійкість та особливості динаміки нелінійних систем

Фазовий портрет, зображений на рис. 8.7, а, характеризує дина11I V системи, нестійкої у малому (особлива точка — нестійкий фо- ' \с). Усталеним режимом цієї системи є автоколивання. Прикладом і м ої системи може бути система, лінійний аналог якої за малих мі ічплень нестійкий. У системі спостерігається розбіжний коливальнії п процес, проте внаслідок насичення окремих елементів системи амп літуда коливань не зростає нескінченно, а встановлюється на декому незмінному рівні, тобто в системі виникає режим автоколинань. Такому режиму відповідає замкнута траєкторія на фазовій пло-

їм піп. Ця т р а є к т о р і я н а з и в а є т ь с я стійким граничним циклом.

Стійкий граничний цикл становить найважливіший для ТАК тип особливих ліній на фазовій площині. Фазові траєкторії, що починами,ся всередині й зовні стійкого граничного циклу, з часом асимпмипчно наближаються до нього.

Якщо фазові траєкторії, близькі до граничного циклу, з часом нілмаляються від нього, то граничний цикл буде нестійким. Прик-

іл л фазового портрета з нестійким граничним циклом наведено на

рис. 8.7, б. Він відповідає системі, стійкій у малому і нестійкій у великому. Нестійкий граничний цикл визначає межу початкових умов, лп якої система зберігає стійкість. Він також становить особливу лінію на фазовій площині.

І Іестійкий граничний цикл може розділяти якісно різні перехідні процеси, наприклад затухаючий коливальний і розбіжний аперіодичний. Відповідний фазовий портрет зображено на рис. 8.7, в.

Система може мати кілька граничних циклів, що відповідають олпій і тій самій особливій точці. У цьому разі стійкі і нестійкі цикли чергуються (рис. 8.7, г). Системи з таким фазовим портретом є сисігмами з жорстким режимом збудження коливань. Для виникнення і оішвань, що відповідають стійкому циклу, необхідно таке початкоік' відхилення, за якого зображуюча точка буде поза межами нестій- і от циклу. За менших відхилень коливання згасають.

Фазовий портрет на рис 8.7, д відповідає випадку, коли за малих

іілчилень нелінійна система поводиться як лінійна, що перебуває на

нкі стійкості (характеристичне рівняння має уявні корені). За вели- I и \ відхилень стійкість системи порушується, і перехідний процес, а ілкож фазові траєкторії, що йому відповідають, стають зовсім інши-

!іі Крім особливої точки О типу центра з'являються два сідлсі С{ і Лінія, що проходить через особливі точки типу сідла і розділяє фл юву площину на зони, які відповідають якісно різним перехідним

процесам, називається сепаратрисою.

409