Глава 11. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

11.1. Сущность связи и ее виды

Исследование объективно существующих связей между явлениями – важнейшая задача общей теории статистики.

Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Поэтому главная задача статистики – выявить основные причины, абстрагируясь от второстепенных. Выявление связей между явлениями проходит несколько этапов:

1-й этап – качественный анализ явлений методами экономической теории, социологии и других наук;

2-й этап – построение модели связи;

3-й этап – интерпретация результатов.

При изучении взаимосвязей между экономическими явлениями выделяют факторные и результативные признаки. Факторным признаком является тот, который влияет на изменение результативного признака и обуславливает его. Результативный признак изменяется под влиянием факторного признака.

Различают два вида взаимосвязей экономических явлений: функциональные и корреляционные.

При функциональных связях каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное значение результативного признака. Функциональные связи можно формализовать, т.е. представить в виде формулы. Например, в функциональной связи находится объем выпуска продукции от двух факторов сомножителей: средней выработки продукции на одного рабочего и средней списочной численности рабочих. При функциональных связях применяется индексный метод анализа.

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем такой связи является корреляционная связь.

При корреляционных связях отдельным значениям факторного признака может соответствовать несколько значений результативного признака. Корреляционная связь проявляется в среднем при большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и факторным признаком. В корреляционной зависимости от ряда факторов находится, например, объем выпуска продукции: от уровня фондовооруженности труда, коэффициента сменности, квалификации рабочих и т.п. В данном случае построить функцию зависимости результативного признака от факторного без применения специального математического аппарата не представляется возможным. При корреляционных связях применяется корреляционный метод анализа.

Связи между явлениями бывают прямые и обратные. При прямых связях с увеличением (уменьшением) факторного признака результативный увеличивается (уменьшается). В прямой зависимости находится, например, объем выпуска продукции от производительности труда или коэффициента сменности.

86

При обратных связях с увеличением (уменьшением) факторного признака результативный уменьшается (увеличивается). В обратной зависимости находится, например, объем выпуска продукции от величины простоев оборудования, от текучести рабочих кадров и т.п.

По аналитическому выражению связи бывают прямолинейные и криволинейные. Прямолинейные связи выражают уравнением прямой, криволинейные – уравнением параболы или гиперболы.

11.2. Методы изучения связи социально-экономических явлений

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются следующие методы: приведения параллельных рядов, балансовый, аналитических группировок, графический, корреляции.

Метод параллельных рядов основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин (табл. 11.1).

Как видим, имеется следующая зависимость: чем меньше производство, тем выше себестоимость. Связь – обратная.

Балансовый метод основан на балансовом уравнении:

Он + П = В + Ок, где

Он – остатки на начало; П – поступление; В – выбытие;

Ок – остаток на конец.

Метод аналитических группировок является методом средних и относи-

тельных величин. Единицы совокупности группируются по факторному признаку, затем определяется средняя по результативному признаку, и их сравнивают для установления связи.

Графическая взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат – результативного.

Корреляция – статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Существуют следующие варианты зависимостей:

полная корреляция – связь между двумя признаками;

частная корреляция – зависимость между результативным и одним из факторныхпризнаковпрификсированномзначениидругихфакторныхпризнаков;

множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

87

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками и между результативным и множеством факторных признаков. Количественное выражение тесноты связи на-

зывается коэффициентом корреляции.

Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: корреляция оценивает силу (тесноту) связи, а регрессия исследует ее форму.

Корреляционно-регрессионный анализ включает в себя измерение тесно-

ты, направления связи и формы связи.

Регрессионный анализ определяет связи, в которых изменение одной величины (результативный признак) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения.

Особую трудность для усвоения представляет корреляционный метод анализа взаимосвязи экономических явлений. Его проводят в три этапа: на первом осуществляется выбор формы связи между факторным и результативным признаками, т.е. выбирается тип аналитической функции; на втором осуществляется решение аналитического уравнения связи путем нахождения его параметров; на третьем определяется теснота связи между изучаемыми экономическими явлениями.

Прежде чем подробно остановиться на каждом из трех этапов корреляционного анализа, обратим внимание на следующее.

В том случае, когда определяется влияние одного фактора на результативный признак, строится однофакторная регрессионная модель (парное уравнение корреляции); когда определяется влияние двух и более факторов на результативный признак, строится многофакторная регрессионная модель (уравнение множественной корреляции).

При подборе факторов для регрессионной модели следует помнить, что они не должны находиться в функциональной связи с результативным признаком. В противном случае должен применяться индексный метод анализа, а не корреляционный. Следует также знать, что число наблюдений для построения однофакторной регрессионной модели должно быть 10 -12.

Первый этап корреляционного анализа. Для определения формы связи между факторным и результативным признаками, т.е. для установления типа аналитической функции связи, применяют различные статистические методы, о которых уже шла речь. Чаще всего для установления формы зависимости между факторным и результативным признаками применяют графический метод.

При прямолинейной форме зависимости между факторным и результа-

тивным признаками функция связи имеет вид прямой: y x = a0 + a1x; при параболической – вид параболы: y x = a0 + a1x + a2x2;

a

при гиперболической – вид гиперболы: yx =a0 + x1 .

На втором этапе корреляционного анализа осуществляют решение ана-

литического уравнения связи путем нахождения его параметров a0, a1, …, an.

88

Параметр a0 означает влияние на результативный признак не включенных в регрессионную модель факторов. Как правило, экономической интерпретации параметр a0 не подлежит. Параметры a1, …, an – коэффициенты регрессии – означают величину результативного признака при изменении факторного признака на единицу измерения.

В случае прямолинейной формы зависимости параметры аналитического уравнения связи y x = a0 + a1x находятся путем решения следующей системы

уравнений:

a0 n + a1 ∑x = ∑y;

a0 ∑x + a1 ∑x2 = ∑xy.

В случае параболической формы зависимости параметры аналитического уравнения связи y x = a0 + a1x + a2x2 находятся путем решения следующей

системы уравнений:

a0 n + a1 ∑x + a2 ∑x2 = ∑y;

a0 ∑x + a1 ∑x2 + a2 ∑x3 = ∑xy;a0 ∑x2 + a1 ∑x3 + a2 ∑x4 = ∑x2 y.

В случае гиперболической формы зависимости параметры аналитического

уравнения связи yx = a0 + ax1 находятся путем решения следующей системы уравнений:

Для экономической интерпретации аналитического уравнения связи можно воспользоваться также коэффициентом эластичности, который рассчитывается по формуле

Э = a1yx .

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении факторного на 1%.

На третьем этапе корреляционного анализа осуществляют оценку тес-

ноты связи между факторным и результативным признаками с помощью показателей тесноты связи.

В случае линейной связи между факторным и результативным признаками производят расчеты линейного коэффициента корреляции по формуле

Линейный коэффициент корреляции варьируется в пределах от -1 до +1. Положительное его значение говорит о прямой связи, отрицательное – об обратной. Близость к нулю говорит о слабой связи, близость к ± 1 говорит о существенной связи, при r = ± 1 – связь функциональная.

89

В случае криволинейной зависимости (параболической, гиперболической) тесноту связи между факторным и результативным признаками определяют с помощью корреляционного отношения по формуле

Рассмотрим на конкретном примере применение корреляционного метода в изучении взаимосвязи экономических явлений. По данным табл. 11.3 построим аналитическое уравнение связи и определим тесноту связи между явлениями.

Судя по распределению, зависимость прямолинейная. Как известно, прямолинейная зависимость подчиняется уравнению прямой: y x = a0 + a1x. Сле-

довательно, параметры данного уравнения связи находятся путем решения следующей системы уравнений:

90

a0 n + a1 ∑x = ∑y;

a0 ∑x + a1 ∑x2 = ∑xy.

Для решения системы построим вспомогательную таблицу (табл. 11.4).

* В ранжированном порядке (в порядке возрастания значений х)

На основе данных табл. 11.4 построим систему уравнений в следующем виде:

12a0 +197a1 =50;197a0 + 4207a1 =935.

-11675a1 = 1370;

a1 = 0,117;

a0 = (935 - 492,2) : 197 = 2,248.

Следовательно, найденное аналитическое уравнение связи имеет вид: yx = 2,248 + 0,117х. Подставим соответствующие значения х в уравнение и

найдем новые значения yx :

yx1 = 2,248 + 0,117 1=2,365;

yx2 = 2,248 + 0,117 7 = 3,067 и т.п.

Параметрыуравнения a0 и a1 можноопределитьипоследующимформулам:

91

Изобразим по найденным значениям y x теоретическую линию регрессии,

которая, как видно, с некоторыми погрешностями воспроизводит эмпирическую линию регрессии (см. рис. 11.2).

Так как ∑y x = ∑y , то можно считать, что построенное парное уравнение

корреляции является искомым, и, следовательно, сделать следующий вывод: с увеличением стажа работы на один год разряд рабочих в среднем возрастает на 0,117.

Как было сказано ранее, экономическая интерпретация аналитического уравнения связи может осуществляться с помощью коэффициента эластичности. Расчетное значение коэффициента эластичности:

Таким образом, увеличение стажа работы на 1% приводит к увеличению разряда на 0,456%.

Ранее говорилось, что для установления тесноты связи между факторным и результативным признаками в случае линейной зависимости применяется

линейный коэффициент корреляции. Рассчитаем его величину:

r = (xy − x y) ; (σ xσ y )

xy = ∑nxy = 935 : 12 = 77,9;

x = ∑nx = 197: 12 = 16,4;

y = ∑n y = 50: 12 = 4,2;

σx = x2 − x 2 = 4207 :12 −16,42 = 81,6 =9,03; σ y = y2 − y 2 = 232 :12 − 4,22 = 1,7 =1,3;

92

Следовательно, на 76,9% разряд рабочего определяется стажем его работы на предприятии.

Можно определять r и по другим формулам:

r= (x − x)(y − y) ;

σxσ y

Анализ взаимосвязи между явлениями можно также проводить по сгруппированным данным, представленным в виде корреляционной таблицы. Приведем пример корреляционной таблицы, характеризующей связь между стажем рабочих и их заработной платой (табл. 11.5).

Таблица 11.5

Корреляционная таблица показывает, что частоты (численность) рабочих концентрируются главным образом у диагонали. Это значит, что связь между стажем рабочего и его заработной платой прямая, т.е. с увеличением стажа заработная плата рабочего возрастает. Характер линейной зависимости более четко прослеживается на графике (рис. 11.3). Для построения эмпирической линии регрессии рассчитаны средние показатели заработной платы по каждой из шести групп рабочих, выделенных по стажу работы:

y1 = (45 5 + 55 7 + 65 14 + 75 8 + 85 1) : (5 + 7 + 14 + 8 + 1) = 2205 : 35 = 63.

93

Построим вспомогательную таблицу для у (табл. 11.7), взяв в качестве у его средние значения в интервалах группировки, а именно: у1 = (40 + 50) : 2 = 45; у2 = (50 + 60) : 2 = 55 и т.д. Умножая найденные групповые средние у на численность каждой группы ny, получим yny в пределах данной группы. Суммируя полученные величины по группам, получим общую ∑yny = 7600. Эта

Несколько сложнее с∑xy . Но если интервалы группировки малы, то

можно считать значения y для всех единиц в рамках группы одинаковыми. Умножив средние значения х в интервалах группировки на соответствующие средние значения у и на численность данной группы, получим nху в пределах данной группы. Так, по данным табл. 11.5, (nxy)1 = 2,5 5 45 = 562,5; (nxy)2 = 2,5 7 55 + 7,5 3 55 = 2200 и т.д. Сумма полученных значений по группам дает общую величину ∑xy = 78525.

Подставим найденные значения в систему уравнений и решим ее:

100a0 + 975a1 = 7600,955a0 +14975,2a1 = 78525;

−955a0 + 9311,3a1 = −72580,955a0 +14975,2a1 = 78525;

5663,9a1 = 5945; a1 = 1,05;

100a0 + 975a1 = 7600,100a0 = 7600 −1023,8; a0 = 65,8.

Следовательно, аналитическое уравнение связи заработной платы рабочих и стажа их работы имеет вид: yx = 65,8 + 1,05x. На основе данного уравнения

можно сделать вывод: с увеличением стажа работы на 1 год заработная плата рабочего увеличивается на 1,05 тыс. руб.

Рассчитаем тесноту связи между х и у с помощью линейного коэффициента корреляции:

r = (xy − x y) )= (785,25-9,75 76) : (7,4 15,1) = (44,25 : 111,74) ·100 = 39,6%. (σ xσ y )

xy = ∑nxy = 78525 : 100 = 785,25;

95

Таким образом, заработная плата на 39,6% зависит от стажа работы на предприятии.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза (Но) о равенстве коэффициента корреляции нулю [Ho ÷ r = 0]. При проверке этой гипотезы используется t-статистика:

При выполнении Но t-статистика имеет распределение Стьюдента с входными параметрами {α, k = n − 2}.

Если расчетное значение t p > tkp (табличное), то гипотеза Но отвергается,

что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а, следовательно, и о существенной зависимости между x и y.

Данный критерий проверяется для совокупности n < 50; если n > 100, то используется формула t-статистики:

Если связь криволинейная, то определяется не линейный коэффициент корреляции, а индекс корреляции:

yt – теоретическое значение признака;

y – среднее фактическое значение признака.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками, для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение:

Теоретическое корреляционное отношение:

96

В основе расчета лежит правило сложения дисперсий, о котором говорилось в предыдущем разделе.

Общая формула корреляционного отношения:

Данный показатель характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней и изменяется в пределах от 0 до 1.

Методы изучения и измерения тесноты связи, приведенные выше, очень сложны. Но в статистике имеются и более простые методы определения тесноты связи: коэффициент корреляции знаков, ранговые коэффициенты Спир-

мена и Кендалла. Рассмотрим коэффициент корреляции знаков: i = uu +−νν , где

u – число пар с одинаковыми знаками отклонений x и y от x и y ; ν – число пар с разными знаками отклонений x и y от x и y .

Пример:

Таблица 11.8

u = 9, ν = 1, тогда i = 99 +−11 = 108 = 0,8. Связь – высокая.

Если нужно определить и измерить связь качественных признаков, то можно использовать коэффициенты ассоциации и контингенции.

Коэффициент ассоциации:

Ka = adad +− bcbc .

Коэффициент контингенции:

Коэффициент контингенции меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если Ка > 0,5 или Кк > 0,3.

97

Пример:

Значения полученных коэффициентов выше нормативных. Значит, оба фактора действительно взаимосвязаны.

Контрольные вопросы

1.Назовите два вида взаимосвязей экономических явлений.

2.Какие формы связи выделяют по направлению и в чем их сущность?

3.Какие методы изучения взаимосвязи экономических явлений используются в статистике?

4.В чем сущность корреляционного метода анализа?

5.Что характеризуют линейный коэффициент корреляции и корреляционное отношение, каково их применение?

6.Каковы особенности проведения корреляционного анализа по сгруппированным данным?

98