РАЗДЕЛ III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава 7. Показатели вариации

7.1. Показатели вариации

Наряду со средней величиной, характеризующей типичный уровень варьирующего признака, около которого колеблются отдельные значения признака, рассматривают показатели вариации (колеблемости) признака, позволяющие количественно измерить величину этой колеблемости. Термин «вариация» означает колеблемость признака.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

К показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Простейшим показателем вариации является размах вариации, который характеризует диапазон колебаний признака в изучаемой совокупности и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак. Размах вариации рассчитывается по формуле:

R = xmax − xmin ,

где xmax и xmin – соответственно максимальное и минимальное значения

признака в исследуемой совокупности.

Среднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак. Среднее линейное отклонение может быть невзвешенное и взвешенное. Если каждое значение признака встречается в совокупности один раз, то применяется формула среднего линейного отклонения невзвешенного:

D = ∑ xi − x , n

где x – значения признака, x – среднее значение по совокупности, n – количество значений.

Если имеется некоторая повторяемость значений признака, то применяет-

ся формула среднего линейного отклонения взвешенного:

D = ∑ xi − x f ,

∑ f

где f – частота.

Наиболее точным показателем вариации является среднее квадратическое отклонение. Для его определения предварительно рассчитывают показатель дисперсии. Дисперсия невзвешенная определяется по формуле:

σ2 = ∑( xni − x )2 .

55

Дисперсия взвешенная определяется по формуле

σ2 = ∑( xi − x )2 f .

∑f

Соответственно, для расчета среднего квадратического отклонения невзвешенного используют формулу:

а для расчета среднего квадратического отклонения взвешенного – формулу

Как и среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней, однако является более точной характеристикой.

Встатистическом анализе при проведении расчетов можно одновременно использовать показатели среднего линейного и среднего квадратического отклонения, а экономические выводы делать в пределах вариации значений обоих показателей.

Вотличие от среднего линейного и среднего квадратического отклонений, коэффициент вариации является мерой относительной колеблемости признака около средней и характеризует степень однородности признака в изучаемой совокупности. Он определяется по формуле

Если коэффициент вариации составляет не менее 33,3%, исследуемая совокупность считается весьма неоднородной и для проведения дальнейшего анализа должна быть разгруппирована.

Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах на-

зывается коэффициентом осцилляции:

= R 100 .

VR x

В нормальном ряду распределения между x, D,σ, R существуют определенные соотношения.

σ = R6 ; следовательно R = 6σ .

Зная x и σ , можно представить размах вариации как R = x ±3σ .

При достаточно большом объеме совокупности между σ и D существует соотношение σ =1,25D .

7.2.Правило сложения дисперсий

иего применение в экономическом анализе

Если исследуемую совокупность единиц расчленить на группы, то можно считать, что общая дисперсия всей совокупности варьирует (изменяется) под влиянием дисперсий для каждой отдельной группы, так называемых группо-

56

вых или частных дисперсий и межгрупповой дисперсии. Эти дисперсии связаны между собой правилом сложения дисперсий. При использовании правила сложения дисперсий в экономическом анализе по величине частной дисперсии может решаться задача выявления наиболее эффективной в производстве системы (формы, структуры) организации труда, его оплаты и т.п.

Межгрупповая дисперсия или дисперсия групповых средних (δ 2 ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием одного условия (признака фактора), положенного в основание группировки.

2= ∑(xi −x)2 ni

δ∑ni

Внутригрупповая дисперсия или средняя из групповых (σ 2 ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучитываемых факторов. Чтобы ее определить, надо сначала вычислить внутригрупповые дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю из них.

Внутригрупповые дисперсии определяются по формуле

На величину межгрупповых дисперсий не влияет групповой признак. Поэтому, чтобы получить представление об общей вариации признака, следует вычислить среднюю из внутригрупповых:

В математической статистике доказано, что общая дисперсия признака (σ 2 ) равна средней из внутригрупповых дисперсий (σi2 ) и дисперсии групповых средних:

δ2 ÷σ2 =σ 2 +δ2 .

Это правило называется правилом сложения дисперсий:

σ2 =σ i2 +δ2 .

Проиллюстрируем расчет показателей вариации по данным о распределении рабочих по стажу работы (табл. 7.1).

Таблица 7.1

57

R = xmax - xmin =14-10 = 4 года, т.е. диапазон колебания состава рабочих по стажу работы в исследуемой совокупности составляет 4 года.

x = ∑∑xff = 491: 43 = 11,4 года, т.е. средний стаж рабочих по совокупности составляет 11,4 года.

стаж отдельных рабочих от среднего стажа по совокупности.

Величина σ =1,3 года характеризует колеблемость стажа рабочих в данной совокупности:

νσ = σx 100% = (1,3: 11,4) · 100 = 11,4%.

Таким образом, на 11,4% варьирует состав рабочих по стажу работы в исследуемой совокупности.

Используя правило сложения дисперсий, определим наиболее эффективную систему оплаты труда рабочих по данным, приведенным в табл. 7.2.

σ12 = [(28 - 29)2 + (30 - 29)2 + (29 - 29)2 + (27 - 29)2 + (3129)2]: 5 = 10 : 5 = 2 мин;

σ22 = [(23 - 24,6)2 + (25 - 24,6)2 + (24 - 24,6)2 + (27 - 24,6)2 + (24 - 24,6)2]:5 =9,2:5 = 1,84 мин;

σ32 = [(18 - 18,8)2 +(16 - 18,8)2 +(19 - 18,8)2 +(21 - 18,8)2 +(20 - 18,8)2]:5 = 14,8:5 = 2,96 мин.

Рассчитаем среднюю из частных дисперсий:

58