Определим общую дисперсию:
σ2 = (x − x)2 = [(28 - 24,13)2 + (30 - 24,13)2 + (29 - 24,13)2 + (27 - 24,1З)2 + (31 - 24,13)2 + n
+(23 - 24,1З)2 + (25 - 24,13)2 + (24 - 24,13)2 + (27 - 24,1З)2 + (18 - 24,1З)2 + (16 - 24,1З)2 +
+(19 - 24,1З)2 + (21 - 24,1З)2 + (20 -24,1З)2] : 15 = 295,76 : 15 = 19,72 мин.
Так как правило сложения дисперсий соблюдается, а именно: 19,72 = 17,46 + 2,26, то по максимальной величине частной дисперсии σ32 = 2,96 мин.
можно считать, что наиболее эффективной системой оплаты труда по исследуемой совокупности является сдельная прогрессивная оплата труда.
В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η2 ) и определяется
по формуле η2 = δ 2 . Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) об-
σ 2
щей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации назы-
вается эмпирическим корреляционным отношением (η) и рассчитывается
по формуле η = |
δ 2 |
. Это отношение показывает влияние признака, положен- |
|
σ 2 |
|
ного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Оно колеблется в пределах от 0 до 1. Если η = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный; если же η = 1, то результативный при-
знак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.
7.3. Дисперсия альтернативного признака
Среди множества варьирующих признаков существуют такие, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными.
Пустьp – доляединицсовокупности, обладающихданнымпризнаком( p = mn ),
q – доля единиц совокупности, не обладающих данным признаком, причем p + q = 1. Вычислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической:
x = |
1 p + 0 q |
= p , т.к. p + q = 1. |
|
p + q |
|||
|
|
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
σ 2 = |
(1− p)2 p + (0 − p)2 q |
= |
q2 p + p2 q |
= pq . |
|
p + q |
p + q |
||||
|
|
|
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число: σ 2 = pq .
59
Корень квадратный из этого показателя, т.е. pq , соответствует среднему
квадратическому отклонению алтернативного признака. Предельное зна-
чение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при p = 0,5.
Пример. Предприятие выпустило в 2001 году продукции на 5000 тыс. руб., в т.ч. 1-го сорта – на 4000 тыс. руб. В 2002 году это же предприятие выпустило продукции на 5500 тыс. руб., в т.ч. 1-го сорта – на 4950 тыс. руб.
Вычислим дисперсию удельного веса продукции 1-го сорта. Доля 1-го
сорта (p) в 2001 г. = 50004000 = 0,8 , в 2002 г. = 55004950 = 0,9 .
Сумма частностей равна p + q =1, отсюда q = 1 – p. В 2001 г. q = 1 – 0,8 = 0,2,
ав 2002 г. q = 1 – 0,9 =0,1. В результате получаем:
σ20012 u = 0,8 0,2 = 0,16 ; σ20022 u = 0,9 0,1 = 0,09 .
Можно определить и другие виды дисперсий альтернативного признака.
Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле
σ2pi = pi (1− pi ) .
Средняя из внутригрупповых дисперсий равна
|
|
|
|
|
∑pi (1− |
pi ) ni |
. |
|
2 |
|
|
|
|||||
= pi (1− pi ) = |
||||||||
σ pi |
∑ni |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Межгрупповая дисперсия определяется по формуле
2 |
= |
∑ ( pi − |
p)2 ni |
, |
δ pi |
ni |
|
||
|
|
|
|
где ni – численность единиц в отдельных группах,
p – доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
p= ∑pi ni .
∑ni
Общая дисперсия имеет вид:
σ 2p = p (1− p) .
Правило сложения дисперсий альтернативного признака выглядит следующим образом:
|
σ pi |
|
|
+δ pi . |
|
|
=σ p |
||||
|
2 |
2 |
2 |
||
Пример. |
|
|
|
|
|
Имеются следующие данные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Цех |
Удельный вес рабочих (%) |
|
Численность всех рабочих (чел.) |
||
1 |
80 |
|
|
|
100 |
2 |
75 |
|
|
|
200 |
3 |
90 |
|
|
|
150 |
Итого |
|
|
|
|
450 |
60
1. Определим долю рабочих в целом по фирме:
p = |
0,8 100 + 0,75 200 + 0,9 150 |
= |
365 |
= 0,81. |
|
450 |
450 |
||||
|
|
|
2.Общая дисперсия доли основных рабочих фирмы равна:
σ2p = p (1− p) = 0,81 (1−0,81) = 0,154 .
3.Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:
|
|
|
|
|
|
σ2p |
i |
= pi (1− pi ) ; |
σ2p |
= 0,8 0,2 = 0,16 ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2p2 |
= 0,75 0,25 = 0,19 ; |
σ2p 3 |
= 0,9 0,1 = 0,09 . |
|
|
|
|
|
|||
4. |
Средняя из внутригрупповых дисперсий: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= ∑pi (1− pi ) ni = |
0,16 100 +0,19 200 +0,09 150 |
|
|
67,5 |
|
= 0,15 . |
|||||
|
|
σ2p |
= |
||||||||||||||
|
|
|
pi (1− pi ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
450 |
|
||||||||||||
|
|
|
i |
|
∑ni |
|
450 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Межгрупповая дисперсия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δ p2 = |
∑ ( pi − p )2 ni = ( 0,8 −0,81)2 100 +( 0,75 −0,81)2 200 +( 0,9 −0,81)2 150 = |
1,95 |
= 0,004 . |
||||||||||||||
i |
|
|
|
|
ni |
|
|
|
450 |
|
|
|
|
|
450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Правило сложения дисперсий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
σ 2p |
=σ 2p +δ p2 |
||
i |
|
|
i |
0,154 = 0,15 + 0,004 .
Контрольные вопросы
1.Каковы экономический смысл и методология расчета показателя размаха вариации?
2.Каковы назначение и методология расчета среднего линейного и среднего квадратического отклонений?
3.В каких случаях применяются невзвешенные и взвешенные показатели вариации?
4.Какова экономическая интерпретация коэффициента вариации?
5.В чем заключается правило сложения дисперсий и каково его экономическое значение?
61