8.2. Вводные замечания к теории оценивания

Как и для генеральной совокупности, для выборки могут быть построены числовые характеристики, которые позволяют сделать вывод о характеристических числах генеральной совокупности. Такой ход вывода от числовых характеристик выборки к числовым характеристикам гене­ральной совокупности называется оцениванием. Долевое соотношение в генеральной совокупности Р = , , ее среднее значение и дисперсия² должны, таким образом, оцениваться по значениям Р, и S² выборки. Подобное оценивание может выполняться двумя способами:

1) Оценка дается для некоторой определенной точки (точечное оценивание), например:

X.

2) По данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение (значение генеральной совокупности) с заданной вероятностью (интервальное оценивание).

9. Проверка гипотез

9.1. Постановка задачи

Гипотеза в статистике понимается как предположение о распределении случайных величин.

Критерии проверки гипотезы дает метод проверки, в результате которой выясняется, верна или неверна данная гипотеза, т.е. должна ли она "приниматься" или "отвергаться". Коль скоро отклонение от гипотезы мало и является случайным, последняя принимается. Если же это откло­нение нельзя считать случайным и речь, следовательно, идет о так называемом значимом отклонении, то гипотеза отвергается.

Гипотеза, отклонения от которой приписываются случаю, называется нулевой и обозначается H₀. Противоположная, или альтернативная, - обозначается H₁.

Проверяются гипотезы с помощью функции критерия (или просто критерия) Т. Функция критерия есть не что иное, как выборочная функция T Распределение критерия в предположении о правильности нулевой гипотезы H₀ обычно является известным, например, нормальным, t или F - распределением (так называемые критериальные распределения).

Если обозначить вероятность ошибки (уровень зна­чимости), то границыТ₁ и T₂ должны определяться так, чтобы удовлетворялись равенства:

Вытекающее отсюда решающее правило состоит в том, что нулевая гипотеза отвергается, когда выборочное значение Т оказывается вне границ Т₁ и Т₂ и, следовательно, попадает в так называемую критическую область. Гипотеза H₀ не отвергается, если значение Т попадает в интервал между Т₁ и T₂, но и не принимается окончательно.

9.2. Виды ошибок при проверке гипотез

1) Ошибка первого рода.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается, хотя является верной. Вероятность совершения такой ошибки равна .

2) Ошибка второго рода.

Нулевая гипотеза H₀ принимается, хотя является не­верной. Вероятность совершения этой ошибки равна 1 - . Здесь- вероятность того, что ошибка второго рода не будет допущена (так называемая мощность критерия).

Пусть, например, нулевая гипотеза H₀ означает, что определенная партия товаров соответствует условиям поставки. Если эта партия отклоняется, хотя гипотеза соответствует действительности, то совершается ошибка первого рода. В таком случае говорят о риске производителя товаров. Если же партия принимается, хотя она и не соответствует условиям поставки, то имеет место ошибка второго рода (так называемый риск потребителя).