zadachi_с решениями
.pdf
откуда Q = 4πε 0ε r2E1. Вычисляя, находим
|
9 10−2 ì2 4 104 |
Í |
Ê ë2 |
|
|
|
|
||
|
Ê ë |
|
–7 |
|
Q = |
|
= 4æ10 Êë. |
||
9 109 Í ì2 |
||||
Ответ: E1 = 4æ104 Í/Êë; Q = 4æ10–7 Êë.
2.4. В однородном электрическом поле электрон движется с ускорением a = 3,2æ1013 ì/ñ2. Определить напряженность поля. Масса электрона m = 9,1æ10–31 êã.
Äàíî:
a = 3,2æ1013 ì/ñ2, m = 9,1æ10–31 êã, e = 1,6æ10–19 Êë.
Найти
E.
Решение.
На электрон действует кулоновская сила F = eE и сообщает ускорение a. По второму закону Ньютона,
F = ma, èëè eE = ma.
Отсюда находим напряженность электрического поля
E = |
m a |
; E = |
9,1 10− 31 êã 3,2 1013 |
ì / ñ2 |
= 182 Í/Êë. |
e |
1,6 10− 19 Êë |
|
Ответ: E = 182 Í/Êë.
2.5. Два заряда 6ж10–7 è –2æ10–7 Кл расположены в керосине на расстоянии 0,4 м друг от друга. Определить напряженность поля в точке O, расположенной на середине отрезка прямой, соединяющего центры зарядов.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|||
|
Q1 = 6æ10–7 Êë, |
|
Согласно принципу супер- |
|||
|
Q2 = –2æ10–7 Êë, |
|
позиции электрических полей, |
|||
|
r = r1 = r2 = 2æ10–1 ì, |
|
G |
G |
G |
|
|
ε = 2. |
|
имеем E = |
E1 + |
E2 . |
|
|
|
|
|
|
G |
G |
Найти |
|
|
|
|||
|
Так как векторы E1 è |
E2 |
||||
|
E. |
|
направлены по одной прямой |
|||
|
||||||
|
|
|
||||
и в одну сторону, то напряженность поля в точке O |
||||||
65
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
|
будет равна сумме модулей напряженностей |
E1 |
|
è |
E2 |
: |
||||||||||
E = |
Q1 |
|
+ |
Q2 |
= |
Q1 + Q2 |
= |
9 109 |
(Q1 |
+ Q2) |
, |
|
|||
4πε ε0 r2 |
4πε ε0 r2 |
|
4πε ε0 r2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ε r2 |
|
|
|
|
|||||||||
E = |
9 109 8 10− 7 |
Í/Êë = 9æ104 Í/Êë. |
|
|
|
||||||||||
|
2 4 10− 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: E = 9æ104 Í/Êë.
2.6. Какую скорость приобретет в электрическом поле электрон, находящийся в состоянии покоя, если ускоряющая разность потенциалов 1000 В? Масса электрона m = 9,1æ10–31 êã.
Решение. Электрон, двигаясь в элек-
трическом поле, приобретает кинетическую энергию Wê = mv2/2. Работа сил электрического поля по перемещению заряда (электрона) равна
A = eU. По закону сохранения энергии A = Wê, èëè eU = mv2/2. Отсюда
v = |
2eU |
; v = |
2 1,6 10− 19 Êë 103 |
 |
= 1,86æ107 ì/ñ. |
m |
9,1 10− 31 êã |
|
Ответ: v = 1,86æ107 ì/ñ.
2.7. Между двумя горизонтально расположенными пластинами, заряженными до 10 кВ, удерживается в равновесии пылинка массой 2ж10–10 кг. Определить заряд пылинки, если расстояние между пластинами 5 см.
Äàíî:
U = 104 Â,
m = 2æ10–10 êã, d = 5æ10–2 ì, g = 9,8 ì/ñ2.
Найти
Q.
Решение.
Пылинка удерживается в равновесии, когда ее сила тяжести mg будет равна удерживающей кулоновской силе FÊ, ò. å. FÊ= mg. Ñèëà
FÊ = QE = QdU ,
66
òàê êàê E = |
U |
. Следовательно, |
|
|||||||
d |
|
|||||||||
|
|
|
|
Q |
U |
|
= mg, |
|
||
|
|
|
|
d |
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
|
mgd |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
Q = |
2 10− 10 |
êã 9,8 ì / ñ2 5 10− 2 ì |
= 9,8æ10–15 Êë. |
|||||||
|
|
104 Â |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Q = 9,8æ10–15 Êë. |
|
|||||||||
2.8. Электрический потенциал на поверхности шара равен 120 В. Чему равны напряженность и потенциал
внутри этого шара? |
|
|||
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
||
ϕ ø = 120 Â. |
|
|
|
Так как электрическое поле внут- |
Найти |
|
|
|
ри заряженного проводника отсут- |
Eâí; ϕ âí. |
|
|
|
ствует, то напряженность поля внут- |
|
ри него равна нулю. Электрические |
|||
|
|
|
|
|
заряды на поверхности шара находятся в статическом, равновесном состоянии, т. е. разность потенциалов в любых двух точках, взятых на поверхности шара или внутри него, равна нулю, т. е. потенциалы всех точек проводника равны между собой. Следовательно, потенциал внутри металлического шара равен 120 В.
Ответ: Eâí = 0; ϕ âí = 120 Â.
2.9. Металлическому шару радиусом 0,1 м сообщен заряд –5 нКл. Определить напряженность и потенциал электрического поля в центре шара.
Äàíî:
r = 10–1 ì,
Q = –5æ10–9 Êë, ε = 1.
Найти:
E; ϕ .
Решение. Напряженность электрического
поля в центре шара равна нулю, т. е. E = 0, так как все заряды располагаются на поверхности шара.
67
Потенциал в центре шара равен потенциалу электри- ческого поля на его поверхности, так как поверхность металлического шара эквипотенциальна. Поэтому запишем
|
|
ϕ |
= |
Q |
= |
9 |
109Q |
; |
||
|
|
4πε ε0 r |
|
|
ε r |
|||||
ϕ |
= |
9 109 Í / ì2 (− 5 10− 9) Êë |
= –450 Â. |
|||||||
|
Êë2 10− 1 |
ì |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: E = 0; ϕ = –450 Â.
3.Электрическая емкость. Конденсаторы
3.1.Обладает ли электрической емкостью незаряженный проводник?
Решение.
Электрическая емкость проводника зависит от его формы, размеров, площади внешней поверхности и от свойств окружающей среды, но не зависит ни от массы, ни от рода вещества, ни от заряда, т. е. незаряженный (нейтральный) проводник обладает электроемкостью.
Ответ: Да.
3.2. Плоскому конденсатору электроемкостью 500 пФ сообщен заряд 2ж10–6 Кл. Определить энергию электри- ческого поля конденсатора.
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|||||
C = 5æ10–10 Ô, |
|
Энергия электрического поля за- |
|||||||||||
Q = 2æ10–6 Êë. |
ряженного конденсатора W = |
QU |
. |
||||||||||
Найти |
|
|
|||||||||||
2 |
|||||||||||||
W. |
|
Согласно определению, электроем- |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
кость C = |
Q |
, откуда U = |
Q |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
C |
||||||
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 10−12 Êë2 |
|
|
|
|
|||||
W = |
Q |
; W = |
|
|
= 4æ10–3 Äæ. |
||||||||
|
2 5 10−10 Ô |
||||||||||||
2C |
|||||||||||||
Ответ: W = 4æ10–3 Äæ.
68
3.3. При сообщении конденсатору заряда 5ж10–6 Кл его энергия оказалась равной 0,01 Дж. Определить напряжение на обкладках конденсатора.
Äàíî: |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Энергия электрического поля за- |
|||||
Q = 5æ10–6 Êë, |
|
|
|||||||
W = 0,01 Äæ. |
|
ряженного конденсатора |
|||||||
|
|
|
|
|
QU |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
W = |
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
U. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
отсюда напряжение на обкладках |
||||||
|
|
|
|
||||||
конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
2W |
; U = |
|
2 10− 2 |
Äæ |
= 4æ103  = 4 êÂ. |
|||
Q |
|
5 10− 6 |
Êë |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: U = 4 êÂ.
3.4. Напряженность электрического поля конденсатора электроемкостью 0,8 мкФ равна 1000 В/м. Определить энергию электрического поля конденсатора, если
расстояние между его обкладками равно 1 мм. |
|
||||||||
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
C = 0,8æ10–6 Ô, |
|
|
Так как энергия электрического |
||||||
E = 103 Â/ì, |
|
|
2 |
|
|
||||
d = 10–3 ì. |
|
|
поля конденсатора W = |
CU |
, à ïî- |
||||
2 |
|||||||||
Найти |
|
|
|
тенциал и напряженность связаны со- |
|||||
W. |
|
|
отношением U = Ed, получим |
|
|||||
|
|
|
|||||||
W = |
Cd2E2 |
; W = |
0,8 10− 6 Ô 10− 6 ì2 106 Â2 |
= 4æ10–7 |
Äæ. |
||||
|
2 ì2 |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: W = 4æ10–7 Äæ.
3.5. Определить электроемкость батареи конденсаторов, изображенной на рис. 10, если электроемкости конденсаторов одинаковы и равны 600 мкФ каждая.
Ðèñ. 10
69
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|||
|
|
|||||
C1 = C2 = |
|
|
Конденсаторы C1 è C2 соединены |
|||
= C3 = C = |
|
|
последовательно, поэтому |
|||
= 600 ìêÔ. |
|
|
|
C1C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти |
|
|
C1–2 = |
. |
||
|
||||||
Cá. |
|
|
|
C1 + C2 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Конденсаторы C1–2 è C3 соедине- |
|||
ны параллельно, поэтому |
|
|
||||
C2
Cá = C1–2 + C3 = 2C + C = 1,5 Ñ;
Cá = 600 мкФж1,5 = 900 мкФ. Ответ: Cá = 900 ìêÔ.
4. Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи
4.1. Определить скорость дрейфа электронов проводимости в медном проводнике, по которому проходит ток 5 А, если площадь его поперечного сечения 20 мм2, концентрация электронов проводимости n0 = 9æ1028 ì–3. За какое время электрон переместится по проводнику на 1 см? Электрический ток постоянный.
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|||
|
|
||||||
I = 5 À, |
|
|
Скорость дрейфа электро- |
||||
S = 2æ10–5 ì2, |
|
|
нов проводимости определим |
||||
n = 9æ1028 ì–3, |
|
|
из формулы l = en0Sv: |
||||
0 |
|
|
|
||||
l = 10–2 ì, |
|
|
|
|
|
|
|
e = 1,6æ10–19 Êë. |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
v = |
; |
||
Найти: |
|
|
|
|
|||
en0S |
|||||||
v; t. |
|
|
|
|
|
|
|
5 À |
|
|
|
||||
v = |
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|||
1,6 10− 19 |
Êë 9 1028 ì− 3 2 10− 5 ì2 |
|
|||||
= 1,74æ10–5 ì/ñ = 0,0174 ìì/ñ.
70
Принимая среднюю скорость дрейфа электронов проводимости постоянной в постоянном токе, получим
t = |
l |
; t = |
10− 2 ì |
= 575 ñ = 9 ìèí 35 ñ. |
|
v |
|
1,74 10- 5 ì / ñ |
|||
Ответ: v = 0,0174 ìì/ñ; t = 9 ìèí 35 ñ.
4.2. Определить концентрацию электронов проводимости (число электронов в 1 м3) в цинке, если плотность цинка ρ = 7,1ж103 êã/ì3 и его молярная масса M = 65,4æ10–3 кг/моль. Число электронов проводимости равно числу атомов в металле.
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|||||
|
|
|||||||
V = 1 ì3, |
Число атомов в металле |
|||||||
ρ = 7,1æ103 êã/ì3, |
|
m |
|
|
|
|
||
M = 65,4æ10–3 êã/ìîëü, |
n = |
NÀ, íî m = ρ V, поэтому |
||||||
|
||||||||
NA = 6,02æ1023 ìîëü–1. |
|
M |
|
|
||||
Найти |
|
|
|
n = |
ρ VNA |
; |
||
n. |
|
|
|
M |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
7,1 103 êã / ì3 1 ì3 6,02 1023 |
|
|
|||||
n = |
|
|
= 6,5æ1028. |
|||||
65,4 10− 3 ìîëü− 1 êã ìîëü |
||||||||
Ответ: n = 6,5æ1028.
4.3. Является ли источник тока источником электри- ческих зарядов в цепи? Объяснить.
Решение.
В источнике тока под действием сторонних сил происходит непрерывное разделение электрических зарядов, в результате чего на его полюсах поддерживается разность потенциалов. Таким образом, источник тока не создает заряды: заряды невозможно ни создать, ни унич- тожить. Заряды могут только перемещаться. Источник тока можно сравнить с насосом, который, подавая жидкость по трубам на некоторую высоту, создает разность потенциальных уровней. Как насос не создает жидкость, так и источник тока не создает электрических зарядов.
Ответ: Нет.
71
4.4. Через лампочку накаливания течет ток 0,8 А. Сколько электронов проводимости (свободных электронов) проходит через поперечное сечение волоска лампы в 1 с?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
I = 0,8 À, |
|
Сила тока, по определению, |
|||||||||
t = 1 ñ, |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|||
e = 1,6æ10–19 Êë. |
|
I = |
, откуда Q = It. Тогда |
||||||||
|
t |
||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N. |
|
|
|
|
N = |
Q |
It |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
e |
e |
||||
|
|
0,8 À 1 ñ |
|
|
|
||||||
N = |
|
= 5æ1018. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
1,6 10− 19 Êë |
|
|
|||||||||
Ответ: N = 5æ1018.
4.5. Определить разность потенциалов на концах резистора сопротивлением 50 Ом, по которому идет ток 2 А. Построить вольт-амперную характеристику этого резистора.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
R = 50 Îì, |
|
Согласно закону Ома |
I = 2 À. |
|
ϕ 1 – ϕ 2 = IR; |
Найти |
|
|
|
|
|
ϕ 1 – ϕ 2. |
|
ϕ 1 – ϕ 2 = 2 Àæ50 Îì = 100 Â. |
|
||
|
|
На рис. 11 дана вольт-амперная характеристика проводника.
Ðèñ. 11
Ответ: ϕ 1 – ϕ 2 = 100 Â.
72
5.Закон Ома для полной цепи
5.1.ЭДС источника электрической энергии равна
100В. При внешнем сопротивлении 49 Ом сила тока в цепи 2 А. Найти падение напряжения внутри источника и его внутреннее сопротивление.
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
||||
|
|
|
|
||||||
1 = 100 Â, |
|
|
Закон Ома для полной цепи |
||||||
R = 49 Îì, |
|
|
|
|
|
I = |
1 |
, |
|
I = 2 À. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
R + r |
|||||
Найти: |
|
откуда получим 1 = IR + Ir, èëè |
|||||||
Uвнутр; r. |
|
|
|
|
Uвнутр = 1 – IR; |
||||
|
|
|
|
||||||
Uвнутр = 100 Â – 2 Àæ49 Îì = 2 Â; |
|||||||||
r = |
Uвнутр |
; r = |
|
2 Â |
= 1 Îì. |
||||
|
I |
|
2 À |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: Uвнутр = 2 Â; r = 1 Îì.
5.2. Какую работу должна совершить сторонняя сила при разделении зарядов + 10 и –10 Кл, чтобы ЭДС источника тока была 3,3 В?
Äàíî: |
Решение. |
||
Q1 |
= 10 Êë, |
При разделении зарядов Q1 è |
|
Q2 |
= –10 Êë, |
Q2 сторонняя сила совершила рабо- |
|
1 = 3,3 Â. |
ту по перемещению заряда | Q1 | = |
||
Найти |
|||
= | Q2 | = 10 Кл, потому что электро- |
|||
A. |
|
ны, общий заряд которых –10 Кл, |
|
|
|||
были переброшены от положительного полюса источника тока на отрицательный. Эта работа
A = Q1, A = 10 Êëæ3,3 Â = 33 Äæ.
Ответ: A = 33 Äæ.
5.3. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, если при внешнем сопротивлении 3,9 Ом сила тока в цепи равна 0,5 А, а при внешнем сопротивлении 1,9 Ом — 1 А.
73
Äàíî:
R1 = 3,9 Îì, I1 = 0,5 À,
R2 = 1,9 Îì, I2 = 1 À.
Найти:
1; r.
Решение.
Используя закон Ома для полной цепи, составим систему уравнений:
1 = I1(R1 + r),
1 = I (R + r).
2 2
Решив систему уравнений, полу- чим
1 |
= |
I1I2(R1 − R2 ) |
; r |
= |
|
I1R1 |
− I2R2 |
; |
|||
|
|
|
|
I2 − I1 |
|||||||
|
I2 − I1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 = |
|
0,5 À 1 À 2 Îì |
|
= 2 Â; |
|
|||||
|
0,5 |
À |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r = |
0,5 À 3,9 Îì − 1 À 1,9 Îì |
= 0,1 Îì. |
|||||||||
|
|
0,5 À |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1 = 2 В; r = 0,1 Îì.
5.4. Определить силу тока при коротком замыкании батареи с ЭДС 12 В, если при замыкании ее на внешний резистор сопротивлением 4 Ом сила тока в цепи равна 2 А. Почему при коротком замыкании падение напряжения на внешнем участке цепи близко к нулю, хотя в этом случае в цепи существует наибольший ток?
Äàíî:
1 = 12 Â, R = 4 Îì, I = 2 À.
Найти
Iê.ç.
1I
Iê.ç. = 1 − IR
Решение.
Используя закон Ома для полной цепи и учитывая, что при коротком замыкании R = 0, находим
|
I = 1 |
; |
r = 1 − IR ; |
||||
|
ê.ç. |
r |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||
; Iê.ç. = |
|
|
12 Â 2 À |
|
= 6 À. |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
12 Â − 2 À |
4 |
Îì |
||||
|
|
|
|||||
Ответ: Iê.ç. = 6 А. При коротком замыкании R → 0, поэтому и U → 0, òàê êàê U = IR, и работа сил электри-
ческого поля по перемещению зарядов практически равна нулю.
74