zadachi_с решениями
.pdf
Из рис. 26 находим
BD = AB – AD =
= AB – AC cos 30° =
= AB (1 – cos 30°) = l (1 – cos 30°).
Вычисляем:
œEï = mgl (1 – cos 30°);
Ðèñ. 26
œEï = 0,1 êãæ10 ì/c2æ1 ìæ0,134 =
= 0,134 Äæ.
Ответ: œEï = 0,134 Äæ.
1.3. Тело массой 10 кг, привязанное за нить к подвеске, отклонено от положения равновесия на угол 30°. Определить возвращающую силу. Сделать чертеж.
Решение.
Возвращающая сила всегда перпендикулярна силе натя-
жения нити, т. е.
G
ñèëå T . В силовом треугольнике ABC óãîë ABC — прямой, угол BCA = α = 30° (ðèñ. 27).
F = P sin α = mg sin α ;
Ðèñ. 27
F = 10æ9,8æsin 30° = 49 Í.
Ответ: F = 49 Í.
1.4. Определить ускорение свободного падения математического маятника длиной 66 см, расположенного на поверхности Юпитера, если он колеблется с периодом 1 с. Юпитер — самая большая планета Солнечной системы.
115
Äàíî: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
l = 0,66 ì, |
|
|
|
|
Период колебаний математическо- |
|||||||
T = 1 ñ. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
|
|
|
|
|
го маятника |
|
l |
; отсюда |
|||
gÞ. |
|
|
|
|
|
|
T = 2p gÞ |
|||||
g |
|
= |
4π |
2l |
; g |
|
= |
4 3,142 0,66 ì |
= 26 ì/ñ2. |
|||
Þ |
|
2 |
Þ |
|
||||||||
|
|
T |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ñ |
|
|
|
|
Ответ: gÞ = 26 ì/ñ2.
1.5. Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда колебания равна 10 см, период колебания 0,4 с и начальная фаза колебания равна нулю.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
A = 0,1 ì, |
|
Искомое уравнение гармоническо- |
|||||||
T = 0,4 ñ, |
|
го колебания: |
|
|
|
|
|||
ϕ 0 = 0. |
|
|
|
x = A sin |
2π |
t+ ϕ 0 |
|
|
|
Найти |
|
|
|
; |
|||||
|
|||||||||
x. |
|
|
|
|
T |
|
|
||
|
|
6,28 |
|
|
|
|
|
||
x = 0,1 sin |
t; x = 0,1 sin 15,7t. |
|
|
||||||
0,4 |
|
|
|||||||
Ответ: x = 0,1 sin 15,7t.
2.Волновое движение
2.1.Ультразвуковой генератор, создающий колебания с частотой 80 кГц, посылает импульс продолжительностью 0,002 с. Сколько ультразвуковых волн содержится
âодном импульсе?
Äàíî: |
Решение. |
|
|
|
||
ν = 8æ104 Ãö, |
|
|
t |
|
1 |
|
t = 0,002 ñ. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Число колебаний n = T , ãäå T = |
ν — |
||||
|
|
|||||
Найти |
|
|||||
|
период колебаний; отсюда |
|
|
|||
n. |
|
|
|
|||
|
n = tν ; |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
n = 0,002 ñæ8æ104 ñ–1 = 160 (число волн). |
|
|
||||
Ответ: 160. |
|
|
|
|
|
|
116
2.2. Разность хода двух когерентных волн в данной точке равна 10 м. Длина волны 4 м. Усиливаются или ослабляются колебания в данной точке?
Äàíî:
œs = 10 ì, λ = 4 ì.
Найти
∆λs .
2
Решение.
Условие максимума или минимума при интерференции когерентных
âîëí: œs = n 2λ . Åñëè n — четное чис-
ло, то будет усиление интенсивности колебаний, если n — нечетное число, то – ослабление. Находим n:
n = ∆λs = 102 ìì = 5.
2
Так как разность хода двух когерентных волн равна не- четному числу полуволн, то в рассматриваемой точке среды будет наблюдается ослабление колебаний.
Ответ: n = 5; колебания ослабляются.
2.3. Лодка качается на морских волнах с периодом 2 с. Определить длину морской волны, если она движется со скоростью 3 м/с.
Äàíî: |
Решение. |
T = 2 ñ, |
Длина волны и скорость ее распро- |
v = 3 ì/ñ. |
странения связаны соотношением: |
Найти |
λ = vT; |
λ . |
|
|
находим |
|
λ = 3 ì/ñæ2 ñ = 6 ì. |
Ответ: 6 м. |
|
2.4. Диск сирены имеет 20 отверстий и совершает 25 об/с. Определить длину волны звука, возбуждаемого сиреной, если фазовая скорость волны 340 м/с.
117
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
n = 20, |
Длина волны λ = |
v |
; частота ко- |
||||||
f = 25 ñ–1, |
|||||||||
ν |
|||||||||
v = 340 ì/ñ. |
лебаний источника волн ν = nf. Îò- |
||||||||
|
|||||||||
Найти |
ñþäà |
|
|
|
|
|
|||
λ . |
|
v |
|
340 ì / c |
|||||
|
|
|
|||||||
|
λ = |
|
; λ |
= |
|
= 0,68 ì. |
|||
|
nf |
20 25 ñ− 1 |
|||||||
Ответ: l = 0,68 ì.
2.5. Ультразвуковой сигнал, посланный с корабля вертикально вниз, возвратился через 6 с. Определить глубину моря, если скорость распространения звука в морской воде равна 1,3 км/с.
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
t = 6 ñ, |
|
Путь, пройденный ультразвуковым |
|||||
v = 1300 ì/ñ. |
|
сигналом, равен 2H = vt; отсюда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
H = |
vt |
; H = |
1300ì/c 6 ñ |
= |
|
H. |
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|||||
= 3900 ì = 3,9 êì.
Ответ: H = 3,9 êì.
3. Электромагнитные колебания. Колебательный контур
3.1. Определить период и частоту собственных электромагнитных колебаний контура, если его индуктивность 1 мГн, а электроемкость 100 нФ.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
L = 10–3 Ãí, |
|
Согласно формуле Томсона, пери- |
C = 10–7 Ô. |
|
од собственных колебаний |
Найти: |
|
T = 2π LC ; |
T; ν . |
|
|
|
находим
T = 2æ3,14æ10–5 ñ = 62,8 ìêñ.
118
Частота и период колебаний связаны соотношением ν = T1 ; отсюда
1
ν = 6,28 10− 5 ñ = 15,92 êÃö. Ответ: T = 62,8 ìêñ; n = 15,92 êÃö.
3.2. Изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходит по закону Q = 10–6cos (5,024æ107)t. Определить максимальный заряд конденсатора и частоту электромагнитных колебаний в контуре.
Äàíî:
Q = 10–6cos (5,024æ107)t.
Найти:
Qm; ν .
Решение.
Исходя из закона колебаний заряда в колебательном контуре
Q = Q0 cos 2pnt,
получим значения искомых величин:
Qm = 10–6 Êë; 2πν = 5,024æ107, ν = 8 ÌÃö.
Ответ: Qm = 10–6 Êë; ν = 8 ÌÃö.
3.3. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 6 мкФ и катушки индуктивностью 0,24 Гн. Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальное напряжение на обкладках конденсатора равно 400 В. Сопротивление контура принять равным нулю.
Äàíî:
C = 6æ10–6 Ô, L = 0,24 Ãí, Um = 400 Â, R = 0.
Найти
Im.
Решение.
На основании закона сохранения
|
CU2 |
|
LI2 |
||
и превращения энергии |
m |
= |
m |
, |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
I = U |
C |
, I |
= 400 Âæ |
6 10−6 Ô |
= 2 À. |
m |
m L |
m |
|
0,24 Ãí |
|
Ответ: 2 А.
119
3.4. Составить уравнение гармонического колебания силы тока в колебательном контуре, если амплитудное значение силы тока равно 0,35 А и период колебания 0,0005 с. Начальная фаза колебания равна нулю.
Äàíî:
Im = 0,35 À, T = 5æ10–4 ñ, j0 = 0.
Найти i(t).
Решение.
Уравнение гармонического колебания тока в колебательном контуре
i = I |
|
2π t |
+ ϕ |
|
|
|
|
|||
sin |
|
|
|
0 |
|
= |
||||
T |
||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
||||
= 0,35 sin |
|
2π t |
|
|
|
= |
||||
|
5 10−4 |
|
|
|||||||
= 0,35 sin (4π æ103)t = 0,35 sin 12 560t.
Ответ: i = 0,35 sin 12 560t.
3.5. Определить силу тока в колебательном контуре в момент полной разрядки конденсатора, если энергия электрического тока в катушке 4,8ж10–3 Дж, а индуктивность катушки 0,24 Гн.
Äàíî:
W = 4,8æ10–3 Äæ, L = 0,24 Ãí.
Найти
Im.
2
íî, W = LIm , откуда
2
Решение.
В момент полной разрядки конденсатора энергия колебательного контура сосредоточе- на в магнитном поле катушки индуктивности. Следователь-
I = 2W |
; I |
|
= |
2 4,8 10−3 Ä æ |
= 0,2 À. |
|
m |
|
|||||
m |
L |
|
0,24 Ãí |
|
||
|
|
|
|
|||
Ответ: Im = 0,2 À.
3.6. Определить период и частоту собственных колебаний контура, изображенного на рис. 28, если L = 3æ10–4 Ãí, C1 = C2 = C3 = 10–6 Ô.
120
Äàíî:
L = 3æ10–4 Ãí,
C1 = C2 = C3 = = C = 10–6 Ô.
Найти:
T; ν .
Ðèñ. 28
Решение.
Так как три конденсатора соединены параллельно, то электроемкость батареи равна
Cá = 3C = 3æ10–6 Ô.
Из формулы Томсона находим период свободных колебаний T = 2π 
LCá ;
T = 6,28
3 10− 4 Ãí 3 10− 6 Ô = 18,84æ10–5 ñ;
ν = 1/T, ν = 5,308 кГц. Ответ: T = 18,84æ10–5 ñ; ν = 5,308 êÃö.
3.7. В колебательном контуре совершаются незатухающие электромагнитные колебания. Определить силу тока в контуре при t = 0,002 с от начала отсчета, если заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону Q = 2æ10–5 sin 500π t.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
Q = 2æ10–5 sin 500pt, |
|
Найдем производную от за- |
t = 2æ10–3 ñ. |
|
ряда и запишем уравнение гар- |
Найти |
|
монического колебания силы |
i. |
|
тока в колебательном контуре, |
|
|
а затем вычислим мгновенное значение силы тока при t = 0,002 ñ:
i = Q = ddQt = 2æ10–5 cos 500π tæ500π = = 2æ10–5æ500π cos 500π t = 0,01π cos 500π t.
Ïðè t = 0,002 ñ
i = 0,01 cos 500π æ0,002 = 0,01π cos π = –0,01π , i = – 0,0314 А. Ответ: i = – 0,0314 À.
121
4. Вынужденные электрические колебания. Переменный ток
4.1. Магнитный поток в рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, изменяется по закону Φ = 3ж10–2 cos 157t. Найти зависимость мгновенного значения ЭДС индукции, возникающей в рамке, от времени. Определить максимальное и действующее зна- чения ЭДС, период и частоту тока.
Äàíî:
Φ= 3æ10–2 cos 157t.
Найти:
e(t); 1m; 1ä; T; ν .
Решение.
По закону электромагнитной индукции Фарадея e = – ∆Φ∆ t .
Мгновенное значение ЭДС, возникающей в рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, равно первой производной от магнитного потока по времени, взятой со знаком минус:
e= – Φ (t) = –3(–3æ10–2æ157 sin 157t) = 4,71 sin 157t. Из полученного уравнения определим: 1m = 4,71 Â;
1ä = 0,7071m |
= 3,33 Â; |
2π |
|
= 157; T = 0,04 ñ; ν = |
1 |
; |
T |
|
T |
||||
|
|
|
|
|
||
ν = 25 Ãö. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1m |
= 4,71 Â; |
1ä = 3,33 Â; T = 0,04 ñ; |
||||
n= 25 Ãö; e(t) = 4,71 sin 157t.
4.2.Определить амплитудное и действующее значе- ния переменной ЭДС, возникающей в рамке при ее вра-
щении с постоянной скоростью в однородном магнитном поле, если при угле поворота рамки на 45° мгновенное значение ЭДС равно 156 В.
Äàíî:
α = 45°,
e = 156 Â.
Найти:
1m; 1ä.
Решение.
Мгновенное значение ЭДС, возникающей в рамке при равномерном вращении в однородном магнитном поле, прямо пропорционально сину-
122
су угла поворота плоскости рамки относительно направления линий индукции магнитного поля: e = 1m sin α . Отсюда
1 = |
e |
, 1 = |
156 Â |
= 156 Â = 220,6 Â; |
|
sin 45° |
|||||
|
|||||
m |
sinα |
m |
0,707 |
||
|
|
1ä = 0,7071m = 0,707æ220,6 Â = 156 Â.
Ответ: 1m = 220,6 Â; 1ä = 156 Â.
4.3. Катушка индуктивностью 20 мГн включена в сеть промышленного переменного тока. Определить индуктивное сопротивление катушки.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
L = 0,02 Ãí, |
|
Индуктивное сопротивление ка- |
ν = 50 Ãö. |
|
тушки |
Найти |
|
XL = 2πν L. |
XL. |
|
Вычисляя, находим |
|
XL = 2æ3,14æ50 ñ–1ж0,02 Омжс = 6,28 Ом. Ответ: XL = 6,28 Îì.
4.4. Конденсатор электроемкостью 10–6 Ф включен в сеть переменного тока с частотой 50 Гц. Определить емкостное сопротивление конденсатора.
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|
|||
|
|
|
|||||
C = 10–6 Ô, |
Емкостное сопротивление конден- |
||||||
ν = 50 Ãö. |
сатора |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
XC = |
1 |
|
; |
|
X . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
C |
|
|
2πν |
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
XC = |
1 |
|
|
|
= 3185 Îì. |
|
|
6,28 50 ñ− 1 10− 6 |
Ô |
||||
Ответ: XC = 3185 Îì.
4.5. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 5 мГн и конденсатора электроемкостью 200 мкФ. Определить резонансную частоту электромагнитных колебаний. Активное сопротивление контура мало.
123
Äàíî:
L = 5æ10–3 Ãí, C = 2æ10–4 Ô.
Найти
ν .
Решение.
Так как активное сопротивление мало, то резонансная частота равна частоте собственных колебаний кон-
1
òóðà ν = 2π LC ; находим
ν = |
1 |
= |
103 ñ− 1 |
= 159,2 Ãö. |
6,28 |
5 10− 3 Ãí 2 10− 4 Ô |
|
6,28 |
|
Ответ: n = 159,2 Ãö.
4.6. Как изменится индуктивное сопротивление катушки, если ее включить в цепь переменного тока с ча- стотой 10 кГц вместо 50 Гц?
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ν 1 = 50 Ãö, |
|
Используя формулу индуктивно- |
|||||||||||
ν 2 = 10 000 Ãö. |
го сопротивления катушки XL = |
||||||||||||
Найти |
|
= 2pnL, находим |
|
|
|
|
|
|
|||||
X L |
: X L . |
|
|
X L |
|
2πν |
2 |
L |
ν |
2 |
|
||
|
|
|
|
||||||||||
2 |
1 |
|
|
2 |
= |
|
|
= |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
X L |
2πν 1L |
ν 1 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X L |
= |
10 000 Ãö |
= 200. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X L |
50 Ãö |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: X L2 : X L1 = 200.
4.7.Конденсатор электроемкостью 0,5 мкФ включен
âсеть переменного тока. Определить период колебаний переменного тока, если емкостное сопротивление конденсатора равно 20 Ом.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
C = 5æ10–5 Ô, |
|
Из формулы емкостного сопротив- |
XC = 20 Îì. |
|
ления выразим T: |
Найти |
|
T = 2π CXC; |
T. |
|
|
|
T = 6,28æ5æ10–5 Ôæ20 Îì = 6,28 ìñ. |
|
|
|
|
Ответ: T = 6,28 ìñ. |
||
124