zadachi_с решениями
.pdf
ломления которых различны, длины волн прямо пропорциональны скоростям распространения света в этих средах.
Ответ. Пусть частота монохроматического света ν , тогда скорость распространения света в одной среде v1 = λ 1ν , а скорость распространения света в другой среде v2 = λ 2ν , ãäå λ 1 è λ 2 — длины волн в этих средах.
Следовательно, |
v1 |
= |
λ 1 |
|
ν |
= |
λ 1 |
. |
v2 |
λ 2 |
|
ν |
|
||||
|
|
|
|
λ 2 |
||||
8.11. Показатель преломления стекла для оранжевых лучей 1,514, а для синих 1,528. Какие лучи имеют боRльшую длину волны в вакууме?
Ответ. Показатель преломления среды зависит от скорости распространения монохроматических лучей:
n = |
c |
; n = |
c |
. Òàê êàê n |
< n , òî |
c |
< |
c |
, отсюда |
v |
v |
|
|
||||||
î |
c |
o |
c |
v |
vc |
||||
|
î |
|
c |
|
|
î |
|
|
|
vc < vo èëè λ cν < λ oν , ò. å. λ c < λ o. Оранжевые лучи имеют боRльшую длину волны в вакууме, чем синие.
Квантоваяфизика
1.Энергия кванта
1.1.Определить, чему равен квант энергии, соответствующий длине световой волны 0,6 мкм.
Äàíî:
l = 0,6 ìêì = 6æ10–7 ì, c = 3æ108 ì/ñ,
h = 6,62æ10–34 Äææñ.
Найти e.
Решение.
Энергия кванта e = hn, ãäå h — постоянная Планка; n — частота света. Частота света и длина световой волны связаны соотношением c = ln, ãäå
135
c — скорость света в вакууме. Следовательно,
e = |
hc |
; e = |
6,62 10−34 3108 |
Äæ = 3,31æ10–19 Äæ. |
λ |
6 10−7 |
Ответ: e = 3,31æ10–19 Äæ.
1.2. Сколько фотонов за 1 с испускает электрическая лампа накаливания, полезная мощность которой 60 Вт, если длина волны излучения составляет 662 нм?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
Решение. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
t = 1 ñ, |
|
|
|
Число фотонов, излучаемых |
||||||||
P = 60 Âò, |
|
|
|
лампой в 1 с, N = W/ε , ãäå |
||||||||
l = 662æ10–9 ì, |
|
W — энергия излучения лам- |
||||||||||
c = 3æ108 ì/ñ, |
|
|
|
пы в течение 1 с; ε |
— энергия |
|||||||
h = 6,62æ10–34 |
Äææñ. |
|||||||||||
одного |
фотона. |
Òàê êàê |
||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|||
N. |
|
|
|
W = Pt; ε |
|
|
||||||
|
|
|
= |
λ , òî |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
N = |
Ptλ |
; N = |
|
|
60 Âò 1 ñ 662 10− 9 |
ì |
|
|
= 2æ1020. |
|||
|
3 108 ì / ñ 6,62 10− 34 Äæ ñ |
|
||||||||||
ch |
||||||||||||
Ответ: N = 2æ1020.
1.3. Вычислить энергию фотона, если известно, что в
среде с показателем преломления 34 его длина волны l = 5,89æ10–7 ì.
Äàíî:
n = 34 ,
l = 5,89æ10–7 ì,
h = 6,62æ10–34 Äææñ.
Найти e.
Решение.
Энергия фотона
hc e = hn = λ 0 ,
ãäå h — постоянная Планка, n — частота световой волны,
136
l0 = nl — длина волны в вакууме (l — длина волны в среде). Отсюда
e = λhcn = |
6,62 10−34 3 108 3 |
Äæ = 2,5æ10–19 Äæ. |
5,89 10−7 4 |
Ответ: e = 2,5æ10–19 Äæ.
1.4. В среде распространяется свет, имеющий длину волны 5ж10–5 см и энергию кванта 3,3ж10–19 Дж. Определить абсолютный показатель преломления среды.
Äàíî:
l = 5æ10–5 ñì=5æ10–7 ì, e = 3,3æ10–19 Äæ,
h = 6,62æ10–34 Äææñ, c = 3æ108 ì/ñ.
Найти n.
êà: l0 = hcε . Тогда
Решение.
Абсолютный показатель преломления среды n = λλ 0 , ãäå
l0 — длина волны света в вакууме (воздухе). Длину волны l0 найдем из формулы План-
n = |
hc |
= |
6,62 10−34 Äæ ñ 3 108 ì/ñ |
= 1,2. |
|||
−19 |
−7 |
|
|||||
ελ |
ì |
||||||
|
|
3,3 10 |
Äæ 5 10 |
|
|||
Ответ: n = 1,2.
1.5. Синий свет имеет частоту 7,5ж1014 Гц. Какую энергию (в эВ) такой фотон может сообщить атому при столкновении? Достаточна ли эта энергия для ионизации атома?
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
n = 7,5æ1014 Ãö, |
|
Фотон синего света сообща- |
h = 6,62æ10–34 Äæ. |
|
ет атому энергию, равную |
Найти |
|
e = hn = |
e. |
|
= 6,62æ1034æ7,5æ1014 Äæ = |
|
|
= 4,95æ10–19 Äæ èëè e = 3,1 ýÂ (1 ýÂ = 1,6æ10–19 Äæ).
Ответ: e = 3,1 эВ. Энергия связи валентных электронов в атомах щелочных металлов имеет такой же поря-
137
док величины, поэтому фотоны синего света могут освобождать электроны (производить ионизацию атома) и вызывать в веществе химические превращения (выгорают краски, происходит фотосинтез и т. д.).
2.Тепловое излучение
2.1.Чугунная деталь массой 50 кг нагрета до температуры 600 K, а стальная деталь массой 5 кг нагрета до температуры 800 K. Какая деталь обладает большей энергетической светимостью и во сколько раз?
Решение.
На основании закона Стефана – Больцмана энергетическая светимость черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры и не зависит ни от массы тела, ни от рода вещества: R = σ T4. Поэтому
энергетическая светимость стальной детали будет больше, чем чугунной, так как ее температура больше. Определим, во сколько раз энергетическая светимость стальной детали больше, чем чугунной:
R2 = σ T2 4 ; R1 = σ T1 4 ,
тогда
R |
|
|
T |
4 |
|
R |
|
|
800 |
4 |
|
|
4 |
4 |
256 |
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
= |
T1 |
; |
R1 |
= |
600 |
= |
3 |
= 81 = 3,16. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: R2 : R1 = 3,16.
2.2. Определить энергетическую светимость голубой звезды спектрального класса O, если температура ее атмосферы T = 30 000 K. (Постоянная Стефана–Больцма- на σ = 5,67ж10–8 Âò/(ì2æK4)).
138
Äàíî:
T = 3æ104 K,
Âò
σ = 5,67æ10–8 ì2 K 4 .
Найти
R.
R = 5,67æ108
Решение.
Используя закон Стефана – Больцмана, находим энергетическую светимость
R = σ T4;
Âò
ì2 K 4 æ34æ1016 K4 =
=5,67æ81æ108 Âò/ì2 = 45,93æ109 Âò/ì2 d d 46 ÃÂò/ì2. Ответ: R = 46 ÃÂò/ì2.
2.3.Определить длину волны, на которую приходится максимум энергии излучения в спектре красной звезды
спектрального класса M, если температура ее атмосферы T = 3000 K. (Постоянная Вина b = 2,898æ10–3 ìæK.).
Äàíî:
T = 3æ103 K,
b = 2,898æ10–3 ìæK.
Найти
λ max.
Решение.
На основании закона Вина длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, равна
λ max = |
b |
; λ max = |
2,898 |
10− 3 |
ì K |
= 966 íì. |
T |
3 |
3 |
|
|||
|
|
10 K |
|
|||
Ответ: lmax = 966 íì.
3.Фотоэлектрический эффект
3.1.Определить красную границу фотоэффекта у хлористого натрия, работа выхода электронов которого равна 4,2 эВ.
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|||
Aâûõ = 4,2 ýÂ = |
|
|
|
||||
|
|
Из уравнения Эйнштейна |
|||||
= 6,72æ10–19 Äæ, |
|
|
|||||
для внешнего фотоэффекта |
|||||||
c = 3æ108 ì/ñ, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
h = 6,62æ10–34 Äææñ. |
h |
c |
= A + |
mv2 |
следует, что |
||
Найти |
|
λ |
âûõ |
2 |
|
||
|
|
|
|||||
λ êð. |
длина волны (красная грани- |
||||||
139
ца), с которой начинается фотоэффект, определяется из
условия |
|
mv2 |
= 0, ò. å. |
|
hc |
|
= Aâûõ, откуда |
||||
|
|
|
|
λ êð |
|||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
λ |
êð = |
|
ch |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
âûõ |
|
|
|
|
λ |
3 |
108 ì / ñ 6,62 10− 34 |
Äæ ñ |
||||||||
êð = |
|
|
|
= 295 íì. |
|||||||
|
4,2 1,6 10− 19 Äæ |
|
|||||||||
Ответ: lêð = 295 íì.
3.2. Работа выхода электронов из оксида меди 5,15 эВ. Вызовет ли фотоэффект ультрафиолетовое излучение длиной волны 300 нм?
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
||||
|
|
|
||||||
Aâûõ = 5,15 ýÂ = |
|
|
|
Для решения задачи необ- |
||||
= 8,24æ10–19 Äæ, |
|
ходимо найти красную грани- |
||||||
λ = 3æ10–7 ì, |
|
|
цу фотоэффекта у оксида меди |
|||||
c = 3æ108 ì/ñ, |
|
|
(см. задачу 3.1): |
|
||||
h = 6,62æ10–34 Äææñ. |
|
|||||||
Найти |
|
|
|
|
ch |
|
||
|
|
|
λ êð = A ; |
|||||
λ êð. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
âûõ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
108 ì/c 662, |
10− 34 Äæ ñ |
||||||
λ êð = |
|
|
|
|
|
= 2,41æ10–7 ì = 241 íì. |
||
|
|
− 19 |
Äæ |
|
||||
|
|
515, 16, 10 |
|
|
|
|
||
Фотоэффект не наступит, потому что наибольшая длина волны, при которой еще существует фотоэффект, λ êð = 241 нм, а данное ультрафиолетовое излучение имеет длину волны 300 нм, т. е. больше длины волны красной границы фотоэффекта.
Ответ: фотоэффект не наступит, так как данная длина волны (300 нм) больше lêð = 241 íì.
3.3. Красная граница фотоэффекта у цезия равна 653 нм. Определить скорость вылета фотоэлектронов при облучении цезия светом с длиной волны 500 нм. Масса электрона 9,1ж10–31 êã.
140
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
λ |
êð = 6,53æ10–7 ì, |
Запишем уравнение Эйн- |
|||||||||||
λ |
= 5æ10–7 ì, |
штейна для внешнего фото- |
|||||||||||
c = 3æ108 ì/ñ, |
|
ch |
|
ch |
|
|
mev2 |
|
|||||
h = 6,62æ10–34 Äææñ, |
эффекта: |
= |
+ |
|
. Îò- |
||||||||
λ êð |
|||||||||||||
λ |
|||||||||||||
me = 9,1æ10–31 êã. |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
Найти |
|
|
сюда найдем v: |
|
|
|
|
|
|||||
v. |
|
|
v = |
2ch(λ êð −λ ) ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
meλλ |
êð |
|
|
|
|
||
|
v = |
2 |
3 108 ì / ñ 6,62 10− 34 Äæ ñ 1,53 10− 7 |
ì |
= |
|
|||||||
|
|
9,1 10− 31 êã 5 10− 7 ì 6,53 10− 7 ì |
|
|
|
||||||||
= 4,5æ105 ì/ñ = 450 êì/ñ.
Ответ: v = 450 êì/ñ.
4. Эффект Комптона. Давление света
4.1. Определить массу фотона красного света, длина волны которого 720 нм.
Äàíî: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
λ = 7,2æ10–7 ì, |
|
Энергия фотона e = hn = |
|||||||||
h = 6,62æ10–34 Äææñ, |
|
|
|
||||||||
c = 3æ108 ì/ñ. |
|
|
= |
hc |
. Известно также, что |
||||||
|
λ |
||||||||||
Найти |
|
|
|
энергия фотона и его масса свя- |
|||||||
m. |
|
|
|||||||||
|
|
заны соотношением e = mc2. |
|||||||||
|
|
|
|
Тогда |
hc |
|
= mc2. Отсюда |
||||
|
|
|
|
λ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m = |
h |
; m = |
6,62 10− 34 Äæ ñ |
|
= 3æ10–36 êã. |
||||||
|
3 108 |
ì / ñ 7,2 10− 7 |
ì |
||||||||
cλ |
|||||||||||
Ответ: 3ж10–36 êã.
141
4.2. Определить импульс фотона голубого света, длина волны которого 500 нм, при его полном поглощении и полном отражении телом.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
||
λ = 5æ10–7 ì, |
|
Из законов сохранения |
||
h = 6,62æ10–34 Äææñ. |
|
энергии и импульса следует, |
||
|
|
что импульс фотона при его |
||
Найти: |
|
|||
pïîãë, pîòð. |
|
полном поглощении p = |
h |
, |
|
|
|
||
|
λ |
|||
|
ïîãë |
|
||
|
|
|
||
а при полном отражении pîòð = 2λh . Вычисляем:
p |
|
|
= |
6,62 10− 34 |
Äæ ñ |
= 1,324æ10–27 |
Íæñ; |
||
ïîãë |
5 10− 7 |
ì |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
p |
|
= |
2 |
6,62 10− 34 |
Äæ ñ |
= 2,648æ10–27 |
Íæñ. |
||
|
|
5 10− 7 ì |
|||||||
îòð |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: pïîãë = 1,324æ10–27 Íæñ; pîòð = 2,648æ10–27 Íæñ.
4.3. Определить силу светового давления солнечных лучей, падающих перпендикулярно на поверхность площадью 100 м2, если коэффициент отражения лучей равен 0,2 и солнечная постоянная E = 1,4æ103 Âò/ì2.
Äàíî:
S = 100 ì2, r = 0,2,
E = 1,4æ103 Âò/ì2, c = 3æ108 ì/ñ.
Найти
F.
Решение.
Из формулы для светового
давления p = FS = Ec (1 + r),
ãäå r — коэффициент отражения, находим
F = pS = ESc (1 + r);
F = |
1,4 103 |
Âò / ì2 100 |
ì2 1,2 |
= 5,6æ10–4 Í. |
||
|
3 10 |
8 |
ì / ñ |
|
||
|
|
|
|
|
||
Ответ: F = 5,6æ10–4 Í.
142
4.4. Наступит ли фотохимическая реакция в веществе при поглощении им фотонов с длиной волны 500 нм, если энергия активации молекулы данного вещества равна Eà = 2æ10–19 Дж/молекул?
Äàíî:
λ = 5æ10–7 ì,
Eà = 2æ10–19 Дж/молекул, c = 3æ108 ì/ñ,
h = 6,62æ10–34 Äææñ.
Найти
ε .
Решение.
При поглощении одного фотона энергия молекулы увели- чится на ε = ch/λ . Åñëè ε l Eà, то наступит фотохимическая реакция; если ε < Eà, то не наступит. Вычислим ε и сравним с энергией активации молекулы Eà:
ε = |
ch |
= |
3 108 ì / ñ 6,62 10− 34 |
Äæ ñ |
= |
λ |
5 10− 7 ì |
|
= 3,972æ10–19 Äæ.
Так как энергия поглощенного фотона (~4æ10–19 Дж) больше энергии активации молекулы (2ж10–19 Дж), то фотохимическая реакция наступит.
Ответ: фотохимическая реакция наступит.
5.Постулаты Бора
5.1.Наименьший радиус орбиты электрона в атоме
водорода, когда он находится в нормальном состоянии,
равен r1 = 0,528æ10–10 м. Определить радиус орбиты электрона и его линейную скорость, когда атом водорода находится на третьем энергетическом уровне.
Äàíî:
r1 = 0,528æ10–10 ì, n = 3,
me = 9,1æ10–31 êã,
= = 1,02æ10–34 Äææñ.
Найти: r3, v3.
Решение.
Радиус боровской орбиты для атома водорода увеличи- вается по мере удаления от ядра по закону rn = r1n2. Радиус орбиты электрона, если атом водорода находится на третьем энергетическом уровне равен
r3 = 0,528æ10–10 ìæ9 = 4,752æ10–10 ì = 0,48 íì.
143
Линейная скорость электрона на орбите у атома водорода определяется из формулы mevrn = = n, ãäå = = h/2π , n — главное квантовое число или порядковый номер стационарного состояния атома; me — масса электрона. Так
êàê mevrn |
= = n, òî v = |
n= |
|
. Тогда |
||||||
m r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
e n |
|||||
|
|
|
|
v |
= |
|
3= |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
mer3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
= |
|
3 |
1,02 10−34 Ä æ ñ |
|
|
|
= 7,08æ105 ì/ñ = 708 êì/ñ. |
||
|
10−31 êã 4,752 10−10 |
ì |
||||||||
3 |
9,1 |
|
|
|||||||
Ответ: r3 = 0,48 íì; v3 = 708 êì/ñ.
5.2. Какую минимальную энергию необходимо сообщить атому водорода, находящемуся в нормальном состоянии, чтобы он, поглотив ее, ионизировался? Энергия атома водорода в нормальном состоянии E1 = – 13,53 ýÂ.
Решение.
Ионизировать атом водорода — это значит оторвать электрон от протона, вокруг которого он вращается, т. е. необходимо совершить работу по удалению электрона из атома. Для этого следует сообщить электрону минимальную энергию E, равную энергии связи электрона с ядром атома в нормальном состоянии. Эта энергия будет равна работе ионизации. Для атома водорода в нормальном состоянии она равна |E1|. Следовательно, атом водорода будет ионизирован, если поглотит минимальную энергию, равную 13,53 эВ.
Ответ: E = 13,53 ýÂ.
5.3. Определить длину волны электромагнитного излучения атома водорода при переходе его с пятого энергетического уровня на второй.
144