zadachi_с решениями
.pdf
Äàíî:
Q = 4æ1010 Äæ, V = const.
Найти:
œU; A.
Решение.
На основании первого нача- ла термодинамики имеем Q = œU + A. При изохорном процессе œV = 0, поэтому A = pœV = 0. Следовательно,
œU = Q, œU = 4æ1010 Äæ.
Внутренняя энергия газа увеличится за счет подводимой теплоты на 4ж1010 Äæ.
Ответ: œU = 4æ1010 Äæ; A = 0.
4.6. На сколько повысится температура воды при падении с плотины Саяно-Шушенской ГЭС высотой 222 м, если считать, что 30% потенциальной энергии воды расходуется на ее нагревание? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кгжK).
Решение.
Потенциальная энергия падающей воды переходит в кинетическую и внутреннюю,
ò. å. Eï → Eê + œU. Ïî óñëî-
вию задачи, œU = η Eï. Следовательно, η mgh = cmœT, ãäå cmœT — количество теплоты,
расходуемой на нагревание воды, откуда
œT = |
η gh |
, œT = |
0,3 9,8 ì / ñ2 222 ì |
= 0,155 K. |
|
4200 Äæ / (êã K) |
|||||
c |
Ответ: œT = 0,155 K.
4.7. Четыре моля углекислого газа CO2 нагреты при постоянном давлении на 100 K. Определить работу расширения, изменение внутренней энергии газа и количе- ство теплоты, сообщенное этому газу.
45
Äàíî:
ν = 4 ìîëü, p = const, T = 100 K,
R = 8,31 Дж/(мольжK).
Найти:
A; œU; Q.
Решение.
Согласно первому закону термодинамики количество теплоты, сообщаемое газу,
Q = œU + A,
ãäå œU — изменение внутренней энергии, A — работа расширения. По условию
A = ν RœT; œU = 3ν RœT = 3A; Q = œU + A = 4A.
Находим:
A = 4 мольж8,31 Дж/(мольжK)ж100 K =
= 3324 Äæ = 3,324 êÄæ; œU = 3æ3,324 êÄæ = 9,972 êÄæ; Q = 4æ3,324 êÄæ = 13,296 êÄæ.
Ответ: A = 3,324 êÄæ; œU = 9,972 êÄæ; Q = 13,296 êÄæ.
4.8. При медленном изотермическом процессе газу передано 8ж106 Дж теплоты. Какую работу совершил газ? Что произойдет с его объемом?
Äàíî:
Q = 8æ106 Äæ, T = const.
Найти
A.
Решение.
Так как температура постоянная, то œT = 0 и, следовательно, œU = 0. Из первого начала термодинамики Q = œU + A следует
A = Q = 8æ106 Äæ.
Газ совершил работу за счет подводимой к нему теплоты при медленном изотермическом процессе, отчего его объем увеличился.
Ответ: A = 8æ106 Дж; объем газа увеличится.
4.9. Для закалки нагретую до 1073 K стальную деталь массой 0,5 кг опустили в воду массой 10 кг при температуре 288 K. До какой температуры охладится стальная деталь?
46
Äàíî:
T1 = 1073 K, mc = 0,5 êã,
cñ = 460 Äæ/(êãæK), mâ = 10 êã,
câ = 4200 Äæ/(êãæK), T2 = 288 K.
Найти
Θ .
Решение.
На основании закона сохранения энергии составим уравнение теплового баланса и решим его относительно Θ :
Θ = cñmñT1 + câmâT2 ; cñmñ + câmâ
Θ = |
460 0,5 1073+4200 10 288 |
K = |
12 342 790 |
K = 292,3 K. |
|
460 0,5+4200 10 |
|
42 230 |
|||
Ответ: Θ = 292,3 K.
4.10. При адиабатном процессе над газом совершена работа œA = – 3æ109 Дж. Как изменилась при этом внутренняя энергия газа? Что произойдет с газом — охлаждение или нагревание?
Äàíî:
A=– 3æ109 Äæ, Q = 0.
Найти
œU.
Решение.
Применим первое начало термодинамики к адиабатному процессу и получим
0 = œU + A;
œU = – A = – (– 3æ109 Äæ) = 3æ109 Äæ.
Внутренняя энергия газа увеличится на 3ж109 Дж, газ нагреется.
Ответ: œU = 3æ109 Äæ.
4.11. Автомобиль массой 10 т движется со скоростью 28,8 км/ч и останавливается при торможении. Сколько теплоты выделилось во время торможения, если вся кинетическая энергия его обратилась во внутреннюю?
Äàíî:
m = 104 êã, v = 8 ì/ñ.
Найти:
Q; œU.
Решение.
При торможении кинетическая энергия автомобиля полностью переходит во внутреннюю энергию, т. е. Eê = œU. Так как работа по изменению объема тела (автомобиля) не учи-
47
тывается, то, по первому началу термодинамики, изменение внутренней энергии соответствует количеству теплоты, полученной или отданной телом; следовательно,
Q = œU = Eê = mv2 2 ;
œU = |
104 êã 64 ì2 / ñ2 |
= 320 êÄæ. |
|
2 |
|||
|
|
Ответ: Q = œU = 320 êÄæ.
5. Обратимые и необратимые изопроцессы. Второе начало термодинамики
5.1. Построить в координатных осях V, p схему замкнутого цикла изменения состояния газа по координатам его промежуточных равновесных состояний:
|
1 (V4, p1) |
→ изобара — 2 (V2, p1) → |
|
→ |
адиабата — 3 |
(V1, p3) → |
изохора — 4 (V1, p4) → |
→ |
изобара — 5 (V3, p4) → |
адиабата — 6 (V4, p2) → |
|
|
→ изохора → |
1 (V4, p1), |
|
åñëè V1 < V2 < V3 < V4 è p1 < p2 < p3 < p4.
На основании построенного замкнутого цикла ответить на вопросы:
а) Какой это цикл — прямой или обратный? Поче- му?
б) Какие процессы происходят между каждыми равновесными состояниями газа в направлениях, указанных стрелками?
в) При каких процессах газ производит положительную работу? отрицательную? не производит никакой работы?
г) Выразить через площадь общую работу всего кругового цикла.
48
Решение.
На рис. 7 изображена схе-
ма искомого цикла. |
|
|
а) Замкнутый цикл пря- |
|
|
мой, потому что обход замк- |
|
|
нутой кривой, изображающей |
|
|
последовательность изменений |
|
|
состояний рабочего тела, осу- |
|
|
ществлен по часовой стрелке. |
|
|
б) Процессы 1–2 — èçî- |
Ðèñ. 7 |
|
барное охлаждение, 2–3 — |
||
|
адиабатное сжатие, 3–4 — изохорное нагревание, 4–5 — изобарное нагревание, 5–6 — адиабатное расширение, 6–1 — изохорное охлаждение.
в) Газ производит положительную работу в процессах 4–5, 5–6, отрицательную работу — в процессах 1–2, 2–3; не производит никакой работы в процессах 3–4 è 6–1.
г) Газ производит положительную работу по всему замкнутому циклу Aö, и она ч и с л е н н о равна площади, ограниченной этим контуром S, ò. å. Aö = S(1–2–3–4–5–6–1).
6. Круговые процессы. КПД теплового двигателя
6.1. Определить максимальный КПД тепловой машины, температуры нагревателя и холодильника которой соответственно равны 1500 K и 300 K.
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|
||
T1 |
= 1500 K, |
|
Коэффициент полезного действия |
|||
T2 |
= 300 K. |
|
тепловой машины по определению |
|||
|
|
равен |
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
||
η max. |
|
|
η max = |
T1 − T2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
η max = |
1500 − 300 |
= 0,8; η max = 80%. |
|||
|
1500 |
|||||
|
|
|
|
|
||
Ответ: η max = 80%.
49
6.2. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. За один цикл рабочее тело машины получило от нагревателя 1200 Дж теплоты, совершило механическую работу, равную 500 Дж, и отдало холодильнику 800 Дж теплоты. Может ли реально существовать такая тепловая машина? Если нет, указать, какая физическая ошибка допущена в условии задачи.
Äàíî:
Q1 = 1200 Äæ, A = 500 Äæ, Q2 = 800 Äæ.
Может ли существовать такая тепловая машина?
Решение.
По закону сохранения и превращения энергии должно соблюдаться следующее равенство:
A = Q1 – Q2. Проверим это:
500 Äæ - 1200 Äæ – 800 Äæ.
Ответ: Такая тепловая машина не может существовать, так как по данным условия задачи не соблюдается закон сохранения и превращения энергии.
7. Насыщенный пар и его свойства. Влажность воздуха
7.1. Определить давление водяного пара при температуре 20 °C, если его плотность 17,3 кг/м3.
Дано: Решение.
T = 293 K, |
|
Преобразуем уравнение |
|||||||
ρ = 17,3 êã/ì3, |
Клапейрона — Менделеева |
||||||||
M = 18æ10–3 êã/ìîëü, |
|
|
m |
|
|
||||
R = 8,31 Дж/(мольжK). |
pV = |
|
RT |
||||||
M |
|||||||||
Найти |
|
ê âèäó |
|
|
|
|
|
||
p. |
|
|
|
p = |
|
ρ RT |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
и вычислим p: |
|
|
|
M |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
p = |
17,3 êã/ì3 |
8,31 Ä æ /(ìîëü K ) 293 K |
= 2,34 êÏà. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
18 10−3 êã/ìîëü |
|
|
|||||
Ответ: p = 2,34 êÏà.
50
7.2. Насыщенный водяной пар, имевший при температуре 300 K давление 3ж104 Па, отделили от жидкости и нагрели до 350 K при постоянном объеме. Определить давление пара при этой температуре.
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
V = const, |
Так как водяной пар отделили от |
||||||||
T1 = 300 K, |
жидкости, то он стал ненасыщенным, |
||||||||
p1 = 3æ104 Ïà, |
а ненасыщенные пары подчиняются |
||||||||
T2 = 350 K. |
газовым законам. Согласно условию |
||||||||
Найти |
|
процесс изохорный, тогда |
|
||||||
p2. |
|
|
p1 |
= |
T1 |
è p = |
p1T2 |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p2 |
|
T2 |
2 |
T1 |
||
|
|
|
|
|
|||||
p |
= 3 104 Ïà 350 K |
= 3,5æ104 Ïà. |
|
||||||
2 |
|
300 K |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: p |
= 3,5æ104 Ïà. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3. Давление ненасыщенного водяного пара при температуре 300 K равно 1,5 кПа. Определить концентра-
цию молекул. |
|
|
|
|
Äàíî: |
|
Решение. |
||
|
||||
T = 300 K, |
|
Из основного уравнения мо- |
||
p = 1,5æ103 Ïà, |
|
лекулярно-кинетической тео- |
||
k = 1,38æ10–23 Äæ/K. |
|
ðèè p = knT выразим n: |
||
Найти |
|
|
p |
|
n. |
|
|
||
|
n = kT ; |
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
1,5 103 Í / ì2 |
n = |
1,38 10− 23 Äæ / K 300 K = 3,62æ1023 ì–3. |
Ответ: n = 3,62æ1023 ì–3.
7.4. Относительная влажность воздуха при 20 °C равна 58%. При какой максимальной температуре выпадет роса? Плотность насыщающего пара 17,3ж10–3 êã/ì3 ïðè 20 °C.
51
Äàíî: |
|
Решение. |
t = 20 °C, |
|
Определим абсолютную |
ϕ = 0,58, |
|
влажность воздуха при 20 °C: |
ρ í = 17,3æ10–3 êã/ì3. |
|
|
|
|
ρ = ϕρ í; |
Найти |
|
|
tð. |
|
ρ = 0,58æ17,3æ10–3 êã/ì3 = |
|
||
|
|
|
|
|
= 10,034æ10–3 êã/ì3. |
Роса выпадет, если абсолютная влажность воздуха будет больше плотности насыщенных паров при максимальной температуре. В данном случае абсолютная влажность воздуха ρ = 10,034ж10–3 êã/ì3 больше плотности насыщенных водяных паров 10ж10–3 êã/ì3 при максимальной температуре 11 °C (берется из таблицы давлений насыщенных водяных паров). Следовательно, роса выпадет при температуре 11 °C.
Ответ: tð = 11 °C.
7.5. В комнате объемом 200 м3 относительная влажность воздуха при 20 °C равна 70%. Определить массу водяных паров в воздухе комнаты.
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
||
|
|
|
|||||
V = 200 ì3, |
|
|
|
|
Из формулы плотности |
||
t = 20 °C, |
|
|
|
|
|
m |
|
ϕ = 0,7, |
|
|
|
|
ρ = |
находим |
|
–3 |
3 |
V |
|||||
ρ í = 17,3æ10 |
êã/ì |
. |
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
m = ρ V = ϕρ íV; |
m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 0,7æ17,3æ10–3 êã/ì3æ200 ì3 = 2,422 êã.
Ответ: m = 2,422 êã.
7.6. В комнате объемом 150 м3 при температуре 25 °C содержится 2,07 кг водяных паров. Определить абсолютную и относительную влажности воздуха.
52
Äàíî:
V = 150 ì3, t = 25 °C, m = 2,07 êã,
ρ í = 23æ10–3 êã/ì3.
Найти:
ρ ; ϕ .
Решение.
По формуле плотности находим абсолютную влажность:
ρ = mV ;
2,07 êã
ρ = 150 ì3 = 13,8æ10–3 êã/ì3.
Относительная влажность ϕ = ρρí , ãäå ρ í — плотность
насыщенных паров при данной температуре (берется из таблиц);
|
13,8 10− 3 êã / ì3 |
|
ϕ = |
23 10− 3 êã / ì3 |
= 0,6; ϕ = 60%. |
Ответ: ρ = 13,8ж10–3 êã/ì3; ϕ = 60%.
8.Критическое состояние вещества
8.1.Удельная теплота парообразования воды при температуре кипения равна 2,26ж106 Дж/кг. Чему она равна при критической температуре 647 K? Почему?
Решение.
Удельная теплота парообразования при критической температуре любого вещества равна нулю, потому что при критической температуре исчезает граница между жидкой и паровой фазами и для перехода молекулы из одной части критического состояния в другую не требуется совершать работу.
Ответ: 0.
8.2. Какое количество теплоты необходимо сообщить 2 кг воды, взятой при 293 K, чтобы нагреть ее до кипения при нормальном давлении и полностью обратить в пар?
53
Äàíî:
m = 2 êã, T = 293 K, Tê = 373 K,
c = 4200 Äæ/(êãæK), r = 2,26æ106 Äæ/êã.
Найти
Q.
Решение.
Согласно уравнению теплового баланса запишем
Q = cm(Tê – T) + rm. Находим
Q= (4200æ2æ80 +
+2,26æ106æ2) Äæ =
=5,192æ106 Äæ = 5,2 ÌÄæ.
Ответ: Q = 5,2 ÌÄæ.
8.3. При какой температуре закипит вода, если внешнее давление над ее поверхностью окажется равным 0,76 кПа? При решении задачи использовать таблицу давлений насыщенных водяных паров.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|||
p = 0,76 êÏà. |
|
|
Вода закипит при 3 °C, ò. å. ïðè |
|
|
|
T = 270 K, так как при этой темпе- |
Найти |
|
|
|
|
ратуре давление в паровоздушных пу- |
||
T. |
|
||
|
|
зырьках равно 0,76 кПа. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: T = 270 K. |
|||
8.4. Вода закипела при 160 °C. Пользуясь таблицей давлений насыщенных водяных паров, определить внешнее давление над водой.
Äàíî: |
Решение. |
|
t = 160 °C. |
|
Так как вода закипела при 160 °C, |
|
|
ò. å. ïðè T = 433 K, то внешнее |
Найти |
|
|
p. |
|
давление над водой p = 618 êÏà. |
|
|
|
Ответ: p = 618 êÏà. |
||
8.5. Пользуясь таблицей давлений насыщенных водяных паров, определить давление насыщенных паров, если вода закипела при 60 °C.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|||
T = 333 K. |
|
|
Так как вода закипела при 60 °C, |
|
|
|
то давление насыщенных паров рав- |
Найти |
|
|
|
pí. |
|
íî 19,92 êÏà. |
|
|
|
|
|
Ответ: pí = 19,92 êÏà. |
|||
54 |
|
|
|