zadachi_с решениями
.pdf
Находим: |
|
|
|
|
|
|
T = |
|
600 ñ |
= 0,05 c; f = 12 000 |
= 20 ñ–1; |
||
12 000 |
||||||
|
|
600 c |
|
|||
v = 2æ3,14æ0,1 |
ìæ20 ñ–1 = 12,56 ì/ñ; |
|||||
|
ω = 2æ3,14æ20 ñ–1 = 125,6 ðàä/ñ. |
|||||
Ответ: T = 0,05 c; |
f = 20 ñ –1; |
v = 12,56 ì/ñ; |
||||
ϕ= 125,6 ðàä/ñ.
4.4.Угол поворота колеса радиусом 20 см изменяется по закону ϕ = 3t (рад). Найти угловую и линейную скорости вращения окружности колеса.
Äàíî:
R = 0,2 ì; ϕ = 3t ðàä.
Найти:
ω ; v.
Решение. Воспользуемся формулами угло-
вой и линейной скоростей вращения:
ω = ϕt è v = ω R.
Находим
ω = |
3t ðàä |
= 3 ðàä/ñ = 3 ñ–1; |
|
t ñ |
|||
|
|
v = 3 ñ–1ж0,2 м = 0,6 м/с. Ответ: ω = 3 с–1; v = 0,6 ì/ñ.
4.5. Определить орбитальную скорость движения Земли вокруг Солнца, если Земля удалена от Солнца на расстояние 15ж1010 м, а продолжительность года на Земле 3,14ж107 ñ.
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|||||
R = 15æ1010 ì, |
Орбитальную скорость находим по |
|||||||
T = 3,14æ107 ñ. |
|
|
|
2π R |
|
|
|
|
|
формуле v = |
|
, ãäå T — период |
|||||
Найти |
|
|||||||
T |
||||||||
v. |
|
|
|
|
|
|||
вращения Земли вокруг Солнца; |
||||||||
|
||||||||
|
2 |
3,14 15 1010 |
ì |
|
||||
|
v = |
|
|
|
= 30 000 ì/ñ, |
|||
|
|
3,14 107 ñ |
|
|||||
èëè v = 30 км/с. Ответ: v = 30 êì/ñ.
15
5. Динамика поступательного движения. Второй закон Ньютона
5.1. Под действием силы 50 Н вагонетка массой 400 кг движется с ускорением 0,1 м/с2. Определить силу сопротивления.
Äàíî:
F = 50 Í; m = 400 êã; a = 0,1 ì/ñ2.
Найти
Fñîïð.
Решение.
По второму закону Ньютона составим уравнение движения тела:
F – Fñîïð = ma,
отсюда
Fñîïð = Fò – ma.
Вычислим силу сопротивления:
Fñîïð = 50 Í – 400 êãæ0,1 ì/ñ2 = 10 Н. Ответ: Fñîïð = 10 Í.
5.2. Определить силу, под действием которой тело массой 500 кг движется на прямолинейном участке пути по уравнению: s = 3t + 0,4t2 (ì).
Äàíî: |
|
Решение. |
||
|
||||
|
s = 3t + 0,4t2; |
|
|
По второму закону Ньютона: |
|
m = 500 êã. |
|
|
F = ma. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
Дифференцируя заданное уравнение |
|
F. |
|
|
|
|
|
|
движения, находим ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 0,8 ì/ñ2. |
Следовательно, |
|
|
|
|
F = 500 êãæ0,8 ì/ñ2 = 400 Н. Ответ: F = 400 Í.
5.3. Подъемный кран поднимает плиту массой 1000 кг вертикально вверх с ускорением 0,2 м/с2. Определить силу натяжения каната, удерживающего плиту.
16
Äàíî: |
Решение. |
|
m = 1000 êã, |
|
Составим уравнение движения |
a = 0,2 ì/ñ2. |
плиты: |
|
Найти |
|
Fí – P = ma, |
Fí. |
|
|
|
|
|
|
|
íî P = mg, тогда |
|
||
Fí = mg + ma èëè Fí = m(g + a).
Находим
Fí = 1000 êãæ(9,8 + 0,2) ì/ñ2 = 104 Í.
Ответ: Fí = 104 Í.
5.4. На участке пути в 400 м скорость автобуса увеличилась от 15 до 25 м/с. Определить среднюю силу тяги двигателя, если масса автобуса 104 кг, а сила сопротивления при движении равна 2 кН.
Äàíî:
s = 400 ì; v1 = 15 ì/ñ; v2 = 25 ì/ñ; m = 104 êã; Fñ = 2æ103 Í.
Найти
Fò.
Решение.
Составим уравнение движения автобуса на данном участке пути:
Fò – Fñ = ma; Fò = Fñ + ma.
При равноускоренном движении:
a = |
v22 − v12 |
; |
|
2s |
|||
|
|
находим силу тяги двигателя
|
|
|
|
m(v2 |
− v2 ) |
|
|
|
F |
|
= F + |
|
2 |
1 |
; |
|
|
ò |
|
|
|
|
||||
|
ñ |
|
|
2s |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Fò = 2000 Í + |
104 |
êã 400 ì2 / ñ2 |
= |
|||||
|
|
2 400 ì |
||||||
= 2000 Í + 5000 Í = 7æ103 Í.
Ответ: Fò = 7 êÍ.
17
5.5. На три одинаковых вагона массой m каждый действует постоянная сила 600 Н, приложенная к первому вагону (рис. 4). Найти силу натяжения сцепки между пер-
Ðèñ. 4
вым и вторым, вторым и третьим вагонами. Силы сопротивления не учитывать.
Äàíî:
M = 3m; F = 600 Í.
Найти:
F1–2; F2–3.
Решение.
Система тел, состоящая из трех одинаковых вагонов, имеет массу M = 3m. Под действием силы F = 600 Н эта система тел будет двигаться с ускорением
a = MF = 3Fm .
С таким же ускорением движется каждый вагон, а поэтому
F2–3 = ma, F2–3 = mF3m = F3 ; F2–3 = 200 Í, F1–2 = 2ma; F1–2 = 23mFm = 23F ; F1–2 = 400 Í.
Ответ: F1–2 = 400 Í; F2–3 = 200 Í.
6. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса
6.1. Сколько времени действовала постоянная сила 40 Н на тело массой 2 кг, если скорость тела увеличи- лась на 2 м/с?
18
Äàíî:
F = 40 Í, m = 2 êã, œv = 2 ì/ñ.
Найти t.
Ответ: t = 0,1 ñ.
Решение.
По закону сохранения импульса Ft = mœv, отсюда
t = |
m∆ v |
; t = |
2 2 |
ñ = 0,1 ñ. |
|
F |
40 |
||||
|
|
|
6.2. С каким ускорением опускается тело весом 500 Н, подвешенное на канате, если сила натяжения каната 300 Н?
Äàíî:
P = 500 Í; Fí = 300 Í.
Найти a.
отсюда
Решение.
Составим уравнение движения тела. Так как вес тела P = mg больше силы натяжения каната, то
P – Fí = Pag ;
a = |
(P − Fí)g |
, a = |
(500 − 300) Í 9,8 ì / ñ2 |
= 3,92 ì/ñ2. |
|
P |
500 Í |
||||
|
|
|
Ответ: a = 3,92 ì/ñ2.
6.3. Какую скорость будет иметь ракета, стартовая масса которой 1000 кг, если в результате горения топлива выброшено 200 кг газов со скоростью 2000 м/с?
Äàíî:
mð = 800 êã, mã = 200 êã, vã = 2000 ì/ñ.
Найти vð.
Решение.
Так как импульс замкнутой механической системы есть величина постоянная, то
mðvð = mãvã;
отсюда
vð = mãvã ; mï
vð = |
200 êã 2000 ì / ñ |
= 500 ì/ñ. |
|
800 êã |
|||
|
|
Ответ: vð = 500 ì/ñ.
19
6.4. Ракета массой 4000 кг летит со скоростью 500 м/с. От нее отделяется головная часть массой 1000 кг и летит со скоростью 800 м/с. С какой скоростью будет продолжать полет оставшаяся часть ракеты?
Äàíî:
M = 4000 êã, v = 500 ì/ñ, m1 = 1000 êã, v1 = 800 ì/ñ.
Найти v2.
Решение.
По закону сохранения импульса замкнутой системы тел имеем: Mv — импульс ракеты до отделения ее от
головной части, m1v1 + (M – m1)v2 — импульс системы тел после отделе-
ния головной части ракеты. Следовательно,
Mv = m1v1 + (M – m1)v2.
Отсюда
|
v = |
Mv − m1v1 |
; |
|
|
|
M − m1 |
|
|||
|
2 |
|
|
||
v2 = |
4000 êã 500 ì / ñ − 1000 |
êã 800 ì / ñ |
= 400 ì/ñ. |
||
4000 êã − 1000 |
êã |
|
|||
Ответ: v2 = 400 ì/ñ.
6.5. Из лодки, приближающейся к берегу со скоростью 0,5 м/с, на берег прыгнул человек со скоростью 2 м/с относительно берега. С какой скоростью будет двигаться лодка после прыжка человека, если масса человека 80 кг, а масса лодки 120 кг?
Äàíî:
v = 0,5 ì/ñ,
v÷ = 2 ì/ñ, m÷ = 80 êã,
më = 120 êã.
Найти vë.
Решение.
Импульс замкнутой системы тел (человек — лодка) до прыжка человека на берег равен (m÷ + më)v. Импульс той же системы тел после прыжка человека на берег m÷v÷ + mëvë. По закону сохранения импульса
m÷v÷ + mëvë = (m÷ + më)v,
20
отсюда находим скорость лодки после прыжка человека:
|
v = |
(m ÷ + m ë )v − m ÷v÷ |
; |
||
|
ë |
|
m ë |
|
|
|
|
|
|
||
v = |
200 êã 0,5 ì/ñ − 80 êã 2 ì/ñ |
|
= – 0,5 ì/ñ. |
||
|
|||||
ë |
|
120 êã |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: vë = – 0,5 ì/ñ.
7. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли
7.1. С какой линейной скоростью должен двигаться искусственный спутник Луны на высоте 740 км над ее поверхностью? Радиус Луны принять равным 1760 км, ускорение свободного падения у поверхности Луны
1,6 ì/ñ2.
Äàíî:
H = 74æ104 ì, R = 176æ104 ì, gË = 1,6 ì/ñ2.
Найти
v.
Отсюда
Решение.
При движении спутника вокруг Луны на него действует сила тяготения (сила тяжести). По условию:
m v2 mgË = R + h .
v = 
gË (R + h) ,
v = 
1,6 (176 + 74) 104 ì/ñ = 2æ103 ì/ñ = 2 êì/ñ.
Ответ: v = 2 êì/ñ.
7.2.На какой высоте над поверхностью Земли вес тела
â9 раз меньше, чем на ее поверхности? Радиус Земли принять равным 6400 км.
21
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|
||||
P = |
1 |
P0, |
Исходя из закона всемирного тя- |
|||||||
готения, запишем: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 64æ105 ì. |
|
P |
= |
|
R |
2 |
|
, |
||
Найти |
|
|
|
|
|
|
||||
|
P |
(R |
+ |
H) |
2 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
H.отсюда
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
H = R |
0 |
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
P |
|
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
9P |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
H = 64æ10 ì |
P |
− 1 |
; H = 2æ64æ10 ì = 12 800 êì. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: H = 12 800 êì.
7.3. Вычислить первую космическую скорость у поверхности Луны. Радиус Луны принять равным 1760 км, ускорение свободного падения на поверхности Луны
1,6 ì/ñ2.
Äàíî:
RË =176æ104 ì, gË = 1,6 ì/ñ2.
Найти v.
Отсюда
Решение.
При движении спутника вокруг Луны на него действует сила тяжести (сила всемирного тяготения ). По условию:
mv2 mgË = RË .
v = 
gËRË ;
v = 
1,6 ì / ñ2 176 104 м = 1680 м/с d 1,7 км/с. Ответ: v d 1,7 êì/ñ.
7.4. Найти период обращения искусственного спутника, движущегося в непосредственной близости к поверхности Луны. Радиус Луны принять равным 1760 км, ускорение свободного падения у поверхности Луны 1,6 м/с2.
22
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
||
R = 176æ104 ì, |
Период обращения искусственно- |
|||||
g = 1,6 ì/ñ2, |
го спутника Луны |
|||||
H = 0. |
|
|
|
|
2π R |
|
Найти |
|
|
|
T = |
, ãäå v = gR ; |
|
|
|
|
|
|||
T. |
|
|
|
|
v |
|
|
|
находим T = 2π R ; |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
gR |
T = |
6,28 |
176 |
104 ì |
d 6580 ñ = 1 ÷ 50 ìèí. |
||
|
|
|
||||
1,6 ì / c2 176 104 |
ì |
|
|
|||
Ответ: T d 1 ÷ 50 ìèí.
7.5. Определить силу тяготения между Луной и Землей, когда расстояние между ними 365 000 км, если Луна движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Масса Луны 7,3ж1022 êã.
Äàíî:
R = 365æ106 ì, m=7,3æ1022 êã, v = 103 ì/ñ.
Найти
F.
Решение.
Сила тяготения между Луной и Землей является центростремительной силой; под ее действием происходит обращение Луны вокруг Земли, следовательно,
2 |
|
7,3 1022 êã 106 ì2 / ñ2 |
|
|
F = |
mv |
; F = |
|
= 2æ1020 Í. |
R |
365 106 ì |
|||
Ответ: F = 2æ1020 Í.
8. Динамика равномерного движения тел по окружности
8.1. Какую перегрузку испытывает космонавт на центрифуге радиусом 6 м при вращении с угловой скоростью 3,14 с–1? (Перегрузка — величина, равная отношению центростремительного ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли.)
23
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|||||
R = 6 ì, |
При вращении тела по окружнос- |
||||||||||
ω = 3,14 ñ–1. |
ти возникает центростремительное |
||||||||||
Найти |
ускорение, равное a = ω 2R. |
|
|||||||||
|
a |
|
|
Находим искомую перегрузку, |
|||||||
|
. |
которую испытывает космонавт: |
|||||||||
|
g |
||||||||||
|
|
|
|
a |
ω 2R |
|
a |
3,142 ñ− 2 6 ì |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
= |
|
= 6. |
|
|
|
|
g |
g |
g |
9,8 ì / c |
||||
Ответ: Космонавт испытывает шестикратную перегрузку.
8.2. При движении автомобиля массой 20 т со скоростью 36 км/ч мост прогибается, образуя вогнутую кривизну радиусом 100 м. Определить силу реакции моста на автомобиль в момент прохождения через его середину. Принять g = 10 ì/ñ2.
Äàíî:
m = 2æ104 êã, v = 10 ì/ñ, R = 100 ì,
g = 10 ì/ñ2.
Найти
Fä.
Решение.
При движении автомобиля по вогнутому мосту на него действует сила тяжести P, направленная вниз, и сила реакции моста Fä, направленная вверх. Равнодействующая этих сил является центростремительной силой, совпадающей с направлением силы реакции моста. Следовательно, Föñ = Fä – P, ò. å.
|
Fä – P = ma; Fä |
– mg = |
mv2 |
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
Вычисляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
Fä |
= m g |
+ |
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||
F |
= 2æ104 êã |
|
10 ì / ñ |
2 |
+ |
100 ì |
= 22æ104 Í = 220 êÍ. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
ä |
|
|
|
|
|
100 ñ |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Fä = 220 êÍ.
24