zadachi_с решениями
.pdf
8.3. Определить силу, под действием которой Земля движется вокруг Солнца. Принять орбиту Земли круговой. Масса Солнца M = 2æ1030 кг, масса Земли m = = 6æ1024 кг, расстояние Земли от Солнца R = 1,5æ1010 ì.
Äàíî:
M = 2æ1030 êã, m = 6æ1024 êã, R = 1,5æ1010 ì,
G=6,67æ10–11 Íæì2/êã2.
Найти
F.
Решение.
Земля движется вокруг Солнца под действием постоянной силы тяготения, которую вычислим по закону всемирного тяготения:
mM
F = G R2
(здесь G – гравитационная постоянная);
6,67 |
10− 11 |
Í ì2 / êã2 2 1030 êã 6 1024 |
êã |
|
|
F = |
|
|
|
|
= |
|
|
1,52 1020 ì2 |
|
||
= 35æ1023 Í = 35æ1020 кН. Ответ: F = 35æ1020 êÍ.
8.4. Мотоциклист делает поворот при постоянной скорости 72 км/ч по дуге, радиус которой равен 160 м. Найти угол наклона мотоциклиста к горизонту. Принять g = 10 ì/ñ2.
Äàíî:
v = 20 ì/ñ, R = 160 ì, g = 10 ì/ñ2.
Найти
α .
Ðèñ. 5
Решение.
На мотоциклиста при движении по окружности действуют сила тяжести P = mg и центростремительная сила Fö (рис. 5). Чтобы удержаться в равновесии при поворо-
25
те, мотоциклист должен соблюдать угол наклона к горизонту, определяемый по формуле (см. рис. 5)
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
= tg α , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
ãäå Fö = |
m v2 |
= |
|
Pv2 |
. Отсюда |
|
|||||
R |
|
gR |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg α |
= |
gR |
; tg α = |
10 160 |
= 4; α = 76Q. |
||||||
2 |
|
400 |
|||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
||||
Ответ: α = 76Q.
9.Механическая работа. Мощность
9.1.Под действием постоянной силы 5 Н тело начи- нает двигаться с ускорением 0,2 м/с2. Какую работу совершит эта сила за первые 20 с действия?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F = 5 Í, |
|
|
|
Работа силы F при перемещении |
|||||
a = 0,2 ì/ñ2, |
|
|
|
|
at2 |
|
|||
t = 20 ñ. |
|
|
тела на расстояние s = |
||||||
|
|
|
|
2 равна |
|||||
Найти |
|
|
|
|
|
A = Fs; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
A. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
Fat2 |
; A = |
5 Í 0,2 ì / ñ2 |
400 ñ2 |
|
|
|||
|
|
|
|
= 200 Äæ. |
|||||
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: A = 200 Äæ.
9.2. Снаряд, вылетевший из орудия в горизонтальном направлении с начальной скоростью 600 м/с, достиг цели со скоростью 400 м/с. Определить работу по преодолению сопротивления, если масса снаряда 10 кг.
26
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
||||
|
Работа как мера изменения энер- |
||||||||||
v0 = 600 ì/ñ, |
|||||||||||
vt = 400 ì/ñ, |
гии вычисляется по формуле |
|
|||||||||
m = 10 êã. |
2 |
|
|
|
2 |
|
m(vt2 − v02) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти |
|
A = |
mvt |
− |
mv0 |
= |
|
|
; |
||
A. |
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
A = |
10 êã (4002 − 6002) ì2 / ñ2 |
= – 106 Äæ. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A = – 106 Дж. Силы сопротивления совершают отрицательную работу.
9.3. Какую работу должен совершить космонавт на Луне, чтобы равномерно поднять камень массой 50 кг на высоту 0,5 м? Ускорение свободного падения на Луне 1,6 м/с2.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
m = 50 êã, |
|
При равномерном подъеме сила |
H = 0,5 ì, |
|
тяги равна весу тела, следовательно, |
gË = 1,6 ì/ñ2. |
|
A = mgËH; |
Найти |
|
|
|
A = 50 êãæ1,6 ì/ñ2æ0,5 ì = 40 Äæ. |
|
A. |
|
Ответ: A = 40 Äæ.
9.4. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой 200 кг при равномерном горизонтальном движении на пути в 1 км, если коэффициент трения равен 0,05?
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
m = 200 êã, |
|
При равномерном горизонтальном |
s = 1000 ì, |
|
движении Fòÿãè = Fòð, ãäå Fòð = kmg. |
k = 0,05. |
|
Тогда |
Найти |
|
A = Fòÿãès; A = kmgs; |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
A = 0,05æ9,8 æ200æ1000 Äæ = |
|
= 9800æ103 Äæ = 9800 êÄæ. |
|
Ответ: A = 9800 êÄæ.
27
9.5. Определить мощность двигателя подъемного крана, равномерно поднимающего груз массой 300 кг на высоту 10 м за 49 с, если КПД крана 75%.
Äàíî:
m = 300 êã, h = 10 ì,
t = 49 ñ, η = 0,75.
Найти
N.
Решение.
КПД двигателя вычисляется по формуле
η |
= |
Aï |
= |
mgh |
, |
Aç |
|
||||
Nt |
ãäå Aï — полезная работа, Aç — затраченная работа. Находим мощность
N = |
mgh |
; N = |
9,8 300 H 10 ì |
= 800 Âò = 0,8 êÂò. |
η t |
|
|||
0,75 49 ñ |
Ответ: N = 0,8 êÂò.
9.6. При выполнении маневра космического корабля была включена на некоторое время двигательная система. Определить мощность двигательной системы, если при силе выброса продуктов горения в 200 Н скорость корабля увеличилась с 3 до 4 км/с.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
||
|
|
|
||||
Fò = 200 Í, |
|
Так как сила выброса продуктов |
||||
v1 = 3000 ì/ñ, |
|
горения равна 200 Н, то на основа- |
||||
v2 = 4000 ì/ñ. |
|
нии третьего закона Ньютона можно |
||||
Найти |
|
заключить, что сила тяги двигатель- |
||||
N. |
|
ной системы космического корабля |
||||
|
|
также равна 200 Н. Используя фор- |
||||
|
|
|||||
|
|
мулу мощности |
|
|
||
N = F v ; v |
|
= |
v1 + v2 |
, находим N = |
Fò(v1 + v2 ) |
; |
ò ñð |
ñð |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
N = |
200 Í 7000 ì / ñ |
= 700æ103 Âò = 700 êÂò. |
|
2 |
|||
|
|
Ответ: N = 700 êÂò.
28
9.7. Электровоз при движении со скоростью 72 км/ч потребляет мощность 600 кВт. Определить силу тяги электровоза, если его КПД равен 80%.
Äàíî:
v = 20 ì/ñ, Nç = 6æ105 Âò, η = 0,8.
Найти
Fò.
Решение.
Полезная мощность электровоза Nï = Fòv, ãäå Fò — сила тяги. Зная КПД электровоза и его потребляемую мощность, можем найти силу тяги:
η = |
Nï |
; η = |
Fòv |
; Fò = |
η Nç |
; |
Nç |
|
|
||||
|
|
N ç |
v |
|||
F = |
0,8 600 000 Âò |
= 24æ103 |
Âò = 24 êÂò. |
|
20 ì / ñ |
||||
|
|
|
Ответ: F = 24 êÂò.
9.8. Моторная лодка с двигателем мощностью 5 кВт развивает силу тяги 1 кН. С какой скоростью движется лодка?
Äàíî:
N = 5000 Âò, Fò = 1000 Í.
Найти v.
Решение.
При равномерном движении мощность определяется по формуле N = Fòv, откуда
N5000 Âò
v= Fò ; v = 1000 Í = 5 ì/ñ.
Ответ: v = 5 ì/ñ.
10. Закон сохранения механической энергии
10.1. Автомобиль, масса которого 5 т, движется со скоростью 72 км/ч и при торможении, пройдя путь 40 м, останавливается. Определить силу торможения.
29
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
m = 5000 êã, |
|
|
Согласно закону сохранения энер- |
|||||||
v = 20 ì/ñ, |
|
гии запишем |
|
|
|
|
||||
s = 40 ì. |
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Fòîðs; |
||||
Найти |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|||||||
Fòîð. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= |
mv2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
òîð |
|
2s |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fòîð = |
5000 êã 400 ì2 / ñ2 |
= 25 000 Í = 25 êÍ. |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 40 ì |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Fòîð = 25 êÍ.
10.2. Пуля массой 10 г влетает в доску толщиной 5 см со скоростью 800 м/с и вылетает из нее со скоростью 100 м/с. Определить среднюю силу сопротивления доски.
Äàíî:
m = 0,01 êã, s = 0,05 ì, v0 = 800 ì/ñ, vt = 100 ì/ñ.
Найти
Fñîïð.
Решение. Уменьшение кинетической энер-
ãèè ïóëè
œE = m2 (v02 − vt2 ) .
Работа силы сопротивления
A = Fñîïðs.
По закону сохранения и превращения энергии
Fñîïð = 2ms (v02 − vt2 ) ;
0,01 êã
Fñîïð = 2 0,05 ì (8002 – 1002) ì2/ñ2 = 63æ103 Н = 63 кН. Ответ: Fñîïð = 63 êÍ.
10.3. Определить полную энергию тела массой 500 кг, поднятого на высоту 4 м, если его скорость при этом увеличилась от нуля до 2 м/с.
30
Äàíî: |
|
Решение. |
||||
|
||||||
m = 500 êã, |
|
Согласно закону полной механи- |
||||
H = 4 ì, |
|
|
ческой энергии E = Eê + Eï. |
|||
v0 = 0, |
|
Находим |
|
|
||
vt = 2 ì/ñ. |
|
2 |
|
|||
|
|
|
E = |
m v |
+ mgH; |
|
Найти |
|
|
||||
|
||||||
|
|
2 |
|
|||
E. |
|
|
E = (500æ2 + 500æ9,8æ4) Äæ = |
|||
|
||||||
|
= 20 600 Äæ = 20,6 êÄæ. |
|||||
Ответ: E = 20,6 êÄæ.
10.4. В каком случае электровоз массой m совершит боRльшую работу: при изменении скорости поезда от нуля до 4 м/с или при увеличении скорости поезда от 4 до 8 м/с?
Äàíî: |
|
|
|
|
Решение. |
|
|||||
m, |
|
|
|
Так как работа есть мера измене- |
|||||||
v0 |
= 0, |
|
|
|
ния энергии тела, то при увеличении |
||||||
v1 |
= 4 ì/ñ, |
|
скорости поезда от 0 до 4 м/с совер- |
||||||||
v2 |
= 8 ì/ñ. |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
шается работа A01 = |
mv1 |
, ò. å. |
||||
Сравнить |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
A01 è A12. |
|
|
|
A01 = 8 m. |
|||||||
|
|
|
|
|
При увеличении скорости электрово- |
||||||
çà îò v1 äî v2 работа равна |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A = |
m |
(v2 |
− v2 ) ; отсюда A |
|
= |
m |
æ48 = 24 m. |
|||
|
|
12 |
|
||||||||
|
12 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: A01 в 3 раза меньше A12.
10.5. Определить полную механическую энергию косми- ческого корабля массой 2 т, движущегося на высоте 300 км над Землей со скоростью 8 км/с. Принять g = 10 ì/ñ2.
Äàíî: |
Решение. |
|
|
||
m = 2000 êã, |
Согласно закону сохранения пол- |
||||
H = 300000 ì, |
ной механической энергии E = Eï + Eê. |
||||
v = 8000 ì/ñ, |
Находим |
|
|
|
|
g = 10 ì/ñ2. |
|
v |
2 |
|
|
Найти |
E = m gH + |
|
; |
||
2 |
|||||
E. |
|
|
|||
|
|
|
|
||
E = 2æ103 êã (3æ106 + 32æ106) ì2/ñ2 = 7æ107 êÄæ. |
|||||
Ответ: E = 7æ107 êÄæ. |
|
|
|
||
31
10.6. Тело, масса которого 10 кг, брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найти потенциальную энергию тела в наивысшей точке подъема, если на преодоление сопротивления расходуется 10% всей энергии.
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|
|||
m = 10 êã, |
|
Согласно закону сохранения ме- |
||||||
v0 = 20 ì/ñ, |
|
ханической энергии Eï = η Eê. Îòñþ- |
||||||
η = 0,9. |
|
äà |
|
|
|
|
||
Найти |
|
|
|
|
η mv2 |
|
||
Eï. |
|
|
Eï = |
; |
||||
|
|
2 |
|
|||||
Eï = |
0,9 10 êã 400 ì2 / ñ2 |
|
|
|
||||
= 1800 Äæ = 1,8 êÄæ. |
||||||||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Ответ: Eï = 1,8 êÄæ.
11. Элементы специальной теории относительности
11.1. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 0,6ñ è v2 = 0,9ñ относительно неподвижного наблюдателя. Определить скорость сближения ракет, используя классическую и релятивистскую формулы сложения скоростей.
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|
|
||
v = –v1 = –0,6ñ, |
|
По классической формуле сложе- |
|
u = v2 = 0,9ñ. |
|
ния скоростей имеем |
|
Найти: |
|
uêë′ |
= u – v = v2 – (– v1); |
uêë′ ; uðåë′ . |
|
||
|
uêë′ |
= 0,9ñ + 0,6ñ = 1,5ñ. |
|
|
|
||
По релятивистской формуле сложения скоростей имеем
u′ |
= |
|
u − v |
; |
u′ |
= |
|
0,9c + 0,6c |
= 0,974ñ. |
1 |
− uv c2 |
|
+ 054c2 / c2 |
||||||
ðåë |
|
|
ðåë |
1 |
|
||||
Ответ: uêë′ |
= 1,5ñ; uðåë′ |
= 0,974ñ. |
|
||||||
32
11.2. Какое время пройдет на Земле, если в космическом корабле, движущемся со скоростью v = 0,8ñ относительно Земли, пройдет 21 год?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
||
v = 0,8ñ, |
|
|
|
|
|
|
Промежуток времени между дву- |
||
t0 = 21 ãîä. |
|
|
|
мя событиями минимален в движу- |
|||||
Найти |
|
|
|
щейся системе отсчета (t) по отноше- |
|||||
t. |
|
|
|
нию к неподвижной (t0): |
|||||
|
t0 |
||||||||
t = |
|
|
|
|
; t = |
21 ãîä |
= 35 ëåò. |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
||||
1 |
− v |
c |
|
||||||
|
|
|
0,6 |
|
|||||
Ответ: t = 35 ëåò.
11.3. Для наблюдателя, находящегося на Земле, линейные размеры космического корабля по направлению его движения сократились в четыре раза. Во сколько раз медленнее идут часы на корабле относительно хода ча- сов наблюдателя?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l = l0/4. |
|
|
|
|
Линейные размеры тела, движу- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
щегося относительно неподвижной |
||||||||||||||||
Найти |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
инерциальной системы отсчета, |
||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
t |
|
|
|
уменьшаются: l = l |
1 − v2 c2 , à ïðî- |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
межуток времени увеличивается: |
||||||||||||||
t = |
|
t0 |
. Из этого следует |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 − v2 / c2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − v2 |
= |
|
l |
|
= |
|
t0 |
, |
|
|||||
|
|
|
l0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
= |
|
l0 |
; |
|
t |
= |
|
4l |
|
= 4. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||||||||
|
|
|
|
t0 |
|
l |
|
t0 |
|
|
|
|
||||||||
Наблюдателю будет казаться, что ход часов в косми- ческом корабле замедлен в четыре раза.
Ответ: В четыре раза.
33
11.4. Частица движется со скоростью v = 0,8ñ. Во сколько раз масса движущейся частицы больше ее массы покоя?
Äàíî: |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
v = 0,8ñ, |
|
Релятивистская масса в движу- |
||||||||||
c = 3æ108 ì/ñ. |
щейся системе отсчета |
|
||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
m = |
m0 |
, |
||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 − v2 / c2 |
|
|||||
|
m 0 |
. |
|
ãäå m0 — масса покоя. Отсюда нахо- |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
äèì |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
m |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
= |
1 − v2 / c2 ; |
|
|
= |
|
= |
|
= 1,67. |
|
|
m0 |
|
0,6 |
|||||||||
|
|
m0 |
1 − 0,64 |
|||||||||
Ответ: В 1,67 раз больше.
11.5. Релятивистская масса электрона в пять раз больше его массы покоя. Определить кинетическую энергию электрона и его импульс. Масса покоя электрона 9,1ж10 –31 êã.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
||
m = 5m0, |
|
Полная энергия свободно |
m0 = 9,1æ10 –31 êã, |
|
движущейся релятивистской |
c = 3æ108 ì/ñ. |
|
частицы |
Найти: |
|
E = mc2 è E = Eê + E0, |
Eê; p. |
|
ãäå E0 = m0c2 — масса покоя, |
|
|
|
|
|
тогда кинетическая энергия |
Eê = E – E0 = (m – m0) c2 = 4m0c2;
Eê = 4æ9,1æ10– 31 êãæ9æ1016 ì2/ñ2 = 3,28æ10– 31 Дж. Из соотношения энергии E и импульса p релятивист-
ской частицы E2 = E02 + p2c2 находим
p = E2 − E02 |
= 25m02c4 − m02c4 |
= 2 6 m0c; |
c |
c |
|
p= 2æ2,45æ9,1æ10– 31 êãæ 3æ108 ì/ñ = 1,34æ10–21 Íæñ.
Ответ: Eê = 3,28æ10– 31 Äæ; p = 1,34æ10–21 Íæñ.
34