- •Ііі. Змістовий модуль 2
- •Хвильова функція та її фізичний зміст. Рівняння Шредінгера
- •Спектральні серії випромінювання атомів. Досліди Резерфорда. Постулати Бора. Квантово-механічна інтерпретація постулатів Бора. Принцип відповідностей. Досліди Франка і Герца
- •Квантові числа в атомі. Квантування енергії моменту імпульсу та проекції імпульсу. Досліди Штерна і Герлаха. Спін і магнітний момент електрона
- •Принцип Паулі. Електронні шари складних атомів
- •Спектри багатоелектронних атомів. Ефект Зеємана
- •Природа характеристичних рентгенівських променів. Закон Мозлі
- •Поняття про хімічний зв’язок і валентність. Молекулярні спектри
- •Спонтанне та індуковане випромінювання. Квантові генератори (лазери), їх застосування
- •Практичне заняття 2.1 Тема: Хвилі де Бройля Приклади розв’язання задач
- •Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання
- •Практичне заняття 2.2 Тема: Рівняння Шредінгера Приклади розв’язання задач
- •Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання
- •Практичне заняття 2.3
- •Тема: Постулати Бора. Квантові числа в атомі.
- •Періодична система елементів д.І. Менделєєва
- •Приклади розв’язання задач
- •Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання
- •Практичне заняття 2.4 Тема: Характеристичне рентгенівське випромінювання Приклади розв’язання задач
- •Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання
- •Перелік компетентностей другого змістового модуля
- •Рівняння Шредінгера. Атом водню за Бором. Закон Мозлі Задачі
Практичне заняття 2.1 Тема: Хвилі де Бройля Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля λ для двох випадків: 1) ; 2) .
Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля λ частинки залежить від її імпульсу р і визначається формулою:
. (1)
Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Ек. Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли ) і релятивістського () випадків відповідно виражається формулами:
; (2)
. (3)
Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться відповідно у нерелятивістському та релятивістському випадках:
; (4)
. (5)
Порівняємо кінетичні енергії електрона, який пройшов задану в умові задачі різницю потенціалів і , з енергією спокою електрона і в залежності від цього вирішимо питання, яку з формул (4), (5) слід застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.
Як відомо, кінетична енергія електрона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U, дорівнює:
.
У першому випадку , що набагато менша від енергії спокою електрона . Тобто, можна застосувати формулу (4).
Для спрощення розрахунків відмітимо, що . Підставивши цей вираз у формулу (4), перепишемо її у вигляді:
.
Врахувавши, що є комптонівська довжина хвилі λс, одержимо:
.
Так як , то
.
У другому випадку кінетична енергія дорівнює , тобто рівна енергії спокою електрона. Отже, необхідно застосувати релятивістську формулу (5).
Врахувавши, що , за формулою (5) знайдемо:
, або .
Підставивши значення λс в останню формулу і провівши обчислення, одержимо:
.
Приклад 2. На вузьку щілину шириною направлений паралельний пучок електронів, що мають швидкість . Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань х між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракційній картині, одержаній на екрані, віддаленому на від щілини.
Розв’язання. Згідно гіпотезі де Бройля, довжина хвилі λ, яка відповідає частинці масою т, що рухається зі швидкістю v, виражається формулою:
. (1)
Дифракційний максимум при дифракції на одній щілині спостерігається за умови:
, (2)
де k = 0, 1, 2, 3, ... – порядковий номер максимумів; а – ширина щілини.
Для максимумів першого порядку (k = 1) кут φ малий, тому sinφ = φ, а, отже, формула (2) набуде вигляду:
; (3)
шукана величина х, як випливає з рис.1:
, (4)
оскільки tgφ = φ.
Підставивши значення φ із співвідношення (3) у формулу (4), отримаємо:
.
Підстановка в останню рівність довжини хвилі де Бройля за формулою (1) дає:
. (5)
Після обчислення за формулою (5) одержимо:
.
Приклад 3. На грань кристала нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання θ змінюється. Коли цей кут дорівнює 64°, спостерігається максимальне віддзеркалення електронів, відповідне дифракційному максимуму першого порядку (відстань d між атомними площинами кристала рівною 200 пм). Визначити довжину хвилі де Бройля λ електронів та швидкість .
Розв’язання. До розрахунку дифракції електронів від кристалічної решітки застосовується те ж рівняння Вульфа-Брегга, яке використовується у разі рентгенівського випромінювання:
,
де d – відстань між атомними площинами кристала; θ – кут ковзання; k – порядковий номер дифракційного максимуму; λ – довжина хвилі де Бройля. Очевидно, що
.
Підставивши в цю формулу значення величин і обчисливши, одержимо
.
З формули довжини хвилі де Бройля
,
виразимо швидкість електрона:
.
Підставивши в цю формулу значення π, ħ, т (маса електрона), λ і провівши обчислення, знайдемо
.