Хвильова функція та її фізичний зміст. Рівняння Шредінгера

З відкриттям хвильових властивостей частинок стало зрозуміло, що для опису руху мікрочастинки закони Ньютона не підходять. Тобто необхідною була така механіка, що враховувала б хвильові властивості частинок. І нею стала квантова механіка. Така механіка була створена завдяки працям де Бройля, Гейзенберга, Шредінгера, Дірака та інших. Квантова механіка – це теорія руху частинок малої маси, мікрочастинок, яка дає змогу врахувати їхні хвильові і корпускулярні властивості.

Стан частинки у квантовій механіці визначається хвильовою функцією, що є функцією координат і часу (ψ-функція). Квадрат модуля псі-функції для точки, помножений на елемент об’єму, що включає цю частинку, визначає ймовірність знаходження частинки в цьому об’ємі:

, де dP − ймовірність, dV − елемент об’єму.

Квадрат модуля ψ-функції є густина ймовірності (тобто визначає густину величини в такому ж розумінні, як густина енергії, густина заряду тощо).

Фізичний зміст має не сама псі-функція, а квадрат її модуля, який визначає ймовірність перебування частинки в даній точці простору. Інакше кажучи, величина визначає інтенсивність хвиль де Бройля. Хвильова функція має задовольняти умову, яка називається умовою нормування ймовірностей:

.

Це інтеграл по безмежному нескінченному простору. Умова нормування ймовірностей означає, що перебування частинки десь у просторі є достовірна подія, і її ймовірність дорівнює 1.

У квантовій механіці постає важлива проблема про відшукання такого рівняння, яке б мало таке саме значення, як рівняння руху Ньютона для класичної механіки. Нагадаємо, що рівняння Ньютона дають змогу за відомими силами, які діють на тіло, і певними початковими умовами визначити для будь-якого моменту часу координати тіла та його швидкість, тобто описати рух тіла в просторі і часі. Розв'язуючи аналогічну задачу в квантовій механіці, необхідно врахувати те, що частинки мають хвильові властивості. Положення частинки описується заданням псі-функції, тому рівняння має бути хвильовим.

У 1926 році Шредінгер отримав основне рівняння квантової механіки:

,

де

,

де і – уявна одиниця, m – маса частинки, U – її потенціальна енергія.

Це часове рівняння. Але дуже часто важливо знайти стаціонарні розв'язки рівняння Шредінгера, які не містять часу. Вони мають значення для тих задач, у яких потенціальна енергія не залежить від часу, а залежить тільки від координат, тобто U = U(x, y, z).

Таке рівняння називається стаціонарним рівнянням Шредінгера:

.

Значення енергії Е – повної енергії частинки, при яких має розв'язок це диференціальне рівняння, називаються власними значеннями енергії. Власному значенню енергії E відповідає власна функція .

Якщо потенціальна енергія залежить тільки від координати х, то рівняння Шредінгера називається одновимірним і набирає вигляду:

,

де m − маса частинки,

E − повна енергія частинки,

U(x) − потенціальна енергія частинки,

(E-U(x)) − кінетична енергія частинки,

Ψ − псі-функція.

Зауваження. У квантовій механіці не порушується принцип причинності. Якщо задано псі-функцію для моменту часу , то можна визначити її значення для моменту часу. Тобто стан мікрооб'єкта, визначений у деякий момент часу, однозначно визначає його подальший стан.

Рівняння Шредінгера дає змогу розв'язувати важливі практичні задачі і розраховувати стаціонарні стани руху частинок у різних зовнішніх полях. Розглянемо деякі з них.

Рух вільної частинки

Під вільним рухом розуміють такий рух, коли на частинку не діють зовнішні сили, тобто її потенціальна енергія дорівнює нулю U = 0. Стаціонарне одновимірне рівняння Шредінгера можна записати у вигляді:

.

Розв'язок цього рівняння:

, (2.1)

де А і В – деякі константи.

Відомо, що загальне рівняння плоскої монохроматичної хвилі має вигляд:

,

а якщо t = 0, то

. (2.2)

З рівняння (2.1) та (2.2) випливає, що хвильове число вільної частинки

.

Водночас хвильове число

.

Оскільки в цю формулу входить довжина хвилі де Бройля, дістаємо значення повної енергії частинки у вигляді:

,

де p – імпульс частинки.

Отже, під час вільного руху частинки її повна енергія збігається з кінетичною, а швидкість руху стала. Вільній частинці в квантовій механіці відповідає плоска монохроматична хвиля де Бройля.

Рух частинки в нескінченній глибокій одновимірній потенційній ямі

Припустимо, що частинка може переміщуватись вздовж однієї лише осі від 0 до l, за межі потенціальної ями вона вийти не може, тобто знаходиться в нескінченно глибокій потенціальній ямі (рис. 2.4). Взаємодія зі стінками є пружною, а тому енергія частинки не змінюється і є постійною.

Зточки зору класичної механіки частинка може набувати довільних значень енергії. Проте в квантовій механіці частинка має ще й хвильові властивості, що мають сенс у мікросвіті, і їх потрібно враховувати. Іншими словами, ми маємо враховувати саме рівняння Шредінгера. Оскільки частинка має пружну взаємодію, то, а тому:

,

.

Звідси

.

У свою чергу,

.

На це рівняння накладаються конкретні фізичні умови, оскільки розглянута частинка не може покинути потенціальну яму, то для всіх точок межі . З умови неперервності функції ψ випливає, що вона повинна дорівнювати 0 і на межах потенціальної ями. З останнього слідує, що,.

: ,, або;

: ,, або;

тут або, а.

;

;

.

Це є енергія частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій потенціальній ямі. Вона має бути пропорційною(рис. 2.5). Тоді енергія, якої набуватиме частинка в мікросвіті, може бути величиною, що квантується, і прийматиме значення, пропорційні, деn − натуральне число.

Розглядаючи залежність , можна знайти ймовірність присутності частинки в певній точці потенціальної ями (рис. 2.6).

Длямаксимальна ймовірність припадає на середину проміжку. Для другого рівня ймовірність знаходження частинки в середині проміжкудорівнює 0. Це зрозуміло з уявлень про стоячу хвилю, тобто центр проміжку є вузлом двох хвиль, що рухаються назустріч одна одній;n називають квантовим числом. Якщо , то дискретність зникає, якщо, ми “опускаємось” до мікросвіту.

Лінійний гармонічний осцилятор

Лінійний гармонічний осцилятор − це частинка, яка здійснює одновимірні гармонічні коливання під дією квазіупружної сили вздовж прямої лінії за законом:

.

Нехай гармонічний осцилятор здійснює коливання вздовж певної лінії. Розглянемо для такого осцилятора рівняння Шредінгера:

.

Потенційна енергія такої частинки має вигляд

де ,− циклічна частота.

Для спрощення виразу введемо такі заміни:

; ,

Так як рух здійснюється вздовж осі х, рівняння Шредінгера математично можна представити у вигляді:

.

Нехай . Перетворимо:

;

;

.

Замінимо змінні, які ми ввели:

.

Поділимо обидві частини на β:

,

тут . Оскільки, а, маємо:

,

тобто

.

Це рівняння має розв’язки лише при ,.

Враховуючи попередні позначення, маємо:

,

або ж

. (2.3)

Це є енергія лінійного гармонійного осцилятора, яка квантується (це випливає з рівняння Шредінгера).

У класичній механіці вважалось, що при абсолютному нулі тепловий рух у системі припиняється, тобто енергія системи теж дорівнюватиме нулю. Проте за квантовими уявленнями, як показано вище, навіть при найменшому значенніn, що вказує на енергетичний рівень, енергія буде дорівнювати

, (2.4)

проте ця енергія не пов’язана з тепловим рухом системи.

Знайдемо відстань між сусідніми енергетичними рівнями:

.

Вона однакова і залежить тільки від власної частоти коливань осцилятора.

Висновки: енергія осцилятора квантується; енергія осцилятора квантується за певним законом (рів. 2.3); існує мінімальне значення енергії осцилятора, якої його не можна (рів. 2.4) позбавити за жодних умов, навіть охолодженням до абсолютного нуля: Т = 0.

Існування нульової енергії і відповідних їй «нульових коливань» осцилятора експериментально підтверджено при розсіюванні світла кристалами за наднизьких температур. Існування нульової енергії осцилятора має глибоке філософське значення: рух матерії не припиняється ніколи.

Наявністю нульової енергії можна пояснити, чому гелій поблизу абсолютного нуля може залишатися в рідкому стані. З одного боку, сили взаємодії атомів гелію дуже слабкі (газ інертний); з другого – завдяки малій масі атомів власна частота таких осциляторів, а отже, і нульова енергія їх значна. З цих причин атоми гелію навіть при абсолютному нулі досить інтенсивно рухаються і гелій залишається в рідкому стані.

Зауваження. Модель гармонічного осцилятора дає змогу пояснити явище дисперсії світла, механізм теплового випромінювання.

Тунельний ефект

Яскравою ілюстрацією несумісності поглядів класичної і квантової механіки є задача на проходження частинки крізь потенціальний бар’єр.

На шляху деякої частинки з енергієюE знаходиться потенціальний бар’єр висотою і шириною(рис. 2.7).

З погляду класичної механіки наступний рух частинки визначається так. Якщо енергія частинки E > U_o, то частинка подолає бар’єр. При цьому на ділянці бар’єра швидкість частинки буде меншою, але після проходження бар’єра вона знову набуде попереднього значення. Якщо енергія частинкаE < U_o, то частинка відіб’ється від бар’єра і перемі­щуватиметься у зворотному напрямі; через бар’єр частинка пройти не зможе.

З погляду квантової механіки, тобто згідно з розв’язками рівняння Шредінгера, у першому випадку, коли енергія частинки E > U_o, існує деяка відмінна від нуля ймовірність того, що частинка відіб’ється від бар’єра і рухатиметься у зворотному напрямі. У другому випадку, коли E < U_o, існує деяка відмінна від нуля ймовірність того, що частинка пройде крізь потенційний бар’єр і виявиться в області х > L.

Ймовірність проходження частинки крізь потенційний бар’єр, або коефіцієнт прозорості бар’єра визначають за виразом:

,

де ,

−коефіцієнт прозорості,

−коефіцієнт, близький до одиниці,

−показник степеня, що за фізичним змістом є величиною, яка вказує ймовірність проходження бар’єра:

.

Чим більшою є величина , тим менша ймовірність того, що частинка подолає цей потенціальний бар’єр. При.

Так, для електрона при L = м іпрозорість бар'єра. Якщо збільшити ширину бар'єра дом, то прозорість становитиме вже, тобто електрон тієї самої енергії вже практично не зможе пройти через бар'єр.

Для проходження потенціального бар’єра частинка не витрачає і не отримує енергії ззовні, а проходить через так званий “тунель” (відбувається “протікання” частинки крізь бар’єр).

Багато говорять про те, що всередині потенціального бар'єра частинка начебто повинна мати від'ємну потенціальну енергію, але це парадокс! І знову спроба пояснити квантові закономірності з кла­сичних позицій! Труднощі справді існують, але вони полягають у неможливості уявити повну енергію частинки як точну суму її кінетичної і потенціальної енергії:

.

Співвідношення невизначеностей не дають змоги одночасно точно задати координату х та імпульс p_х, а отже, точно задати потенціальну U і кінетичну енергії. До того ж може виявитися, що невизначеність у кінетичній енергії, зумовлена неточною фіксацією координати частинки, буде більшою від різниці потенціальної і кінетичної енергій.

Інакше кажучи, у квантовій фізиці потрібно відмовитися від уявлення про повну енергію частинки як суму точно визначених її частин: кінетичної й потенціальної.

Тунельний ефект дає змогу пояснити явище - розпаду, контактні явища в напівпровідниках і багато іншого.