Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання

Хвилі де Бройля

1. Визначити довжину хвилі де Бройля, що характеризує хвильові властивості електрона, якщо його швидкість . Зробити такий же підрахунок для протона.

2. Електрон рухається зі швидкістю . Визначити довжину хвилі де Бройля, враховуючи зміну маси електрона залежно від швидкості.

3. Яку прискорюючу різницю потенціалів U повинен пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля дорівнювала 0,1 нм?

4. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, якщо його кінетична енергія .

5. Знайти довжину хвилі де Бройля протона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалівU: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.

6. Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, що рухається по круговій орбіті атома водню, що знаходиться в основному стані.

7. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, що знаходиться на другій орбіті атома водню.

8. З якою швидкістю рухається електрон, якщо довжина хвилі де Бройля електрона дорівнює його комптонівській довжині хвилі ?

9. Визначити довжину хвилі де Бройля електронів, бомбардуючих антикатод рентгенівської трубки, якщо межа суцільного рентгенівського спектра припадає на довжину хвилі .

10. Електрон рухається по колу радіусом в однорідному магнітному полі з індукцією . Визначити довжину хвилі де Бройля електрона.

11. На грань деякого кристала під кутом до її поверхні падає паралельний пучок електронів, що рухаються з однаковою швидкістю. Визначити швидкістьелектронів, якщо вони зазнають інтерференційне віддзеркалення першого порядку. Відстаньd між атомними площинами кристалів дорівнює 0,2 нм.

12. Паралельний пучок електронів, рухаючись з однаковою швидкістю , падає нормально на діафрагму з довгою щілиною шириною . Проходячи через щілину, електрони розсіюються і утворюють дифракційну картину на екрані, розташованому на відстані від щілини і паралельному площині діафрагми. Визначити лінійну відстань х між першими дифракційними мінімумами.

13. Вузький пучок електронів, що пройшли прискорюючу різницю потенціалів U=30 кВ, падає нормально на тонкий лист золота, проходить через нього і розсіюється. На фотопластині, розташованій за листком на відстані від нього, отримана дифракційна картина, що складається з круглої центральної плями і ряду концентричних кіл. Радіус першого кола . Визначити: 1) кут віддзеркалення електронів від мікрокристалів золота, відповідний першому колу (кут вимірюється від поверхні кристала); 2) довжину хвилі де Бройляелектронів; 3) постійнуa кристалічної решітки золота.

Практичне заняття 2.2 Тема: Рівняння Шредінгера Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Електрон знаходиться в нескінченно глибокому однови­мірному прямокутному потенційному ящику шириною l. Обчислити вірогідність того, що електрон, який знаходиться у збудженому стані (п = 2), буде виявлений у середній третині ящика.

Розв’язання. Вірогідність W виявити частинку в інтервалі х₁<х<х₂ визначається рівністю:

, (1)

де ψ_n (х) – нормована власна хвильова функція, що відповідає даному стану.

Нормована власна хвильова функція, що описує стан електрона в потенційному ящику, має вигляд:

.

Збудженому стану(п = 2) відповідає власна функція:

. (2)

Підставивши у підінтегральний вираз формули (1) і виносячи постійні величини за знак інтеграла, одержимо:

. (3)

Згідно з умовою завдання, х₁ = 1/3l і х₂ = 2/3l (рис. 1). Підставимо ці межі інтегрування у формулу (3), здійснимо заміну і розіб’ємо інтеграл на два:

Відмітивши, що , a , отримаємо:

W = 0,195.

Приклад 2. Моноенергетичний потік електронів (Е = 100 еВ) падає на низький прямокутний потенційний бар'єр нескін­ченної ширини (рис. 2). Визначити висоту потенційного бар'єра U, якщо відомо, що 4% падаючих на бар'єр електронів відображається.

Розв’язання. Коефіцієнт відбивання ρ від низького потенційного бар’єра виражається формулою:

,

де k₁ і k₂ – хвильові числа, що відповідають руху електронів в областях І і ІІ (див. рис.2).

В області І кінетична енергія електрона дорівнює Е і хвильове число

.

Оскільки координата електрона не визначена, то імпульс електрона визначається точно і, отже, в даному випадку можна говорити про точне значення кінетичної енергії.

У області II кінетична енергія електрона дорівнює Е – U, і хвильове число

.

Коефіцієнт відбивання може бути записаний у вигляді:

.

Розділимо чисельник і знаменник дробу на :

.

Вирішуючи рівняння щодо , одержимо:

.

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата, знайдемо висоту потенційного бар’єра:

.

Підставивши сюди значення величин і провівши обчислення, знайдемо:

U = 55,6 еВ.

Приклад 3. Електрон з енергією Е = 4,9 еВ рухається в позитивному напрямі осі X (рис. 3). Висота U потенційного бар'єра становить 5 еВ. При якій ширині d бар'єра вірогідність W проходження електрона через нього буде становити 0,2?

Розв’язання. Вірогідність W проходження частинки через потенційний бар'єр за своїм фізичним сенсом співпадає з коефіцієнтом прозорості D (W = D). Тоді вірогідність того, що електрон пройде через прямокутний потенційний бар'єр, виразиться співвідношенням:

, (1)

де m – маса електрона. Потенціюючи цей вираз, одержимо:

.

Для зручності обчислень змінимо знак у правій і лівій частині цієї рівності і знайдемо d:

.

Усі величини виразимо в одиницях СІ і проведемо обчислення:

d = 4,95·10^-10м = 0,495нм.

Враховуючи, що формула (1) наближена і обчислення носять оцінюючий характер, можна прийняти, що

.