Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання

Рівняння Шредінгера

1. Написати рівняння Шредінгера для електрона, що знаходиться у воднеподібному атомі.

2. Написати рівняння Шредінгера для лінійного гармонійного осцилятора. Врахувати, що сила, що повертає частинку в положення рівноваги, дорівнює (де– коефіцієнт пропорційності,х – зсув).

3. Тимчасова частина рівняння Шредінгера має вигляд . Знайти рішення рівняння.

4. Написати рівняння Шредінгера для вільного електрона, що рухається в позитивному напрямі осі X зі швидкістю . Знайти розв’язок цього рівняння.

5. Чому при фізичній інтерпретації хвильової функції говорять не про саму -функцію, а про квадрат її модуля?

6. Чим обумовлена вимога скінченності -функції?

7. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів має вигляд . Обґрунтувати, виходячи з цього рівняння, вимоги, що пред’являються до хвильової функції, – її безперервність і безперервність першої похідної від хвильової функції.

8. Чи може бути більшим від одиниці?

9. Показати, що для - функції виконується рівність, деозначає функцію, комплексно пов'язану з.

10. Довести, що якщо - функція циклічно залежить від часу (тобто), то густина ймовірності є функція тільки координати.

Практичне заняття 2.3

Тема: Постулати Бора. Квантові числа в атомі.

Періодична система елементів д.І. Менделєєва

Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Обчислити радіус першої орбіти атома водню (борівський радіус) і швидкість електрона на цій орбіті.

Розв’язок. Згідно теорії Бора, радіус r електронної орбіти і швидкість електрона на ній пов'язані рівністю:

.

Оскільки в завданні потрібно визначити величини, що відносяться до першої орбіти, то головне квантове число п = 1 і рівність набуде вигляду:

. (1)

Для визначення двох невідомих величин r і необхідне ще одне рівняння. Як друге рівняння використаємо рівняння руху електрона. Згідно теорії Бора, електрон обертається навколо ядра. При цьому сила взаємодії між електричними зарядами ядра і електрона надає електрону доцентрового прискорення. На підставі другого закону Ньютона можемо записати:

(тут e i m – заряд і маса електрона), або

. (2)

Розв’язавши систему рівнянь (1) і (2) щодо r , маємо:

.

Підставивши сюди значення ħ, е, m і провівши обчислення, знайдемо борівський радіус:

.

З рівності (1) одержимо вираз швидкості електрона на першій орбіті:

.

Провівши обчислення за цією формулою, знайдемо:

.

Приклад 2. Визначити енергію ε фотона, що відповідає другій лінії в першій інфрачервоній серії (серії Пашена) атома водню.

Розв’язання. Енергія ε фотона, випромінюваного атомом водню під час переходу електрона з однієї орбіти на іншу, дорівнює:

,

де Е_i – енергія іонізації атома водню; n₁ = 1,2,3... – номер орбіти, на яку переходить електрон (рис. 4); n₂ = n₁+1; n₁+2; ...; n₁+m – номер орбіти, з якої переходить електрон; т – номер спектральної лінії в даній серії. Для серії Пашена n₁ = 3; для другої лінії цієї серії т = 2, п₂ = n₁+т = 3+2 = 5. Підставивши числові значення, знайдемо енергію фотона:

ε = 0,97eВ.