Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Підлягає поверненню на кафедру

ЗАВДАННЯ

ДЛЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ Частина ІІ

Чернівці Чернівецький національний

університет

2012

УДК 517.2/.3(076)

ББК 22.161я7

З-13

Друкується за ухвалою редакційно-видавничої ради Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

З-13 Завдання для практичних занять з математичного

аналізу : у 3 ч . / укл. : Т. І. Звоздецький, О. О. Карлова, В. В. Михайлюк. – Чернівці : Чернівецький нац. ун-т, 2012. –

Ч. ІІ. – 135 с.

Видання містить завдання для практичних занять з математичного

аналізу з таких розділів: невизначений інтеграл, визначений інтеграл та його застосування, невласні інтеграли, числові ряди, функції багатьох змінних.

Для студентів факультетів прикладної математики та комп’ютерних наук.

УДК 517.2/.3(076)

ББК 22.161я7

©Чернівецький

національний університет, 2012

З М І С Т

Розділ IV. Невизначений інтеграл……………………….. 5

4.1.Первісна, невизначений інтеграл, найпростіші

методи інтегрування ………………………………..... 5

4.2.Внесення під знак диференціала і заміна змінної в

невизначеному інтегралі……………………………... 8

4.3.Інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. 11

4.4.Інтегрування раціональних функцій………………… 14

4.5.Інтегрування ірраціональних функцій…………….... 19

4.6.Інтегрування тригонометричних функцій………….. 22

Розділ V. Визначений інтеграл та його застосування… 25

5.1.Означення та властивості визначеного інтеграла….. 25

5.2.Формула Ньютона–Лейбніца………………………… 30

5.3.Заміна змінної та інтегрування частинами у

визначеному інтегралі………………………………... 34

5.4.Обчислення площ плоских фігур………………….... 38

5.5.Обчислення довжин дуг кривих…………………….. 42

5.6.Обчислення об’ємів тіл……………………………..... 44

5.7.Обчислення площ поверхонь обертання………….... 48

Розділ VI. Невласні інтеграли……………………………. 51

6.1.Означення та обчислення невласних інтегралів….... 51

6.2.Збіжність невласних інтегралів від невід’ємних

функцій………………………………………………... 56

6.3.Абсолютна й умовна збіжності невласних

інтегралів……………………………………………… 60

Розділ VII. Числові ряди………………………………….. 63

7.1.Сума числового ряду. Необхідна умова збіжності

ряду. Критерій Коші…………………………………. 63

7.2.Ознаки збіжності додатних рядів…………………… 66

7.3.Ознаки Лейбніца, Діріхле та Абеля………………… 76

7.4.Абсолютна та умовна збіжності числових рядів….. 79

7.5.Нескінченні добутки…………………………………. 81

Розділ VIII. Функції багатьох змінних………………….. 86

8.1.Збіжні послідовності й топологічні поняття в

метричному просторі m ……………………………. 86

8.2.Область визначення функції багатьох змінних…….. 92

8.3.Границя і неперервність функції багатьох

змінних...........................................................................

8.4.Частинні похідні і диференціали функцій багатьох

змінних………………………………………………... 99

8.5.Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

Формула Тейлора…………………………………….. 106

8.6.Неявно задані функції……………………………….. 113

8.7.Екстремум функцій багатьох змінних……………… 120

8.8.Умовний екстремум функцій багатьох змінних…… 127

Список літератури…………………………………………. 132

Роздiл IV. Невизначений iнтеграл

4.1. Первiсна, невизначений iнтеграл, найпростiшi методи iнтегрування.

Функцiя F (x) називається первiсною до функцiї f(x) на промiжку X, якщо F 0(x) = f(x) для кожного x 2 X.

Теорема 4.1. Нехай F (x) – первiсна до функцiї f(x) на промiжку X. Функцiя G(x) є первiсною до функцiї f(x) на промiжку X тодi i тiльки тодi, коли iснує таке C 2 R, що G(x) = F (x) + C для кожного x 2 X.

Сукупнiсть усiх первiсних до функцiї f(x) на промiжку X

називається невизначеним iнтегралом вiд функцiї f i познача-

ється f(x)dx.

Згiдно з теоремою 4.1, невизначений iнтеграл має вигляд

f(x) dx = F (x) + C;

де F (x) – деяка первiсна до функцiї f(x) i C 2 R – довiльна стала.

Властивостi невизначеного iнтеграла:

1. d f(x) dx = f(x) dx;

2.d(F (x)) = F (x) + C;

af(x) dx = a f(x) dx;

R (f(x) g(x)) dx = R f(x) dx R g(x) dx;

Якщо R f(x) dx = F (x) + C i a 6= 0, то

Z f(ax + b) dx =

F (ax + b) + C:

Таблиця основних iнтегралiв:

xpdx =

xp+1

+ C, p 6= 1;

dxx = ln jxj + C;

p+1

3. R

x2 =

x + C;

4. R

px = 2px + C;

= arctg x + C;

+ C, a > 0;

= a arctg a

1+x2

a2+x2

= 1 ln

1+x

+ C;

a+x

+ C, a > 0;

1 x

2 2

a x

1 x

a x

exdx = ex +

10.

axdx =

+ C, a

> 0, a = 1;

ln a

11.cos x dx = sin x + C; 12. sin x dx = cos x + C;

13.	R	dx	= tg x + C;	14.	R	dx	= ctg x + C;
		cos2 x				sin2 x
	R				R

15.sh x dx = ch x + C; 16. ch x dx = sh x + C;

17.

= thx + C;

18.

cthx + C;

ch dx

R sh x

19.

= arcsin x + C = arccos x + C;

1 x2

= arcsin x + C =

arccos x

+ C a > 0

20.

;

p a 2

21.

= ln jx +

j + C, a 6= 0.

x + a

x2+a

З допомогою таблицi iнтегралiв знайти такi невизначенi iнтеграли:

Z Z

1.(2 + 4x3 3x2) dx;

Z px + x2 dx;

Z 3px3 px5 dx;

x + x2 + x3 dx;

dx;

x + 1

2p3

+ 1

11.

dx;

2.(7x6 2x + 11) dx;

4. Z

x3 p3 x dx;

6. Z

p3 x4 + 5px7 dx;

1 x

2 dx

;

10.

(1xp3

)

dx;

12.

1 x2

qxpx dx;

13.(2x + 3x)2dx;

	Z	3e	2x	ex	+ 2	x
15.							dx;

				ex

17.(1 + sin x + cos x) dx;

19.	Z	sin2 x cos2 x;
		dx

21.tg2x dx;

23.

dx;

1 + x2

x2 + 3

25.

dx;

x2 1

27.

x + 2;

29.

3x + 4 dx;

31.

Z (x + 1)100dx;

33.

4 + 9x2 ;

35.

1 +p

dx;

1 x4

37.

;

1 4x2

39.

;

p5x2

14.	Z	2x+1 5x 1		dx		;
		10x	dx
16.	Z	25x 4e3x			;
		e2x
18.	(2 cos x 3 sin x) dx;
20.	Z	cos 2x		dx;

		cos2 x sin2 x

22.ctg2x dx;

24.	Z	2x2 3	dx	;
		4 + x2

	Z	x2 + 1
26.		3	dx;
		9 x2
28.	Z	3x 5;
		dx
30.	Z	2x + 3 dx;
		x + 1

32.(2x 3)10dx;

34.

1 + 16x2 ;

+ p

x2 + 1

36.

dx;

x4 1

38.

;

9x2

40.

;

p3x2 2

p2 + 3x2 ;

p9x2 + 7

41.

42.

;

43.

Z (e x + e 2x) dx;

44.

e 3x+4dx;

45.

sin 3x dx;

46.

cos 5x dx;

47.

1 + cos x;

48.

1 cos x;

49.

sin2 x dx;

50.

cos2 x dx;

51.

cos2(5x + 4 );

52.

sin2(2x + 3 );

53.

Z (cos 4x cos 3x) dx;

54.

Z (sin 5x sin 2x) dx;

55.

sin 3x cos 5x dx;

56.

cos 6x cos 8x dx;

57.

(sh(2x 1)+ch(2x+1)) dx;

58.

(ch 7x sh 3x) dx;

59.

ch2 x2

;

60.

sh2 x2 .

4.2. Внесення пiд знак диференцiала i замiна змiнної в невизначеному iнтегралi.

Теорема 4.2. Нехай			f(x) dx = F (x) + C i x = '(t) – дифе-
ренцiйовна функцiя.		Тодi
			R
Z f('(t)) '0(t) dt = F ('(t)) + C:
Цей факт можна записати у виглядi
Z	f('(t)) '0(t) dt x==			Z	f(x) dx;
			'(t)

який називається формулою замiни змiнної в невизначеному iнтегралi.

Використання формули замiни змiнної у виглядi

Z Z

f('(x)) '0(x) dx = f('(x)) d('(x))

називається внесенням пiд знак диференцiала.

Перехiд вiд iнтеграла f(x) dx при замiнi змiнної x = '(t) до iнтеграла R f('(t)) '0(t) dt називається пiдстановкою.

Використовуючи внесення пiд знак диференцiала елементарних функцiй, знайти такi iнтеграли:

1.	Z	x22+ 1 dx;
			x
3.	Z	9 x2 dx;
		2x + 1
5.	Z	p4 + x2 dx;
		x + 2

7. Z x4 p4 + x5 dx;

9. lnxx dx;

11.sin3 x cos x dx;

	Z	sin x
13.		p		dx;
			cos3 x

15.tg x dx;

17.	Z	p3 sin x cos x dx;
		sin x + cos x

2.	Z	p1 + x2		dx;
			x
4.	Z	p1	x2	dx;
		3x	1

Zx 3

6.x2 9 dx;

8.x3 5 x4 + 1 dx;

10. ln x + 1 dx; x

12.cos2 x sin x dx;

14.esin x cos x dx;

16.	Z	ctg x dx;
18.	Z		dx	;

			x ln x ln(ln x)

19.xe x2 dx;

Zex dx

21.1 + ex ;

23. ex + e x ;

Zarctg2x

25.1 + x2 dx;

27.	Z	arcsin3xp1 x2 ;
						dx
29.	Z	1		sin	1			dx;

			x2		x
31.	Z						dx;
			px
		cos px
33.	Z		2x 3x				dx
			9x 4x
	Z

35.th x dx;

20.x2e x3 dx;

22.

pex dx

;

24.

ex 2

ex e x ;

26.

arcsin3x

dx;

1 x2

28.

x2 + 1 dx;

parctgx

30.

(1 + x)px;

32.

dx;

34.

7x 5

dx;

49x + 25x

Zch x

36.p dx. sh x

Використовуючи формулу замiни змiнної, знайти такi iнтеграли:

37.

1 + px;

38.

2 + px + 1

;

39.

xpx2

;

40.

xpx2 + 1

;

41.

p1 + ex ;

42.

ex p1 ex dx;

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб174Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб5materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx