МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ

БУКОВИНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Обліково-економічний факультет

Кафедра вищої математики

ІНДИВІДУАЛЬНЕ НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНЕ ЗАВДАННЯ

На тему:

«Перевірка похибок статистичних гіпотез»

Виконала:

студентка ІІ курсу

групи ЕП-24

Макарова Олена

Викладач:

Нікітін А.В.

Чернівці 2011

Зміст

1. Теоретична сутність статистичної гіпотези.

2. Перевірка гіпотези про математичне сподівання

3. Перевірка гіпотези про дисперсію нормально розподіленої сукупності

4. Перевірка гіпотези про істотність різниці математичних сподівань двох нормально розподілених сукупностей

5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально  розподілених сукупностей

6. Критерій дисперсійного аналізу

7. Критерій Пірсона

8. Критерій Колмогорова

9. Список використаної літератури

Теоретична сутність статистичної гіпотези

Статистична гіпотеза — гіпотеза, яка стосується виду або параметрів розподілу випадкової величини і яку можна перевірити на підставі результатів спостереження у випадковій вибірці. Помилки, яких можна припуститися, при перевірці гіпотези бувають двох родів. Помилка першого роду полягає в тому, що гіпотеза перевірювана  відхиляється, тоді як вона правильна. Помилка другого роду полягає у тому, що гіпотеза  приймається, тоді як вона хибна, а правильною є деяка гіпотеза  Ця гіпотеза, яка протиставляється гіпотезі  називається альтернативною. При цьому, хоча множина альтернативних гіпотез може бути нескінченною, висувається тільки одна альтернативна гіпотеза  Статистичні гіпотези поділяються на прості і складні. Про- ста гіпотеза однозначно визначає закон розподілу випадкової величини. Для побудови статистичного критерію, який дає змогу перевірити деяку гіпотезу  необхідно вибрати статистичну характеристику гіпотези Q — деяку вибіркову функцію, визначити допустиму ймовірність помилки першого роду a (рівень значущості), сформулювати альтернативну гіпотезу  знайти критичну область Gдля статистичної характеристики, щоб мінімізувати ймовірність помилки другого роду. Критична область G — це така множина значень Q, що коли  то гіпотеза  відхиляється на користь гіпотези  Критична область визначається так, щоб імовірність потрапляння в неї стати- стичної характеристики за умови, що правильна гіпотеза  дорів- нювала a — заданому рівню значущості, тобто  Крім того, необхідно, щоб  була максимальною, тобто ймовірність помилки другого роду має бути мінімальною. Останнє співвідношення називається вимогою максимізації потужності критерію, який виражає ймовірність того, що не буде допущено помилки другого роду.

Статистичні гіпотези поділяються на параметричні і непараметричні. Параметричні гіпотези передбачають, що вигляд закону розподілу відомий і перевірка зводиться до перевірки значень невідомих параметрів.

У разі, коли гіпотези  прості і розглядається неперерв- на випадкова величина, то побудова критерію ґрунтується на теоремі Неймана—Пірсона.

Коли гіпотеза, що перевіряється, і альтернативна їй гіпотеза є простими гіпотезами виду відповідно  і якщо  і  — функції правдоподібності, які знайдено за умови, що правильна відповідно гіпотеза  або , то існує найпотужніший критерій для гіпотези  стосовно альтернативної гіпотези  Критична область і стати- стична характеристика гіпотез визначаються нерівністю:  де С — додатна стала, значення якого залежить від рівня значущості.

Якщо принаймні одна з гіпотез  або  не є простою, нерівність не можна застосувати. У цьому разі можна побудувати критерій, що ґрунтується на відношенні функцій правдоподіб- ності (знову вважається, що розподіл у сукупності неперервний).

Припустимо, що змінна Х має щільність виду  яка залежить від r параметрів, а гіпотеза  подається у вигляді: , де  — вектор з s компонентами  — деяка підмножина  усіх можливих значень параметра. Гіпотеза  Для побудови критерію визначають функцію правдоподібності , а далі знаходять її максимуми для випадків, коли  Далі складають відношення:

Значення l завжди належить інтервалу  Чим ближче l до одиниці, тим правдоподібніша гіпотеза  і навпаки: чим ближче значення l до нуля, тим більше підстав для відхилення  Критична область для l лівостороння. Вона визначається з умови: 

Якщо відомий закон розподілу для l, то можна знайти границю критичної області для заданого критерію. Критерії, що ґрунтуються на відношенні функцій правдоподібності, асимптотично найпотужніші.

Розглянемо основні параметричні статистичні критерії.