Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності

Якщо дисперсія сукупності відома і дорівнює , то при  і  за статистичну характеристику береться вибіркова функція  Критична область визначається залежно від значення  і відповідно до рівня значущості a. Мож- ливі три випадки.

1. Якщо  то критична область правостороння. Її  межа  визначається за умовою:  . Тоді 

2. Якщо , то критична область лівостороння,  

3. Якщо  то критичній області належать значення  При цьому 

Коли дисперсія сукупності невідома, то для перевірки гіпотези використовується вибіркова функція  розподілена за законом Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Вигляд критичної області визначають так само, як і в попередніх випадках, а межу знаходять за допомогою таблиць розподілу Стьюдента з відповідною кількістю ступенів волі. Якщо n > 20, то розподіл Стьюдента апроксимується нормальним розподілом з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Перевірка гіпотези про дисперсію нормально розподіленої сукупності

Коли рівень значущості дорівнює a, перевіримо гіпотезу  за альтернативної гіпотези  Якщо справджується гіпотеза, яка перевіряється, то вибіркова функція  має розподіл  з n – 1 ступенями волі. Як і в попередніх випадках, вигляд критичної області визначається значенням  Межі критичної області визначаються так:

1)   якщо  то критична область G правостороння, 

2)   якщо  то критична область G лівостороння, 

3)   якщо  то критична область двостороння. Їй належать значення  і  де 

Перевірка гіпотези про істотність різниці математичних сподівань двох нормально розподілених сукупностей

Нехай задано дві нормально розподілені сукупності з однаковими дисперсіями, але, можливо, із різними математичними сподіваннями. Із цих сукупностей зроблено вибірки обсягом відповід- но. Числові характеристики вибіркових сукупностей:  Якщо позначити різницю  то гіпотезу  можна перевірити за допомогою вибіркової функції  Якщо гіпотеза  правильна, то Z має

розподіл Стьюдента з  ступенями волі. Залежно від значення  у альтернативній гіпотезі визначають критичну область за допомогою таблиць розподілу Стьюдента, а в разі великих значень  — за допомогою таблиць функції Лапласа.

Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей

Нехай задано дві нормально розподілені сукупності. На підставі вибірок обсягом  ізцих сукупностей потрібно перевірити гіпотезу  за альтернативної гіпотези . Статистичною характеристикою для перевірки гіпотези  буде вибіркова функція  При побудові відношення чисельник має бути не меншим від знаменника. Якщо гіпотеза  правильна, то вибіркова функція Fмає розподіл Фішера з  ступенями волі. Критична область G правостороння і визначається умовою 

Критерій дисперсійного аналізу

Нехай задано k нормально розподілених сукупностей з однаковими дисперсіями і, можливо, різними математичними сподіваннями. Із кожної сукупності зроблено вибірку обсягом  Перевіряється гіпотеза  Статистичною характе­ристикою гіпотези є вибіркова функція

де  — j-те значення випадкової величини     Якщо гіпотеза  правильна, то вибіркова функція має розподіл Фішера з k – 1 i n – k ступенями волі. Критична область правостороння і визначається так, як це було зроблено в попередньому пункті.

Крім наведених параметричних критеріїв перевірки статис- тичних гіпотез розглядаються критерії для перевірки непараметричних статистичних гіпотез, сутність яких можна схарактеризувати так.

Якщо маємо вибірку обсягом n, то чи правильним є твердження, що її зроблено із сукупності з даною функцією розподілу ?