Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA_I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

476.68 Кб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

	3
Змiст
Роздiл I. Дiйснi числа i послiдовностi . . . . . . . . .	5
1.1. Метод математичної iндукцiї . . . . . . . . . .	5
1.2. Формула бiнома Ньютона . . . . . . . . . . . .	8

1.3.Рацiональнi та iррацiональнi числа . . . . . . . 11

1.4.Обмеженi числовi множини та їх точнi межi . 12

1.5.Означення границi послiдовностi . . . . . . . . 15

1.6.Правила знаходження границь . . . . . . . . . 17

1.7.Ознаки iснування границь послiдовностей . . 19

1.8.Верхня i нижня границi послiдовностi . . . . . 24 Роздiл II. Границя та неперервнiсть функцiї . . . . . 28

2.1. Функцiї та їх властивостi . . . . . . . . . . . . 28

2.2.Означення границi функцiї . . . . . . . . . . . 33

2.3.Правила знаходження границь, обчислення

границь рацiональних та iррацiональних
виразiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
2.4. Важливi границi, застосування еквiвалентних
до знаходження границь . . . . . . . . . .	40

2.5.Означення неперервної функцiї . . . . . . . . . 45

2.6.Дослiдження функцiй на неперервнiсть та класифiкацiя точок розриву . . . . . . . . 47

2.7. Основнi теореми про неперервнi функцiї . . .	51
Роздiл III. Диференцiальне числення функцiй однiєї
змiнної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	57

3.1.Похiдна функцiї та її знаходження . . . . . . . 57

3.2.Геометричний змiст похiдної та його застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.Диференцiал функцiї . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.Похiднi та диференцiали вищих порядкiв . . . 67

3.5.Основнi теореми диференцiального числення . 71

3.6. Правило Лопiталя . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7.Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8.Застосування похiдної до дослiдження функцiй

на монотоннiсть i екстремуми . . . . . . . 80 3.9. Найбiльше i найменше значення функцiї . . . 83 3.10. Побудова графiкiв функцiй . . . . . . . . . . 88 Список лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Роздiл I. Дiйснi числа i послiдовностi

1.1. Метод математичної iндукцiї

Для того, щоб довести iстиннiсть тверджень Tn при n 2 N достатньо:

1)перевiрити iстиннiсть твердження T1 (база iндукцiї);

2)припустивши, що твердження Tn iстинне для деякого натурального n = k (iндуктивне припущення), довести, що твердження Tn iстинне i для наступного n = k +1 (iндуктивний перехiд).

З допомогою методу математичної iндукцiї довести, що для кожного n 2 N виконуються такi рiвностi:

1.	1 + 2 + : : : + n =								n(n+1)				;
1.	1 + 2 + : : : + n =												;
							2
2.	1 + 3 + : : : + (2n 1) = n2;
3.	12 + 22 + : : : + n2 =									n(n+1)(2n+1)											;
3.	12 + 22 + : : : + n2 =																				;
														6
4.	13 + 23 + : : : + n3 =										n(n+1)						2		;
4.	13 + 23 + : : : + n3 =										2						2		;
5.		1	+		1	+ : : : +		1				=				n		;
5.	1 2		+	2 3		+ : : : +	n (n+1)					=						;
	1 2			2 3			n (n+1)								n+1
6.		1	+		1	+ : : : +		1									=				n	;
6.	1 5		+	5 9		+ : : : +	(4n 3)(4n+1)										=			4n+1		;
	1 5			5 9			(4n 3)(4n+1)													4n+1
7.		12	+		22	+ : : : +			n2								=			n(n+1)			;
7.	1 3		+	3 5		+ : : : +	(2n 1)(2n+1)										=			2(2n+1)			;
	1 3			3 5			(2n 1)(2n+1)													2(2n+1)

8. 1 2 + 2 5 + : : : + n(3n 1) = n2(n + 1);

9. 12 + 32 + : : : + (2n 1)2 = n(4n2 1) ;

10. 1 22 + 2 32 + : : : + (n 1) n2 = n(n2 1)(3n+2) ;

11.	(1	41 ) (1 91 ) : : : (1				1		) =		n+2	;
						(n+1)	2			2n+2
12.		4	4	4					4				1+2n	;
	(1	1 ) (1	9 ) (1		) : : :		(1					) =	1 2n
				25					(2n 1)2
13.	1 1! + 2 2! + : : : + n n! = (n + 1)! 1;

14.

);

2 +

2 + : : : + 2 = 2 cos (

n+1

n коренiв

15.

tg x + 2 tg 2 + : : : +

ctg

2 ctg 2x;

2n+1

16.

+ : : : +

1 + x

1 + x2

1 x2n

x 1

1 x2n+1

де x – довiльне дiйсне число, вiдмiнне вiд 1;

17.

3 + 33 + 333 + : : : + 333 : : : 3 = 10n+1 9n 10 .

}

nцифр

18.Довести нерiвнiсть Бернуллi:

(1 + x1)(1 + x2) : : : (1 + xn) 1 + x1 + x2 + : : : + xn, де x1; x2; : : : ; xn – числа одного знака, бiльшi вiд 1. Довести нерiвностi:

19.(1 + x)n 1 + nx, де x 1;

20.n+11 + n+21 + : : : + 21n > 1324 при n > 1;


	p									1						p
			1
21.		n < 1 + p			+ : : : +				p					< 2 n при n > 1;
				2								n
22.	n	< 1 + 1 +			1 + : : : +								1			< n при n > 1;
	2									2			n
		2			3									1
23.	21 43 65 : : :					2n2n	1	<	p		1				;
											2n			+1

24.2! 4! : : : (2n)! > [(n + 1)!]n при n > 1;

25.nn+1 > (n + 1)n при n > 2;

	(2n)!		4n
26.				;	27.	2n > n2 при n > 4;
		(n!)2	n + 1
28.	(2n)! < 22n(n!)2;				29.	j sin n j nj sin j;
30.		j sin (x1 + x2 + : : : + xn)j sin x1 + sin x2 + : : : + sin xn, де

0 x1; x2; : : : ; xn ;

31.(1 x1)(1 x2) : : : (1 xn) 12 , якщо x1; x2; : : : ; xn 0 i x1 + x2 + : : : + xn 12 ;

32.

4 +

4 + 4 + : : : +

4 < 3;

}

n коренiв

a + r

a + q

< 21 (1 + p

), де a > 0;

33.

a + : : : + p

1 + 4a

}

nкоренiв

34.n+11 + n+21 + : : : + 3n1+1 > 1;

35.2n 1(an + bn) (a + b)n, де a; b 0;

36.	1

	n (x1 + x2 + : : : + xn) px1x2 : : : xn, де x1; x2; : : : ; xn 0.
		n
37.	Розв’язати нерiвностi вiдносно аргументу n 2 N:
	а) 3n > 2n + 7n;		б) 2n n2 + 3n + 10;
	в) 4n 3n + 10n + 7;		г) 3n > n2 + 5n + 3.

38.Довести, що для кожного натурального n вираз а) n(2n2 3n + 1) нацiло дiлиться на 6;

б) (n3 + 11n) нацiло дiлиться на 6;

в) n3 + 3n2 + 5n + 3 нацiло дiлиться на 3; г) 11n+1 + 122n 1 нацiло дiлиться на 19; ґ) 5 33n 2 + 33n 1 нацiло дiлиться на 133;

д) 62n 2 + 3n+1 + 3n 1 нацiло дiлиться на 11; е) n5 n нацiло дiлиться на 5;

є) n7 n нацiло дiлиться на 7;

ж) 4n + 15n 1 нацiло дiлиться на 9.

39.Довести, що n рiзних прямих, якi проходять на площинi через одну точку, дiлять площину на 2n частин.

40.На скiльки частин дiлять простiр n площин, що проходять через одну точку так, що жоднi три з них не проходять через одну пряму?

41.Дано n довiльних квадратiв. Довести, що їх можна розбити на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.

1.2.Формула бiнома Ньютона

Для довiльних n 2 N i a; b 2 R має мiсце така рiвнiсть, яка називається формулою бiнома Ньютона:

(a+b)n = Cn0an +Cn1an 1b+: : :+Cnkan kbk +: : :+Cnn 1abn 1 +Cnnbn;

			9
де бiномiальнi коефiцiєнти Ck			обчисляються за формулою
		n
Cnk =	n!	.
Cnk =	k!(n k)!	.
	k!(n k)!

Бiномiальнi коефiцiєнти мають такi властивостi:

1)Cn0 = Cnn = 1 для довiльного n 2 N;

2)Cnk = Cnn k для довiльних n 2 N, 0 k n;

3)Cnk 1 + Cnk = Cnk+1 для довiльних n 2 N, 1 k n.

За допомогою цих властивостей коефiцiєнти бiнома можна виписати у виглядi таблицi, яка називається трикутником Паскаля:

								1
							1	1
						1		2	1
					1		3	3		1
				1		4		6	4		1
			1		5	10		10			5	1
		1		6	15		20		15		6		1
	1		7	21		35		35		21			7	1
	1	8	28		56		70		56		28		8		1
1	9	36		84 126 126							84		36	9	1
1 10 45 120 210 252									210 120 45 10 1

..........................................................

1.Розв’язати рiвняння:

a)Cx4+2 = x2 1; б) Cxx 3 + Cxx 2 = 15(x 1);

в)

;

г)

Cx 1

+ Cx 2

= 9x + 10

C4x

C5x

C6x

x+1

2.Написати формулу бiнома Ньютона для степенiв двочлена:

а) (x + 1)7;				б) (a b)6;
в) q		pab		г) qxy + 2pxy	6
в) q	ab	pab	;	г) qxy + 2pxy	.
			5

3. Знайти:	p
а) п’ятий член розкладу (				41 8			;
		x		41 8
			+	p	x	)

p p

б) сьомий член розкладу ( a 3 b)13; в) член розкладу (x + 1 )7 з x3;


			x
г) член розкладу (x2		2x1 )9 з x3;
ґ) член розкладу (x5		+ 1)2010 з x2010;
д) член розкладу (p3				x)7		з x2;
		x 2
е) член розкладу (p			+ p			з x8.
					2)18
	x

4.Знайти доданок, який не мiстить змiнної x, у таких розкладах:

а) (x + x )

;

б) (x

)

;

в) (2x +

)

;

г)

; ґ)

+ p4 x3)17

; д)

(2p5 x4

(x3

x 2 )15

(

)19

px2

3 px2

5. Довести тотожностi:

= 2n;

а) k=0 Cnk

б) k=0( 1)kCnk = 0;

( 1)kkCk = 0

Cn m = Cn m+1

в) k=0

;

г) k=1

n k

;

= Cn+1, де n 2;

д) Cnk

= n+2

Cnk+1

+ Cnk+1+1 .

ґ) k=2 Ck

n+1

6. Обчислити суми:

а)

2kCk;

б)

kCk;

в)

1 Ck;

k=0

k=1

k+1

д)

(Ck)2;

г) (k + 1)Ck;

ґ) k3kCk;

k=0

е)

;

є)

( 1)k 1

C2kn

k=1

1.3. Рацiональнi та iррацiональнi числа

Числа вигляду mn , де m 2 Z i n 2 N, називаються рацiональними. Множина рацiональних чисел позначається через Q.

Дiйсне число є рацiональним тодi i тiльки тодi, коли його можна подати у виглядi скiнченного або нескiнченного перiодичного десяткового дробу.

Сума, рiзниця, добуток i частка, якщо дiльник вiдмiнний вiд нуля, двох рацiональних чисел є рацiональним числом.

Дiйсне число, яке не є рацiональним, називається iррацiональним. Множина iррацiональних чисел позначається через I.

1.Подати у виглядi нескiнченного перiодичного десяткового дробу рацiональне число r, якщо:

а) r = 1	;	б) r = 5	;	в) r = 3	;
3		6		7
г) r = 1115 ;		ґ) r = 1330 ;		д) r =		11455 .

2.Перетворити у звичайнi нескоротнi дроби такi перiодичнi дроби:

а) 0; (01);	б) 2; (12);	в) 0; (309);
г) 0; 5(23);	ґ) 4; 7(25);	д) 0; 10(69).

3. Довести, що нижченаведенi числа є iррацiональними: p p p

а) 2; б) 5; в) 3 3;

г)	2 + 5;	ґ) lg 36;	д) log2 3;
е)	0; 12122122212222:::;		є) 0; 123456789101112:::.

4.Нехай 2 I, r 2 Q. Довести, що нижченаведенi числа є iррацiональними:

а) + r;

б) r, якщо r 6= 0;

в) 3 r;

г) + r, якщо + r 0.

5.Нехай ; 2 I, r 2 Q. Чи обов’язково є iррацiональними такi числа:

а) + ;	б) ;	в) ;
г) 2 + 2;	ґ) 3 3;

p p

д) , якщо ; > 0; е) + r, якщо ; r 0; є) p + pr, якщо r; + pr 0?

6. Нехай i – такi iррацiональнi числа, що число +є рацiональним. Довести, що нижченаведенi числа є

iррацiональними:
а) ;	б) + 2 ;

в) m + n, де m i n – рiзнi цiлi числа.

7.	Нехай i – такi iррацiональнi числа, що числа
7.	i	2			2
	i					є рацiональними. Обчислити значення виразу
		2	2	.
	+

8.Нехай i – такi iррацiональнi числа, що числа i3 3 є рацiональними. Чи обов’язково = ?

9.Чи може 3 2 бути коренем квадратного рiвняння з цiлими коефiцiєнтами?

1.4.Обмеженi числовi множини та їх точнi межi

Число a називається нижньою (верхньою) межею множини

X R, якщо для кожного x 2 X виконується нерiвнiсть x a (x a). Множина X R, яка має хоча б одну нижню (верхню)

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб19MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб10MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб2MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб1MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб1MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc