MA_I

3.9. Найбiльше i найменше значення функцiї

Нехай функцiя f : X ! R визначена на множинi X R,

= infff(x) : x 2 Xg i = supff(x) : x 2 Xg. Якщо iснує a 2 X, таке, що f(a) = , то кажуть, що функцiя f

має найменше значення, а число називається найменшим значенням функцiї f i позначається через fmin. Аналогiчно, якщо iснує b 2 X, таке, що f(b) = , то кажуть, що функцiя f має найбiльше значення, а число називається найбiльшим значенням функцiї f i позначається через fmax.

84

fx1; : : : ; xng = fx 2 (a; b) : f0(x) = 0g. Тодi

fmin = minff(a); f(b); f(x1); : : : ; f(xn)g

i

fmax = maxff(a); f(b); f(x1); : : : ; f(xn)g:

Теорема 2. Нехай f : (a; b) ! ( 1; ) – диференцiйовна

функцiя, така, що lim f(x) = lim f(x) = . Тодi функцiя f

x!a+0 x!b 0

має найменше значення i

fmin = minff(x) : x 2 (a; b); f0(x) = 0g:

Теорема 3. Нехай f : (a; b) ! ( ; +1) – диференцiйовна

функцiя, така, що lim f(x) = lim f(x) = . Тодi функцiя f

x!a+0 x!b 0

має найбiльше значення i

fmax = maxff(x) : x 2 (a; b); f0(x) = 0g:

Знайти найменше та найбiльше значення нижченаведених функцiй на вiдповiдних промiжках:

1.f(x) = 2x на вiдрiзку [ 1; 5];

2.f(x) = 31x на вiдрiзку [ 3; 2];

p

3. f(x) = 2 3 x2 на вiдрiзку [ 8; 1];

85

6.f(x) = x2 4x + 6 на вiдрiзку [ 3; 10];

7.f(x) = x2 + 6x 8 на вiдрiзку [ 7; 4];

8.f(x) = 3x4 + 4x3 + 1 на вiдрiзку [ 2; 2];

9.f(x) = x5 x3 + x + 2 на вiдрiзку [ 2; 1];

10.f(x) = jx2 3x + 2j на вiдрiзку [ 10; 10];

11.f(x) = jx2 + 5x + 4j на вiдрiзку [ 7; 7];

12.f(x) = x + x1 на вiдрiзку [101 ; 10];

13.f(x) = x3 + x3 на вiдрiзку [ 5; 1];

14.f(x) = xx21 на вiдрiзку [32 ; 5];

16.f(x) = x + cos2 x на вiдрiзку [0; 2 ];

17.f(x) = cos2 x + sin x на вiдрiзку [0; 4 ];

18.f(x) = 12 cos 2x + sin x на вiдрiзку [0; 2 ];

19.f(x) = (5 x)2 x на вiдрiзку [ 1; 0];

20.f(x) = 2x2 ln x на вiдрiзку [1; e];

21.f(x) = xe x на [0; +1);

22.f(x) = x2e x на [0; +1);

23.f(x) = xne x, де n 2 N, на [0; +1);

24.f(x) = x2x+1 на [0; +1);

86

p

25.f(x) = x+25x на [0; +1).

26.Знайти найбiльше значення добутку a2b при умовi, що сума a + b додатних чисел a та b дорiвнює 3.

27.Знайти найменше значення суми a3 + b2 при умовi, що добуток ab додатних чисел a та b дорiвнює 10.

28.Знайти найбiльше значення основи a, для якого рiвняння loga x = x має хоча б один розв’язок.

29.Знайти лiнiйнi розмiри прямокутника, який серед усiх прямокутникiв даної площi S має найменший периметр.

30.Знайти кути прямокутного трикутника, який має найбiльшу площу серед усiх прямокутних трикутникiв зi сталою сумою катета i гiпотенузи.

31.Знайти лiнiйнi розмiри цилiндричної банки, яка серед усiх цилiндричних банок даного об’єму V має найбiльшу площу бiчної поверхнi.

32.Знайти лiнiйнi розмiри прямокутника, який серед усiх

прямокутникiв, вписаних у даний елiпс xa22 + yb22 = 1, зi сторонами, паралельними до осей елiпса, має найбiльшу площу.

33.З круглої колоди дiаметра d витесують брусок, який має прямокутний поперечний перерiз iз лiнiйними розмiрами b i h. Якими повиннi бути b i h для того, щоб брусок мав найбiльшу мiцнiсть, якщо його мiцнiсть пропорцiйна до bh2?

34.Знайти лiнiйнi розмiри прямокутного паралелепiпеда, який серед усiх прямокутних паралелепiпедiв iз квадрат-

87

ною основою, вписаних у дану пiвкулю з радiусом R, має найбiльший об’єм.

35.Знайти лiнiйнi розмiри i об’єм цилiндра, який серед усiх цилiндрiв, вписаних у дану кулю з радiусом R, має найбiльший об’єм.

36.Знайти лiнiйнi розмiри i повну поверхню цилiндра, який серед усiх цилiндрiв, вписаних у дану кулю з радiусом R, має найбiльшу повну поверхню.

37.Знайти об’єм конуса, який серед усiх конусiв, описаних навколо даної кулi з радiусом R, має найменший об’єм.

38.Знайти об’єм конуса, який серед усiх конусiв з твiрною l має найбiльший об’єм.

39.Тiло з об’ємом V складається з цилiндра i пiвкулi з радiусом основи цилiндра, яка побудована на верхнiй основi цилiндра. Якими повиннi бути лiнiйнi розмiри цього тiла для того, щоб площа його повної поверхнi була найменшою?

40.Знайти вiдстань вiд точки M(p; p) до параболи y2 = 2px.

41.Знайти найбiльше i найменше значення вiдстанi вiд точки M(2; 0) до точки кола x2 + y2 = 1.

елiпса xa22 + yb22 = 1, яка проходить через точку A(0; b).

43.Через точку M(x; y) на елiпсi xa22 + yb22 = 1 проведено дотичну до елiпса. Якими повиннi бути координати x i y точки M для того, щоб площа трикутника, утвореного дотичною i осями координат, була найменшою? Знайти значення цiєї площi.

88

3.10. Побудова графiкiв функцiй

Пряма x = a називається вертикальною асимптотою

графiка функцiї y = f(x), якщо хоча б одна з одностороннiх

Неперервна на промiжку X функцiя f називається опуклою вниз (вгору) на X, якщо для довiльних x1; x2 2 X та довiльних; 2 [0; 1], таких, що + = 1, виконується нерiвнiсть

f( x1 + x2) f(x1) + f(x2)

(f( x1 + x2) f(x1) + f(x2)):

Теорема 2. Нехай функцiя f неперервно диференцiйовна на промiжку X iз кiнцями a та b i має скiнченну другу похiдну

на iнтервалi (a; b). Тодi функцiя f опукла вниз (вгору) на X тодi й лише тодi, коли f00(x) 0 (f00(x) 0) на (a; b).

Точка x0 називається точкою перегину функцiї f, визначеної в деякому околi точки x0, якщо при переходi через цю точку функцiя f змiнює напрямок опуклостi.

Теорема 3 (необхiдна умова точки перегину). Нехай

функцiя f визначена i диференцiйовна в деякому околi точки x0, iснує f00(x0) i x0 – точка перегину f. Тодi f00(x0) = 0.

Теорема 4 (достатня умова точки перегину). Нехай функцiя f визначена i двiчi диференцiйовна в деякому околi

89

точки x0. Якщо при переходi через точку x0 друга похiдна f00(x) змiнює свiй знак, то x0 – точка перегину функцiї f.

Для того, щоб побудувати графiк функцiї f, потрiбно:

1)знайти область визначення функцiї f;

2)дослiдити функцiю f на парнiсть, непарнiсть та перiодичнiсть;

3)знайти точки перетину графiка функцiї f з осями координат;

4)дослiдити функцiю f на неперервнiсть та визначити типи

їїточок розриву;

5)знайти вертикальнi та похилi асимптоти графiка функцiї f;

6)використовуючи першу похiдну функцiї f, дослiдити f на монотоннiсть та екстремум;

7)використовуючи другу похiдну функцiї f, знайти промiжки опуклостi та точки перегину f.

Побудувати графiки таких функцiй: